Версина

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

Синус-верзус или сведущий синус является тригонометрическими функциями найдены в некоторых из самых ранних (ведической Aryabhatia I) тригонометрических таблиц . Версин угла равен 1 минус его косинус .

Есть несколько связанных функций, в первую очередь кавер-синус и гаверсинус . Последняя, ​​половина версины, имеет особое значение в гаверсиновой формуле навигации.

Единичная окружность с тригонометрическими функциями . ^[1]

Обзор [ править ]

Синус-верзус ^{[2] [3] [4] [5] [6]} или сведущим синус ^{[7] [8] [9] [10] [11]} является тригонометрические функции уже появляются в некоторых из самых ранних тригонометрических таблиц. Он записывается как versin ( θ ) , sinver ( θ ) , ^{[12] [13]} vers ( θ ) , ver ( θ ) ^[14] или siv ( θ ) . ^{[15] [16]} На латыни он известен какпазухи против (перевернутый синуса), versinus , против или Sagitta (стрелка). ^[17]

Выраженный в терминах более часто используемых функций "вертикальных" синусов ( sinus rectus ) и косинусов ( cosinus rectus ), версин равен

${\ displaystyle {\ textrm {versin}} (\ theta) = 1- \ cos (\ theta) = 2 \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$

Есть несколько связанных функций, соответствующих версине:

• Сведущий косинус , ^{[18] [NB 1]} или vercosine , написанный vercosin ( & thetas ) , vercos ( & thetas ; ) или VCS ( & thetas ; )
• Coversed синус , coversine , ^[19] Cosinus в сравнении, или coversinus , написанный coversin ( θ ) , ^[20] обложки ( θ ) , ^{[21] [22] [23]} cosiv ( θ ) или резюме ( θ ) ^[24]
• Coversed косинуса ^[25] или covercosine , написанный covercosin ( θ ) или covercos ( θ ) или CVC ( θ )

В полной аналогии с вышеупомянутыми четырьмя функциями существует также другой набор из четырех «половинных» функций:

• Haversed синуса , ^[26] гаверсинуса или semiversus , ^{[27] [28]} написана haversin ( θ ) , semiversin ( θ ) , semiversinus ( & thetas ; ) , Хейверс ( & thetas ; ) , HAV ( θ ) , ^{[29] [30]} HVS ( θ ) , ^{[nb 2]} sem ( θ ) или hv ( θ ) , ^[31] наиболее известная из формулы гаверсинусаисторически использовался в навигации
• Haversed косинуса ^[32] или havercosine , написанный havercosin ( θ ) , havercos ( θ ) , HAC ( θ ) или HVC ( θ )
• Hacoversed синус , называемый также hacoversine ^[20] или cohaversine и письменные hacoversin ( θ ) , semicoversin ( θ ) , hacovers ( θ ) , hacov ( θ ) ^[33] или HCV ( θ )
• Hacoversed косинуса , ^[34] также называется hacovercosine или cohavercosine и письменные hacovercosin ( θ ) , hacovercos ( θ ) или HCC ( θ )

История и приложения [ править ]

Версин и каверцин [ править ]

Обычная функция синуса ( см. Примечание по этимологии ) иногда исторически называлась sinus rectus («прямой синус»), чтобы противопоставить ее синусу с параграфом ( sinus vs. ). ^[36] Значение этих терминов становится очевидным, если посмотреть на функции в исходном контексте для их определения, единичный круг :

Для вертикальной хорды AB единичной окружности синус угла θ (представляющий половину приложенного угла Δ ) - это расстояние AC (половина хорды). С другой стороны, исправленный синус θ - это расстояние CD от центра хорды до центра дуги. Таким образом, сумма cos ( θ ) (равная длине линии OC ) и versin ( θ ) (равная длине линии CD ) является радиусом OD (длиной 1). Изображенный таким образом синус вертикальный ( rectus , буквально «прямой»), а версин горизонтальный (versus , буквально «повернутый против, неуместный»); оба расстояния от C до круга.

Эта фигура также показывает причину , по которой был синус-верзус иногда называют Sagitta , латинский для стрелки , ^{[17] [35]} с использованием арабского sahem ^[37] того же смысла. Само это происходит от индийского слова «сара» (стрела) ^{[ необходима цитата ],} которое обычно использовалось для обозначения « уткрама-джья ». Если дугу ADB двойного угла Δ  = 2θ рассматривать как « лук », а пояс AB как его «струну», то версин CD явно является «древком стрелы».

В соответствии с интерпретацией синуса как «вертикального» и синусоидального синуса как «горизонтального», сагитта также является устаревшим синонимом абсциссы (горизонтальной оси графика). ^[35]

В 1821 году Коши использовал термины синус против ( siv ) для стиха и косинус против ( cosiv ) для покрытия. ^{[15] [16] [номер 1]}

Исторически сложившийся синус считался одной из самых важных тригонометрических функций. ^{[11] [36] [37]}

Когда θ стремится к нулю, versin ( θ ) - это разница между двумя почти равными величинами, поэтому пользователю тригонометрической таблицы для одного косинуса потребуется очень высокая точность, чтобы получить версин, чтобы избежать катастрофической отмены , делая отдельные таблицы для последнего удобно. ^[11] Даже при использовании калькулятора или компьютера из -за ошибок округления рекомендуется использовать формулу sin ² для малых  θ .

Еще одно историческое преимущество версины состоит в том, что она всегда неотрицательна, поэтому ее логарифм определен везде, кроме единственного угла ( θ = 0, 2 π ,…), где он равен нулю - таким образом, можно использовать логарифмические таблицы для умножения в формулах с участием версин.

Фактически, самая ранняя из сохранившихся таблиц значений синуса ( полухорды ) (в отличие от аккордов, приведенных в таблице Птолемеем и другими греческими авторами), рассчитанная на основе индийской Сурья-сиддханты, датируемой III веком до нашей эры, была таблицей значений для синуса и вертикального синуса (с шагом 3,75 ° от 0 до 90 °). ^[36]

Версия появляется как промежуточный шаг в применении формулы половинного угла sin ² (θ/2) =1/2versin ( θ ), полученный Птолемеем , который использовался для построения таких таблиц.

Хаверсин [ править ]

Гаверсинус, в частности, был важен в навигации, потому что он появляется в формуле гаверсинуса , которая используется для достаточно точного вычисления расстояний на астрономическом сфероиде (см. Проблемы с радиусом Земли и сферой ) с учетом угловых положений (например, долготы и широты). ). Можно также использовать sin ² (θ/2) напрямую, но наличие таблицы гаверсинуса избавило от необходимости вычислять квадраты и квадратные корни. ^[11]

Раннее использование Хосе де Мендоса-и-Риосом того, что позже назовут гаверсинами, зарегистрировано в 1801 году. ^{[13] [38]}

Первый известный английский эквивалент таблицы гаверсинов был опубликован Джеймсом Эндрю в 1805 году. ^{[39] [40] [17]}

В 1835 году, термин гаверсинус (нотирован естественно , как HAV. , Или с основанием 10 логарифмический как бревно. Гаверсинус или войти. Хейверс. ) Была придуман ^[41] от Джеймса Инмэн ^{[13] [42] [43]} в третьем издании его Работа « Навигация и морская астрономия: для британских моряков» для упрощения расчета расстояний между двумя точками на поверхности земли с использованием сферической тригонометрии для приложений в навигации. ^{[2] [41]} Инман также использовал термины физ. Версина и нац. верс. для версинов.^[2]

Другими высоко оцененными таблицами гаверсинов были таблицы Ричарда Фарли в 1856 году ^{[39] [44]} и Джона Колфилда Ханнингтона в 1876 году. ^{[39] [45]}

Гаверсинус продолжает использоваться в навигации и нашел новые применения в последние десятилетия, как в методе Брюса Д. Старка для определения лунных расстояний с использованием гауссовых логарифмов с 1995 года ^{[46] [47]} или в более компактном методе уменьшения зрения с 2014 года. . ^[31]

Современное использование [ править ]

В то время как использование версина, каверсина и гаверсина, а также их обратных функций можно проследить веками, названия других пяти совместных функций, по-видимому, гораздо более молодого происхождения.

Один период (0 < θ <π/2) формы волны версины или, чаще, гаверсинуса (или гаверкозина) также обычно используется в теории обработки сигналов и управления в качестве формы импульса или оконной функции (включая окна Ханна , Ханна-Пуассона и Тьюки ), поскольку они плавно ( непрерывно по значению и наклону ) «включается» от нуля до единицы (для гаверсинуса) и обратно до нуля. ^{[nb 2]} В этих приложениях она называется функцией Ханна или фильтром с приподнятым косинусом . Аналогичным образом хаверкозин используется вприподнятые косинусные распределения в теории вероятностей и статистике .

В виде греха ² ( & thetas ; ) гаверсинус двойного угла Δ описывает соотношение между спредами и углами в рациональной тригонометрии , предложенная переформулировка метрических плоским и твердой геометрии с помощью Нормана Джоном Wildberger с 2005 года ^[48]

Как сагитты и cosagitta, двойной угол Δ варианты в гаверсинусе и havercosine также нашло новое применение при описании корреляции и анти-корреляции коррелированных фотонов в квантовой механике . ^[49]

Математические тождества [ править ]

Определения [ править ]

${\ displaystyle {\ textrm {versin}} (\ theta): = 2 \ sin ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 1- \ cos (\ theta ) \,}$[3]
${\ displaystyle {\ textrm {coverin}} (\ theta): = {\ textrm {versin}} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = 1- \ sin (\ тета) \,}$[3]
${\ displaystyle {\ textrm {vercosin}} (\ theta): = 2 \ cos ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 1 + \ cos (\ theta ) \,}$[18]
${\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,}$[25]
${\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}$[3]
${\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,}$[20]
${\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}=\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,}$[32]
${\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,}$[34]

Круговые вращения [ править ]

Функции представляют собой круговые вращения друг друга.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Производные и интегралы [ править ]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}$[50]	${\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}$[3] [50]
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}$[19]	${\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}$[19]
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}$[26]	${\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}$[26]
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}$

Обратные функции [ править ]

Обратные функции, такие как arcversine ^[33] (arcversin, arcvers, ^{[7] [33]} avers, ^{[51] [52]} aver), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), arccoversine ^[33] (arccoversin, arccovers, ^{[ 7] [33]} acovers, ^{[51] [52]} acvs), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), архаверсин (архаверсин, архав, ^[33] хаверсин ^-1 , ^[53] invhav, ^{[33] [54 ] ] [55] [56]} ахав, ^{[33][51] [52]} ahvs, ahv, hav ^{-1 [57] [58]} ), архаверкозин (архаверкозин, архаверкос, ahvc), архаковерсин (архаковерсин, ahcv) или архаверкозин (архаверкозин, архакаверкозин, ahcc) также существуют:

${\displaystyle \operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,}$[33] [51] [52]

${\displaystyle \operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,}$[33] [51] [52]

${\displaystyle \operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,}$[33] [51] [52] [53] [54] [55] [57] [58]

${\displaystyle \operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)}$

${\displaystyle \operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,}$

Другие свойства [ править ]

Эти функции могут быть расширены на комплексную плоскость . ^{[50] [19] [26]}

Серия Маклорена : ^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^[7]

Приближения [ править ]

Когда версин v мала по сравнению с радиусом r , его можно аппроксимировать по длине полухорды L ( показанное выше расстояние AC ) по формуле

${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}}$. ^[59]

В качестве альтернативы, если версина небольшая и известны версия, радиус и длина полухорды, их можно использовать для оценки длины дуги s ( AD на рисунке выше) по формуле

${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$

Эта формула была известна китайскому математику Шен Куо , а более точная формула, также включающая сагитту, была разработана двумя веками позже Го Шоуцзином . ^[60]

Более точное приближение, используемое в технике ^[61] :

${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$

Произвольные кривые и хорды [ править ]

Термин версина также иногда используется для описания отклонений от прямолинейности в произвольной плоской кривой, из которых вышеуказанная окружность является частным случаем. При наличии хорды между двумя точками кривой перпендикулярное расстояние v от хорды до кривой (обычно в средней точке хорды) называется измерением версины . Для прямой линии версин любой хорды равен нулю, поэтому это измерение характеризует прямолинейность кривой. В пределе, когда длина хорды L стремится к нулю, отношение8 в/L ²переходит к мгновенному искривлению . Это использование особенно распространено на железнодорожном транспорте , где оно описывает измерения прямолинейности рельсовых путей ^[62] и является основой метода Hallade для рельсовых съемок .

Термин sagitta (часто сокращенно sag ) также используется в оптике для описания поверхностей линз и зеркал .

См. Также [ править ]

• Тригонометрические тождества
• Exsecant и excosecant
• Версьера ( Ведьма Агнеси )
• Экспоненциальная минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хокинг, Стивен Уильям , изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии . Филадельфия, США: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Проверено 31 июля 2017 .
• Ставек, Иржи (10 марта 2017 г.) [26 февраля 2017 г.]. «О скрытой красоте тригонометрических функций» . Прикладные исследования физики . Прага, Чехия: Канадский центр науки и образования. 9 (2): 57–64. DOI : 10,5539 / apr.v9n2p57 . ISSN  1916-9639 . ISSN 1916-9647 .  [5]

Внешние ссылки [ править ]

• Пегг-младший, изд . «Сагитта, апофема и аккорд» . Демонстрационный проект Вольфрама .
• Тригонометрические функции на GeoGebra.org