Десятичный логарифм

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Поиск источников: «Десятичный логарифм» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

График десятичного логарифма чисел от 0,1 до 100.

В математике , то логарифм является логарифм с основанием 10. ^[1] Он также известен как декадно - шаговой логарифм и в качестве десятичного логарифма , названный в честь его основания, или Briggsian логарифм , после Генри Бриггс , английский математик , который впервые его использование , а также стандартный логарифм . Исторически он был известен как десятичный логарифм ^[2] или десятичный логарифм . ^[3] Обозначается $log (x)$ , ^[4]^[5] $log 10 (Х)$ , ^[6] , а иногда и $вход (х)$ с большой буквой L (однако, это обозначение неоднозначно, так как он может также означать сложную природную логарифмическую многозначную функцию ). На калькуляторах это печатается как «журнал», но математики обычно имеют в виду натуральный логарифм (логарифм с основанием e ≈ 2,71828), а не десятичный логарифм, когда пишут «журнал». Чтобы смягчить эту двусмысленность, спецификация ISO 80000 рекомендует $записывать log 10 (x)$ как $lg (x)$ , а $log e (x)$ должно быть $ln (x)$ .

Страница из таблицы десятичных логарифмов. На этой странице показаны логарифмы чисел от 1000 до 1500 с точностью до пяти знаков после запятой. Полная таблица охватывает значения до 9999.

До начала 1970-х годов портативные электронные калькуляторы не были доступны, а механические калькуляторы, способные производить умножение, были громоздкими, дорогими и не очень доступными. Вместо этого в науке, технике и навигации использовались таблицы логарифмов с основанием 10 - когда вычисления требовали большей точности, чем можно было бы достичь с помощью логарифмической линейки . Превратив умножение и деление в сложение и вычитание, использование логарифмов позволило избежать трудоемких и подверженных ошибкам операций умножения и деления на бумаге и карандаше. ^[1] Поскольку логарифмы были настолько полезны, таблицы логарифмов по основанию 10 приводились в приложениях ко многим учебникам. Математические и навигационные справочники включают таблицы логарифмова также тригонометрические функции . ^[7] Историю таких таблиц см. В таблице журнала .

Мантисса и характеристика [ править ]

Важное свойство логарифмов по основанию 10, которое делает их столь полезными в вычислениях, заключается в том, что логарифм чисел больше 1, различающихся в степени 10, имеют одинаковую дробную часть. Дробная часть известна как мантисса . ^[8]^{[примечание 1]} Таким образом, в таблицах журналов должна отображаться только дробная часть. В таблицах десятичных логарифмов обычно указывается мантисса с точностью до четырех или пяти десятичных знаков после запятой каждого числа в диапазоне, например от 1000 до 9999.

Целочисленная часть, называемая характеристикой , может быть вычислена путем простого подсчета количества разрядов, на которое десятичная точка должна быть перемещена, чтобы она находилась справа от первой значащей цифры. Например, логарифм 120 определяется следующим расчетом:

{\ displaystyle \ log _ {10} (120) = \ log _ {10} \ left (10 ^ {2} \ times 1,2 \ right) = 2 + \ log _ {10} (1,2) \ приблизительно 2 + 0,07918 .}

Последнее число (0,07918) - дробная часть или мантисса десятичного логарифма 120 - можно найти в представленной таблице. Расположение десятичной точки в 120 говорит нам, что целая часть десятичного логарифма 120, характеристики, равна 2.

Отрицательные логарифмы [ править ]

Положительные числа меньше 1 имеют отрицательный логарифм. Например,

{\ displaystyle \ log _ {10} (0,012) = \ log _ {10} \ left (10 ^ {- 2} \ times 1,2 \ right) = - 2+ \ log _ {10} (1,2) \ приблизительно - 2 + 0,07918 = -1,92082.}

Чтобы избежать необходимости в отдельных таблицах для преобразования положительных и отрицательных логарифмов обратно в их исходные числа, можно выразить отрицательный логарифм как отрицательную целочисленную характеристику плюс положительная мантисса. Чтобы облегчить это, используются специальные обозначения, называемые штриховыми обозначениями :

\log _{10}(0.012)\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.

Полоса над характеристикой указывает, что она отрицательная, в то время как мантисса остается положительной. При чтении числа в виде столбцов вслух символ читается как «полоса n», то есть как «полоса 2, точка 07918…». ${\bar {n}}$ ${\bar {2}}.07918$

В следующем примере используется обозначение столбцов для вычисления 0,012 × 0,85 = 0,0102:

{\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}

* На этом этапе мантисса устанавливается между 0 и 1, так что ее антилогарифм (10 ^{мантисса} ) можно найти.

В следующей таблице показано, как одну и ту же мантиссу можно использовать для диапазона чисел, различающихся степенью десяти:

Десятичный логарифм, характеристика и мантисса степеней 10-кратного числа
Число	Логарифм	Характеристика	Мантисса	Комбинированная форма
п = 5 × 10 ^я	журнал ₁₀ ( п )	i = этаж (бревно ₁₀ ( n ))	журнал ₁₀ ( п ) - я
5 000 000	6,698 970 ...	6	0,698 970 ...	6,698 970 ...
50	1,698 970 ...	1	0,698 970 ...	1,698 970 ...
5	0,698 970 ...	0	0,698 970 ...	0,698 970 ...
0,5	−0,301 029 ...	−1	0,698 970 ...	1 .698 970 ...
0,000 005	−5,301 029 ...	−6	0,698 970 ...	6 0,698 970 ...

Обратите внимание, что мантисса общая для всех 5 × 10 ⁱ . Это верно для любого положительного действительного числа, потому что $x$

\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.

Поскольку является константой, мантисса происходит от , которая является константой для данного . Это позволяет включать в таблицу логарифмов только одну запись для каждой мантиссы. В примере с 5 × 10 ⁱ 0,698 970 (004 336 018 ...) будет указано после индексации 5 (или 0,5, или 500 и т. Д.). $i$ $\log _{10}(x)$ $x$

Числа помещены на шкалы логарифмов на расстояниях, пропорциональных разнице между их логарифмами. Если механически прибавить расстояние от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале, можно быстро определить, что 2 × 3 = 6.

История [ править ]

Десятичные логарифмы иногда также называют «бриггсовскими логарифмами» в честь Генри Бриггса , британского математика 17 века. В 1616 и 1617 годах Бриггс посетил Джона Нэпьера в Эдинбурге , изобретателя того, что сейчас называется естественным (основанием-е) логарифмом, чтобы предложить изменение логарифмов Нэпьера. В ходе этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом; и после своего возвращения из своего второго визита он опубликовал первую хилиаду своих логарифмов.

Поскольку логарифмы с основанием 10 были наиболее полезны для вычислений, инженеры обычно просто писали «log ( x )», когда имели в виду log ₁₀ ( x ). С другой стороны, математики написали «log ( x )», когда имели в виду log _e ( x ) как натуральный логарифм. Сегодня встречаются оба обозначения. Поскольку портативные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, стало общепринятым использовать обозначения инженеров. Таким образом, запись, согласно которой пишут «ln ( x )», когда подразумевается натуральный логарифм, возможно, получила дальнейшую популяризацию из-за самого изобретения, сделавшего использование «десятичных логарифмов» гораздо менее распространенным - электронных калькуляторов.

Числовое значение [ править ]

Ключи логарифма ( log для основания 10 и ln для основания e ) на типичном научном калькуляторе. Появление портативных калькуляторов в значительной степени устранило использование десятичных логарифмов в качестве вспомогательных средств для вычислений.

Числовое значение логарифма с основанием 10 может быть вычислено следующим образом: ^[6]

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\qquad {\text{ or }}\qquad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}

поскольку существуют процедуры для определения числового значения для логарифма по основанию e (см. Натуральный логарифм § Численное значение ) и логарифма по основанию 2 (см. Алгоритмы вычисления двоичных логарифмов ).

См. Также [ править ]

Двоичный логарифм
Кологарифм
Децибел
Логарифмическая шкала
Мантисса (число с плавающей запятой)
Логарифм Напьера

Примечания [ править ]

^ Это использование слова мантисса происходит от более старого, нечислового значения: незначительное добавление или дополнение, например, к тексту. В настоящее время слово мантисса обычно используется для описания дробной части числа с плавающей запятой на компьютерах, хотя рекомендуемый термин имеет значение .

Ссылки [ править ]

^ а б Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Глава IV. Логарифмы [23] Десятичные логарифмы». Тригонометрия . Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк: Генри Холт и компания . п. 31.
^ Эйлер, Леонард ; Speiser, Андреас ; дю Паскье, Луи Гюстав; Брандт, Генрих ; Трост, Эрнст (1945) [1748]. Speiser, Андреас (ред.). Введение в Analysin Infinitorum (Часть 2) . Опера Омния, Опера Математика . 1 (на латыни). 9 . Б. Г. Тойбнер .
^ Шерффер, П. Кароло (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (на латыни). 2 . Joannis Thomæ Nob. Де Траттнерн. п. 198.
^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Введение в логарифмы» . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 .
^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Десятичный логарифм" . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 .
^ Хедрик, Эрл Рэймонд (1913). Логарифмические и тригонометрические таблицы . Нью-Йорк, США: Macmillan .
^ «Логарифм: Полное руководство (теория и приложения) - Общий логарифм (основание 10)» . Математическое хранилище . 2016-05-08 . Проверено 29 августа 2020 .

Библиография [ править ]

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Мёзер, Майкл (2009). Инженерная акустика: Введение в контроль шума . Springer. п. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
Полиянин Андрей Дмитриевич; Манжиров, Александр Владимирович (2007) [2006-11-27]. Справочник по математике для инженеров и ученых . CRC Press . п. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.

[9] Это использование слова мантисса происходит от более старого, нечислового значения: незначительное добавление или дополнение, например, к тексту. В настоящее время слово мантисса обычно используется для описания дробной части числа с плавающей запятой на компьютерах, хотя рекомендуемый термин имеет значение .

[Hall_1909-1] а б Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Глава IV. Логарифмы [23] Десятичные логарифмы». Тригонометрия . Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк: Генри Холт и компания . п. 31.

[Euler_1748-2] Эйлер, Леонард ; Speiser, Андреас ; дю Паскье, Луи Гюстав; Брандт, Генрих ; Трост, Эрнст (1945) [1748]. Speiser, Андреас (ред.). Введение в Analysin Infinitorum (Часть 2) . Опера Омния, Опера Математика . 1 (на латыни). 9 . Б. Г. Тойбнер .

[Scherffer_1772-3] Шерффер, П. Кароло (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (на латыни). 2 . Joannis Thomæ Nob. Де Траттнерн. п. 198.

[4] "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 29 августа 2020 .

[5] «Введение в логарифмы» . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 .

[:0-6] Вайсштейн, Эрик В. "Десятичный логарифм" . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 .

[Hedrick_1913-7] Хедрик, Эрл Рэймонд (1913). Логарифмические и тригонометрические таблицы . Нью-Йорк, США: Macmillan .

[8] «Логарифм: Полное руководство (теория и приложения) - Общий логарифм (основание 10)» . Математическое хранилище . 2016-05-08 . Проверено 29 августа 2020 .

[1]