Число Пелла

Стороны квадратов, использованных для построения серебряной спирали, - это числа Пелла.

В математике , то число Пелла бесконечное последовательность из целых чисел , известных с древних времен, которые составляют знаменатели из ближайших рациональных приближений к квадратному корню из 2 . Эта последовательность приближений начинается1/1, 3/2, 7/5, 17/12, и 41 год/29, поэтому последовательность чисел Пелла начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений составляют половину сопутствующих чисел Пелла или чисел Пелла – Лукаса ; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с цифр 2, 6, 14, 34 и 82.

Как числа Пелла, так и сопутствующие числа Пелла могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, аналогичного соотношению для чисел Фибоначчи , и обе последовательности чисел растут экспоненциально , пропорционально степеням отношения серебра 1 +  √ 2 . Числа Пелла не только используются для вычисления квадратного корня из двух, но и для нахождения квадратных треугольных чисел , для построения целочисленных аппроксимаций прямоугольного равнобедренного треугольника и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления . ^[1]

Как и в случае с уравнением Пелла , название чисел Пелла происходит от ошибочной атрибуции Леонарда Эйлера этого уравнения и полученных из него чисел Джону Пеллу . Числа Пелля – Лукаса также названы в честь Эдуарда Лукаса , который изучал последовательности, определяемые повторениями этого типа; числа Пелла и сопутствующие им числа Пелла - это последовательности Лукаса .

Числа Пелла [ править ]

Числа Пелла определяются рекуррентным соотношением :

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проще говоря, последовательность чисел Пелла начинается с 0 и 1, а затем каждое число Пелл является суммой удвоенного предыдущего числа Пелла и числа Пелл перед этим. Первые несколько членов последовательности:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,… (последовательность A000129 в OEIS ).

Числа Пелля также можно выразить формулой закрытого вида

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

При больших значениях п , то (1 + √ 2 ) ^п член доминирует это выражение, так что число Pell приблизительно пропорциональны степеням соотношения серебра 1 + √ 2 , аналогично скорости роста чисел Фибоначчи как степеней золотой соотношение .

Возможно третье определение из матричной формулы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Из этих определений можно вывести или подтвердить многие идентичности; например, тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

является непосредственным следствием матричной формулы (найденной путем рассмотрения определителей матриц в левой и правой частях матричной формулы). ^[2]

Приближение к квадратному корню из двух [ править ]

Числа Пелла возникают исторически, и наиболее заметно в рациональном приближении к √ 2 . Если два больших целых числа x и y образуют решение уравнения Пелла

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

тогда их соотношение Икс/уобеспечивает близкое приближение к √ 2 . Последовательность приближений такого вида есть

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

где знаменатель каждой дроби - это число Пелла, а числитель - это сумма числа Пелла и его предшественника в последовательности. То есть решения имеют вид

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

Приближение

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

этот тип был известен индийским математикам в третьем или четвертом веке до нашей эры. ^[3] Греческие математики пятого века до нашей эры также знали об этой последовательности приближений: ^[4] Платон называет числители рациональными диаметрами . ^[5] Во II веке н. Э. Теон Смирнский использовал термин «число сторон» и «число диаметра» для описания знаменателей и числителей этой последовательности. ^[6]

Эти приближения могут быть получены из разложения в непрерывную дробь :${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Усечение этого расширения до любого числа членов дает одно из приближений на основе числа Пелла в этой последовательности; например,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Как описывает Кнут (1994), тот факт, что числа Пелла аппроксимируют √ 2, позволяет использовать их для точных рациональных приближений к правильному восьмиугольнику с координатами вершин (± P _i , ± P _{i +1} ) и (± P _{i +1} , ± P _i ) . Все вершины одинаково удалены от начала координат и образуют почти одинаковые углы вокруг начала координат. В качестве альтернативы, точки , и образуют приблизительные восьмиугольники, в которых вершины почти одинаково удалены от начала координат и образуют равномерные углы.${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

Штрихи и квадраты [ править ]

Пелл премьер является числом Пелл , который является премьером . Первые несколько простых чисел Пелла:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (последовательность A086383 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел в последовательности всех чисел Пелла равны

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. . (последовательность A096650 в OEIS )

Все эти индексы являются простыми. Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелла P _n может быть простым только в том случае, если само n простое, потому что если d является делителем n, то P _d является делителем P _n .

Единственные числа Пелла, которые представляют собой квадраты, кубики или любую более высокую степень целого числа, - это 0, 1 и 169 = 13 ² . ^[7]

Однако, несмотря на небольшое количество квадратов или других степеней, числа Пелла тесно связаны с квадратными треугольными числами . ^{[8] В} частности, эти числа возникают из следующего тождества чисел Пелла:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

Левая часть этого тождества описывает квадратное число , а правая часть описывает треугольное число , поэтому в результате получается квадратное треугольное число.

Сантана и Диас-Барреро (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелла с квадратами и показывающее, что сумма чисел Пелла до P _{4 n +1} всегда является квадратом:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

Например, сумма чисел Пелла до P ₅ , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , является квадратом P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7 . Числа P _{2 n} + P _{2 n +1,} образующие квадратные корни этих сумм,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321,… (последовательность A002315 в OEIS ),

известны как числа Ньюмана – Шанкса – Вильямса (NSW) .

Пифагоровы тройки [ править ]

Если прямоугольный треугольник имеет целые длины сторон a , b , c (обязательно удовлетворяющий теореме Пифагора a ² + b ² = c ² ), то ( a , b , c ) называется тройкой Пифагора . Как описывает Мартин (1875), числа Пелля можно использовать для образования пифагоровых троек, в которых a и b отстоят на одну единицу, что соответствует прямоугольным треугольникам, которые являются почти равнобедренными. Каждая такая тройка имеет вид

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

Последовательность образованных таким образом пифагоровых троек имеет вид

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…

Числа Пелла – Лукаса [ править ]

В компаньоны числа Pell или числа Пэлл-Лукас определяются рекуррентным соотношением

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проще говоря: первые два числа в последовательности равны 2, и каждое последующее число формируется путем добавления дважды предыдущего числа Пелла – Лукаса к предшествующему числу Пелла – Лукаса или, что эквивалентно, путем добавления следующего числа Пелла к предыдущему. Число Пелла: таким образом, 82 соответствует 29, а 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Первые несколько членов последовательности (последовательность A002203 в OEIS ): 2 , 2 , 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 ,…

Как и отношения между числами Фибоначчи и Люка ,

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

для всех натуральных чисел n .

Сопутствующие числа Пелла могут быть выражены формулой закрытого вида

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

Все эти числа четные; каждое такое число вдвое больше числителя в одном из рациональных приближений, рассмотренных выше.${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$

Подобно последовательности Лукаса, если число Пелла – Лукаса 1/2Q _n является простым числом, необходимо, чтобы n было простым числом или степенью двойки. Простые числа Пелла – Лукаса равны

3, 7, 17, 41, 239, 577,… (последовательность A086395 в OEIS ).

Для этого п являются

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421,… (последовательность A099088 в OEIS ).

Вычисления и связи [ править ]

В следующей таблице приведены первые несколько степеней отношения серебра δ = δ _S = 1 +  √ 2 и его сопряженного δ = 1 -  √ 2 .

п	(1 + √ 2 ) п	(1 - √ 2 ) п
0	1 + 0 √ 2 = 1	1 - 0 √ 2 = 1
1	1 + 1 √ 2 = 2,41421…	1 - 1 √ 2 = −0,41421…
2	3 + 2 √ 2 = 5,82842…	3 - 2 √ 2 = 0,17157…
3	7 + 5 √ 2 = 14,07 · 106…	7 - 5 √ 2 = −0,07 · 106…
4	17 + 12 √ 2 = 33,97056…	17 - 12 √ 2 = 0,02943…
5	41 + 29 √ 2 = 82,01219…	41 - 29 √ 2 = −0,01219…
6	99 + 70 √ 2 = 197,9949…	99 - 70 √ 2 = 0,0050…
7	239 + 169 √ 2 = 478,00 209…	239 - 169 √ 2 = −0,00209…
8	577 + 408 √ 2 = 1153,99913…	577 - 408 √ 2 = 0,00086…
9	1393 + 985 √ 2 = 2786,00035…	1393 - 985 √ 2 = −0,00035…
10	3363 + 2378 √ 2 = 6725,99985…	3363 - 2378 √ 2 = 0,00014…
11	8119 + 5741 √ 2 = 16238,00006…	8119 - 5741 √ 2 = −0,00006…
12	19601 + 13860 √ 2 = 39201,99997…	19601 - 13860 √ 2 = 0,00002…

Коэффициенты - это полусопутствующие числа Пелла H _n и числа Пелла P _n, которые являются (неотрицательными) решениями H ² - 2 P ² = ± 1 . Квадрат треугольное число является числом

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

которое является одновременно t- м треугольным числом и s- м квадратным числом. Почти равнобедренный Пифагор тройной представляет собой целое решение в ² + б ² = гр ² , где +-= Ь .

Следующая таблица показывает, что разделение нечетного числа H _n на почти равные половины дает квадратно-треугольное число, когда n четно, и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно. Все решения возникают таким образом.

п	H n	P n	т	т + 1	s	а	б	c
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41 год	29				20	21 год	29
6	99	70	49	50	35 год
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Определения [ править ]

Полусопутствующие числа Пелла H _n и числа Пелла P _n могут быть получены несколькими легко эквивалентными способами.

Повышение до полномочий [ править ]

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Из этого следует, что существуют закрытые формы :

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

и

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

Парные повторы [ править ]

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Матричные формулы [ править ]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Так

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Приближения [ править ]

Разница между H _n и P _n √ 2 составляет

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

который быстро стремится к нулю. Так

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}\,}$

чрезвычайно близко к 2 H _n .

Из этого последнего наблюдения следует, что целочисленные отношения H _n/P _nбыстро приближаться к √ 2 ; иH _n/H _{n −1} и P _n/P _{n −1}быстро приближаться к 1 +  √ 2 .

H ²  - 2 P ²  = ± 1 [ редактировать ]

Поскольку √ 2 иррационально, мы не можем иметьЧАС/п =  √ 2 , т. Е.

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

Лучшее, что мы можем достичь, это либо

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

(Неотрицательные) решения уравнения H ² - 2 P ² = 1 - это в точности пары ( H _n , P _n ) с четным n , а решениями H ² - 2 P ² = −1 в точности являются пары ( H _n , P _n ) с нечетным n . Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

так что эти различия, начиная с H²
₀- 2 П²
₀= 1 , попеременно равны 1 и −1. Затем обратите внимание, что каждое положительное решение получается таким образом из решения с меньшими целыми числами, поскольку

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

Меньшее решение также имеет положительные целые числа, за одним исключением: H = P = 1, которое происходит от H ₀  = 1 и P ₀  = 0.

Квадратные треугольные числа [ править ]

Требуемое уравнение

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$

эквивалентно: который становится H ² = 2 P ² + 1 с заменами H  = 2 t  + 1 и P  = 2 s . Следовательно, n- е решение${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Заметим, что t и t  + 1 взаимно просты, так чтот ( т + 1)/2 =  s ² происходит именно тогда, когда они являются смежными целыми числами, одно из которых представляет собой квадрат H ^2, а другое - дважды квадрат 2 P ² . Поскольку мы знаем все решения этого уравнения, мы также имеем

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

и ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

Это альтернативное выражение показано в следующей таблице.

п	H n	P n	т	т + 1	s	а	б	c
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21 год	29
3	7	5	49	50	35 год	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41 год	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

Пифагоровы тройки [ править ]

Равенство c ² = a ² + ( a + 1) ² = 2 a ² + 2 a + 1 происходит точно тогда, когда 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2, что превращается в 2 P ² = H ² + 1 с замены H = 2 a + 1 и P = c . Следовательно, n- е решение - это _n =Н _{2 п +1} - 1/2и c _n = P _{2 n +1} .

Таблица выше показывает, что в том или ином порядке a _n и b _n = a _n + 1 равны H _n H _{n +1} и 2 P _n P _{n +1,} а c _n = H _{n +1} P _n + P _{n +1} H _n .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Пелла» . MathWorld .
• Последовательность OEIS A001333 (числители непрерывной дроби, сходящейся к sqrt (2)) - числители той же последовательности приближений