Астрономический трактат Āryabhaṭīya был составлен на пятом веке индийский математик и астроном Aryabhata (476-550 н.э.), для вычисления половин аккордов определенного набора дуг окружности. Это не таблица в современном понимании математической таблицы; то есть это не набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам. [1] [2]
Таблица Рьябханы также не является набором значений тригонометрической функции синуса в общепринятом смысле; это таблица первых разностей значений тригонометрических синусов, выраженных в угловых минутах , и из-за этого таблица также называется таблицей разностей синусов Арьябханы . [3] [4]
Таблица Арьябханы была первой таблицей синусов в истории математики . [5] В настоящее время потеряли таблицы Гиппарха (C.190 BC - C.120 BC) и Менелая (c.70-140 CE) и тех , Птолемея (c.AD 90 - c.168) были все таблицы аккордов и не полуаккордов. [5] Таблица Арьябханы оставалась стандартной синусоидальной таблицей древней Индии. Были постоянные попытки улучшить точность этой таблицы. Эти усилия завершились открытием степенного ряда функций синуса и косинуса Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 - ок. 1425), основателем керальской школы астрономии и математики , и составлением таблицы синусов. Мадхавой со значениями с точностью до семи или восьми знаков после запятой.
Некоторые историки математики утверждали, что таблица синусов, приведенная в ryabhaṭiya, была адаптацией более ранних подобных таблиц, построенных математиками и астрономами Древней Греции. [6] Дэвид Пингри , один из выдающихся американских историков точных наук в древности, был сторонником такой точки зрения. Предполагая эту гипотезу, Дж. Дж. Тумер [7] [8] [9] пишет: «Практически не существует какой-либо документации о самом раннем появлении греческих астрономических моделей в Индии или, в этом отношении, о том, как эти модели могли бы выглядеть. чтобы выяснить, в какой степени то, что дошло до нас, представляет собой переданное знание, и что является оригинальным у индийских ученых ... Истина, вероятно, представляет собой запутанную смесь того и другого ». [10]
Стол
Оригинальный стол
Строфа в Арьябхатии, описывающая таблицу синусов, воспроизводится ниже:
मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व |
घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ-अर्ध-ज्यास् ||
В современных обозначениях
Значения, закодированные в санскритском стихе Арьябханы, могут быть декодированы с использованием числовой схемы, объясненной в Арьябхатии , а декодированные числа перечислены в таблице ниже. В таблице угловые меры, относящиеся к таблице синусов Арьябханы, перечислены во втором столбце. Третий столбец содержит список чисел, содержащихся в стихе на санскрите, приведенном выше письмом Деванагари . Для удобства пользователей, не умеющих читать деванагари, эти числовые значения воспроизводятся в четвертом столбце транслитерации ISO 15919 . В следующем столбце эти числа записаны арабско-индусскими цифрами . Числа Арьябханы - это первые различия в значениях синусов. Соответствующее значение синуса (или, точнее, jya ) может быть получено суммированием разностей до этой разницы. Таким образом, значение jya, соответствующее 18 ° 45 ', составляет сумму 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Для оценки точности вычислений Арьябханы современные значения jya s приведены в последнем столбце таблицы.
В индийской математической традиции синус (или джья ) угла не является соотношением чисел. Это длина определенного отрезка прямой, определенной полухорды. Радиус базовой окружности является основным параметром для построения таких таблиц. Исторически сложилось так, что несколько таблиц были построены с использованием разных значений этого параметра. Арьябхана выбрал число 3438 в качестве значения радиуса основной окружности для вычисления своей таблицы синусов. Обоснованием выбора этого параметра является идея измерения длины окружности в угловых мерах. В астрономических вычислениях расстояния измеряются в градусах , минутах , секундах и т. Д. В этом случае длина окружности составляет 360 ° = (60 × 360) минут = 21600 минут. Радиус круга, длина окружности которого 21600 минут, равен 21600 / 2π минут. Вычисляя это, используя значение π = 3,1416, известное Арьябхате, мы получаем радиус круга приблизительно равный 3438 минутам. Таблица синусов Рьябханы основана на этом значении радиуса основной окружности. Пока не установлено, кто первым использовал это значение для радиуса основания. Но Арьябхатия - это самый ранний сохранившийся текст, содержащий ссылку на эту основную константу. [11]
Sl. Нет | Угол (A) (в градусах , угловых минутах ) | Значение в числовой записи Арьябханы (в Деванагари ) | Значение в Ариабхатах в числовом обозначении (в ISO 15919 транслитерации) | Значение в индо-арабских цифрах | Ариабхаты в значение JYA (А) | Современное значение из JYA (А) (3438 × sin (A)) |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 03 ° 45 ' | मखि | Махи | 225 | 225 ′ | 224,8560 |
2 | 07 ° 30 ' | भखि | бхакхи | 224 | 449 ′ | 448,7490 |
3 | 11 ° 15 ' | फखि | паххи | 222 | 671 ′ | 670,7205 |
4 | 15 ° 00 ′ | धखि | дхакхи | 219 | 890 ′ | 889,8199 |
5 | 18 ° 45 ' | णखि | akhi | 215 | 1105 ′ | 1105.1089 |
6 | 22 ° 30 ' | ञखि | няхи | 210 | 1315 ′ | 1315,6656 |
7 | 26 ° 15 ' | ङखि | akhi | 205 | 1520 ′ | 1520,5885 |
8 | 30 ° 00 ′ | हस्झ | хасжа | 199 | 1719 ′ | 1719.0000 |
9 | 33 ° 45 ' | स्ककि | скаки | 191 | 1910 ′ | 1910.0505 |
10 | 37 ° 30 ' | किष्ग | киṣга | 183 | 2093 ′ | 2092.9218 |
11 | 41 ° 15 ' | श्घकि | шгаки | 174 | 2267 ′ | 2266,8309 |
12 | 45 ° 00 ′ | किघ्व | кигва | 164 | 2431 ′ | 2431.0331 |
13 | 48 ° 45 ' | घ्लकि | глаки | 154 | 2585 ′ | 2584,8253 |
14 | 52 ° 30 ' | किग्र | кигра | 143 | 2728 ′ | 2727,5488 |
15 | 56 ° 15 ' | हक्य | хакья | 131 | 2859 ′ | 2858,5925 |
16 | 60 ° 00 ′ | धकि | Дакки | 119 | 2978 ′ | 2977.3953 |
17 | 63 ° 45 ' | किच | Kica | 106 | 3084 ′ | 3083,4485 |
18 | 67 ° 30 ' | स्ग | sga | 93 | 3177 ′ | 3176,2978 |
19 | 71 ° 15 ' | झश | джхаша | 79 | 3256 ′ | 3255,5458 |
20 | 75 ° 00 ′ | ङ्व | ṅva | 65 | 3321 ′ | 3320,8530 |
21 год | 78 ° 45 ' | क्ल | кла | 51 | 3372 ′ | 3371.9398 |
22 | 82 ° 30 ' | प्त | пта | 37 | 3409 ′ | 3408,5874 |
23 | 86 ° 15 ' | फ | пха | 22 | 3431 ′ | 3430,6390 |
24 | 90 ° 00 ′ | छ | ча | 7 | 3438 ′ | 3438,0000 |
Вычислительный метод Арьябхаты
Второй раздел Āryabhaiya, названный Ganitapādd a, содержит строфу, указывающую метод вычисления таблицы синусов. Есть несколько двусмысленностей в правильной интерпретации значения этого стиха. Например, ниже приводится перевод стиха, данного Кацем, в котором слова в квадратных скобках являются вставками переводчика, а не переводами текстов в стихе. [11]
- "Когда вторая разделенная половина [хорда] меньше первой половины хорды, которая [приблизительно равна] [соответствующей] дуге, на определенную величину, оставшиеся [синусоидальные различия] меньше [, чем предыдущая ед.] каждый на ту величину, которая делится на первую половину аккорда ".
Это может относиться к тому факту, что вторая производная синусоидальной функции равна отрицательной величине синусоидальной функции.
Смотрите также
- Таблица синусов Мадхавы
- Формула синусоидального приближения Бхаскары I.
Рекомендации
- ^ Селин, Helaine , изд. (2008). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Springer. стр. 986 -988. ISBN 978-1-4020-4425-0.
- ^ Юджин Кларк (1930). Астрономия . Чикаго: Издательство Чикагского университета.
- ^ Такао Хаяси, Т. (ноябрь 1997 г.). «Правило Арьябханы и таблица синусоидальных различий». Historia Mathematica . 24 (4): 396–406. DOI : 10.1006 / hmat.1997.2160 .
- ^ Б.Л. ван дер Варден, Б.Л. (март 1988 г.). «Реконструкция греческой таблицы аккордов» . Архив истории точных наук . 38 (1): 23–38. DOI : 10.1007 / BF00329978 .
- ^ а б Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» . Проверено 4 марта 2010 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ «Гиппарх и тригонометрия» . Проверено 6 марта 2010 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Дж. Дж. Тумер, Дж. Джей (июль 2007 г.). «Таблица аккордов Гиппарха и ранняя история греческой тригонометрии». Центавр . 18 (1): 6–28. DOI : 10.1111 / j.1600-0498.1974.tb00205.x . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Б.Н. Нарахари Ачар (2002). «Арьябхата и таблица ришин» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 37 (2): 95–99 . Проверено 6 марта 2010 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Глен Ван Браммелен (март 2000 г.). «[HM] Радианная мера» . Архив рассылки Historia Mathematica . Проверено 6 марта 2010 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Глен Ван Браммелен. Математика неба и земли: начало 0 .
- ^ а б Виктор Дж. Кац (редактор) (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 405–408. ISBN 978-0-691-11485-9.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )