Джья , коти-джья и уткрама-джья - три тригонометрические функции, введенные индийскими математиками и астрономами. Самый ранний известный индийский трактат, содержащий ссылки на эти функции, - Сурья Сиддханта . [1] Это функции дуг окружностей, а не углов. JYA и kotijyā тесно связаны с современными тригонометрические функции от синус и косинус . Фактически, происхождение современных терминов «синус» и «косинус» восходит к санскритским словам jyā и kotijyā. [1]
Определение
Пусть 'дуга AB' обозначает дугу , два конца которой являются A и B окружности с центром O. Если перпендикуляр BM опустить из B в OA, то:
- джья дуги AB = BM
- коти-джья дуги АВ = ОМ
- уткрама-джйа дуги АБ = МА
Если радиус окружности равен R , а длина дуги АВ с , угол , образуемый дугой АВ в точке О , измеренной в радианах θ = s / R . Три индийские функции связаны с современными тригонометрическими функциями следующим образом:
- джья (дуга AB) = R sin ( s / R )
- коти-джья (дуга AB) = R cos ( s / R )
- уткрама-джья (дуга AB) = R (1 - cos ( s / R )) = R versin ( s / R )
Терминология
Дуга круга подобна луку и поэтому называется дхану или чапа, что на санскрите означает «лук». Прямая линия, соединяющая два конца дуги круга, подобна тетиве лука, и эта линия является хордой круга. Этот аккорд называется JYA , который в санскрите означает «тетива», предположительно , перевод Хипаркуса «s χορδή с тем же значением [ править ] . Слово jīvá также используется как синоним слова jyā в геометрической литературе. [2] В какой-то момент индийские астрономы и математики поняли, что вычисления будут более удобными, если использовать половинки хорд вместо полных хорд и связать полухорды с половинами дуг. [1] [3] Полукорды назывались ардха-джья или джья-ардха . Эти термины были снова сокращены до джья , опуская квалификатор ардха, который означал «половина».
Санскритское слово koi означает «острие, куспид» и, в частности, « изогнутый конец лука ». В тригонометрии оно стало обозначать «дополнение дуги до 90 °». Таким образом, коти-джья - это « джья дополнительной дуги». В индийских трактатах, особенно в комментариях, коджи-джья часто сокращается как коджья . Термин koṭi также означает «сторону прямоугольного треугольника». Таким образом, коти-джья может также означать сторону прямоугольного треугольника, одной из сторон которого является джья . [ требуется разъяснение ] [1]
Уткрама означает «перевернутый», таким образом, уткрама-джья означает «перевернутый аккорд». Табличные значения уткрама-джья получаются из табличных значений джья путем вычитания элементов из радиуса в обратном порядке. [ требуется уточнение ] Это действительно [ необходимо пояснение ] стрела между луком и тетивой, и поэтому ее также называют бана , ишу или шара, что означает «стрела». [1]
Дуга окружности, которая образует в центре угол 90 °, называется вритта-падой ( квадратом круга). Каждый зодиакальный знак определяет дугу в 30 °, а три последовательных зодиакальных знака определяют вритта-пада . JYA из vritta-пада это радиус окружности. Индийские астрономы ввели термин три-джья для обозначения радиуса основного круга, причем термин три-джья указывает на « джья трех знаков». Радиус также называется вьясардха , вишкамбхардха , вистарардха и т. Д. , Что означает « полудиаметр ». [1]
Согласно одному соглашению, функции jyā и koti-jyā соответственно обозначаются «Rsin», а «Rcos» рассматриваются как отдельные слова. [1] Другие обозначают джья и коти-джья соответственно «грехом» и «кос» (первые буквы - заглавные, в отличие от первых букв - строчных букв в обычных функциях синуса и косинуса). [3]
От джья до синуса
Истоки современного термина синусов были прослежены к слову санскритского JYA , [4] [5] или более конкретно его синоним Джива . Этот термин был принят в средневековой исламской математике и транслитерировался на арабском языке как jība ( جيب ). Поскольку арабский язык написан без коротких гласных - и как заимствование долгая гласная здесь обозначена как yā y - это было интерпретировано как омографическое jayb , что означает «лоно». Латинский переводчик XII века использовал латинский эквивалент слова «лоно», синус . [6] Когда джья стала синусом , по аналогии коджья стала синусом .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Б с д е е г Синяя книга Датта и А.Н. Singh (1983). «Индуистская тригонометрия» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 18 (1): 39–108 . Проверено 1 марта 2010 года .
- ↑ По словам лексикографов, это синоним, также означающий «тетива из лука», но в литературе засвидетельствовано только его геометрическое значение. Монье-Вильямс, Санскритский словарь (1899): « jīvá n. ( In geom. = Jyā ) аккорд дуги; синус дуги Сурьясиддханта 2,57»; jīvá как родовое прилагательное имеет значение «живой, живой» (в родстве с английским quick )
- ^ а б Глен Ван Браммелен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета . С. 95–97. ISBN 978-0-691-12973-0.
- ^ «Как триггерные функции получили свои названия» . Спросите доктора Математики . Дрексельский университет . Проверено 2 марта 2010 года .
- ^ Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» . Проверено 2 марта 2010 года .
- ^ Различные источники приписывают первое использование пазухи :
- Платон из Тиволи «S 1116 перевода астрономии из Аль-Баттани
- Жерар Кремоны ок. 1150 перевод алгебры с аль-Хорезми
- Роберт Честерский перевод таблиц аль-Хваризми в 1145 году.
См. Maor (1998), глава 3, для более ранней этимологии, указывающей на Жерара.
Видеть Каткс, Виктор (июль 2008 г.). История математики (3-е изд.). Бостон: Пирсон. п. 210 (боковая панель). ISBN 978-0321387004.