Математические таблицы - это списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами. Таблицы тригонометрических функций использовались в Древней Греции и Индии для приложений в астрономии и астрономии . Они продолжали широко использоваться, пока электронные калькуляторы не стали дешевыми и многочисленными, чтобы упростить и значительно ускорить вычисления . Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были обычным явлением в учебниках математики и естествознания, а специализированные таблицы были опубликованы для множества приложений.
История и использование [ править ]
Первые таблицы тригонометрических функций, которые, как известно, были составлены Гиппархом (около 190–120 гг. До н.э.) и Менелаем (около 70–140 гг. Н.э.), были утеряны. Наряду с сохранившейся таблицей Птолемея (ок. 90 - ок. 168 г. н. Э.), Все они были таблицами аккордов, а не полуаккордов, то есть синусоидальной функции. [1] таблица производства индийского математика Ариабхаты (476-550 CE) считается первая таблица синусоидальной когда - либо построенных. [1] Таблица Арьябханы оставалась стандартной синусоидальной таблицей древней Индии. Постоянно предпринимались попытки улучшить точность этой таблицы, что привело к открытиюразложение функций синуса и косинуса в степенной ряд Мадхавой Сангамаграмы (ок. 1350 - ок. 1425) и табулирование таблицы синусов Мадхавой со значениями с точностью до семи или восьми знаков после запятой.
Таблицы десятичных логарифмов использовались до изобретения компьютеров и электронных калькуляторов для быстрого умножения, деления и возведения в степень, включая извлечение корней n- й степени.
Механические компьютеры специального назначения, известные как разностные машины, были предложены в 19 веке для составления полиномиальных приближений логарифмических функций, то есть для вычисления больших логарифмических таблиц. Это было мотивировано в основном ошибками в логарифмических таблицах, сделанными человеческими компьютерами того времени. Первые цифровые компьютеры были разработаны во время Второй мировой войны отчасти для создания специализированных математических таблиц для прицеливания артиллерии . С 1972 года, с появлением и ростом использования научных калькуляторов , большинство математических таблиц вышло из употребления.
Одной из последних крупных попыток создания таких таблиц был проект « Математические таблицы», который был начат в 1938 году как проект Управления прогресса работ (WPA), в котором было задействовано 450 неработающих клерков для составления таблиц высших математических функций. Это длилось всю Вторую мировую войну. [ необходима цитата ]
Таблицы специальных функций все еще используются. Например, использование таблиц значений интегральной функции распределения от нормального распределения - так называемые стандартные нормальные таблицы - остается обычным явлением сегодня, особенно в школах, хотя использование научных и графических калькуляторов делает такой таблицы излишним.
Создание таблиц, хранящихся в оперативной памяти, является распространенной техникой оптимизации кода в компьютерном программировании, где использование таких таблиц ускоряет вычисления в тех случаях, когда поиск в таблице выполняется быстрее, чем соответствующие вычисления (особенно, если рассматриваемый компьютер этого не делает). есть аппаратная реализация расчетов). По сути, скорость вычислений меняется на объем памяти компьютера, необходимый для хранения таблиц.
Таблицы логарифмов [ править ]
Таблицы, содержащие десятичный логарифм (основание 10), широко использовались в вычислениях до появления электронных калькуляторов и компьютеров, потому что логарифмы преобразовывают задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания. Логарифмы с основанием 10 обладают дополнительным свойством, которое является уникальным и полезным: десятичный логарифм чисел больше единицы, которые различаются только в степени десяти, имеют одинаковую дробную часть, известную как мантисса . Таблицы десятичных логарифмов обычно включают только мантиссы ; целая часть логарифма, известная как характеристика, можно легко определить, посчитав цифры в исходном номере. Подобный принцип позволяет быстро вычислять логарифмы положительных чисел меньше 1. Таким образом, для всего диапазона положительных десятичных чисел можно использовать единую таблицу десятичных чисел. [2] См. Десятичный логарифм для получения подробной информации об использовании характеристик и мантисс.
История [ править ]
В 1544 году Майкл Стифель опубликовал « Арифметику интегра» , содержащую таблицу целых чисел и степеней двойки , которая считалась ранней версией логарифмической таблицы. [3] [4] [5]
Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нэпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание чудесного правила логарифмов ). [6] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительных материалов и девяносто страниц таблиц, связанных с натуральными логарифмами . Английский математик Генри Бриггс посетил Napier в 1615, и предложил повторное масштабирование логарифмов Непера , чтобы сформировать то , что теперь известно как общее , или по основанию 10 логарифмов. Напье поручил Бриггсу вычисление исправленной таблицы. В 1617 году они опубликовали Logarithmorum Chilias Prima. («Первая тысяча логарифмов»), в котором дается краткое описание логарифмов и таблица первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го десятичного знака.
Вычислительный прогресс, доступный с помощью десятичных логарифмов, преобразования мощных чисел или экспоненциальной записи , был таков, что вычисления вручную выполнялись намного быстрее.
Тригонометрические таблицы [ править ]
Тригонометрические вычисления сыграли важную роль в раннем изучении астрономии. Ранние таблицы были построены путем многократного применения тригонометрических тождеств (таких как тождества половинного угла и суммы углов) для вычисления новых значений из старых.
Простой пример [ править ]
Чтобы вычислить синусоидальную функцию 75 градусов, 9 минут, 50 секунд, используя таблицу тригонометрических функций, такую как таблица Бернеггера из 1619 года, проиллюстрированная выше, можно просто округлить до 75 градусов, 10 минут, а затем найти 10-минутную запись в таблице. Страница 75 градусов, показанная вверху справа, то есть 0,9666746.
Однако этот ответ точен только до четырех десятичных знаков. Если бы кто-то хотел большей точности, можно было бы интерполировать линейно следующим образом:
Из таблицы Бернеггера:
- sin (75 ° 10 ′) = 0,9666746
- sin (75 ° 9 ′) = 0,9666001
Разница между этими значениями составляет 0,0000745.
Поскольку в угловой минуте 60 секунд, мы умножаем разницу на 50/60, чтобы получить поправку (50/60) * 0,0000745 ≈ 0,0000621; а затем добавьте эту поправку к sin (75 ° 9 ′), чтобы получить:
- sin (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ sin (75 ° 9 ′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622
Современный калькулятор дает sin (75 ° 9 '50 ″) = 0,96666219991, поэтому наш интерполированный ответ имеет точность до 7-значной точности таблицы Бернеггера.
Для таблиц с большей точностью (больше цифр на значение) может потребоваться интерполяция более высокого порядка для получения полной точности. [7] В эпоху до появления электронных компьютеров интерполяция табличных данных таким образом была единственным практическим способом получения значений математических функций с высокой точностью, необходимых для таких приложений, как навигация, астрономия и геодезия.
Чтобы понять важность точности в таких приложениях, как навигация, обратите внимание, что на уровне моря одна угловая минута вдоль экватора Земли или меридиана (действительно, любого большого круга ) равна примерно одной морской миле (1,852 км или 1,151 мили).
См. Также [ править ]
- Справочник Абрамовица и Стегуна по математическим функциям
- Различный двигатель
- Эфемериды
- Таблица групп
- История логарифмов
- Морской альманах
- Матрица
- Таблица умножения
- Таблица случайных чисел
- Миллион случайных цифр с 100000 нормальных отклонений
- Таблица (информация)
- Таблица истинности
- Юрий Вега
Ссылки [ править ]
- ^ a b Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» . Проверено 4 марта 2010 года .
- ^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
- ^ Stifelio, Michaele (1544), Арифметика Integra , Лондон: Iohan Petreium
- ^ Бухштаб, АА; Печаев В.И. (2001) [1994], "Арифметика" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ↑ Вивиан Шоу Гроза и Сюзанна М. Шелли (1972), Математика Precalculus , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, стр. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
- ^ Эрнест Уильям Хобсон (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 , Кембридж: The University Press
- ^ Справочник Абрамовица и Стегуна по математическим функциям, Введение § 4
- Кэмпбелл-Келли, Мартин (2003), История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц , Оксфордская стипендия онлайн, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0
Внешние ссылки [ править ]
- LOCOMAT : Перепись математических и астрономических таблиц.
 | Викискладе есть медиафайлы по математическим таблицам . |
