Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Тригонометрия |
---|
Ссылка |
Законы и теоремы |
Исчисление |
Среди непрофессионалов, не являющихся математиками и не-учеными, тригонометрия известна главным образом своим приложением к задачам измерения, но также часто используется гораздо более тонкими способами, такими как ее место в теории музыки ; все же другие применения более технические, например, в теории чисел . Математические вопросы, связанные с рядами Фурье и преобразованиями Фурье, в значительной степени зависят от знания тригонометрических функций и находят применение в ряде областей, включая статистику .
Заявление Томаса Пейна [ править ]
В главе XI «Эпохи разума» американский революционер и мыслитель эпохи Просвещения Томас Пейн писал: [1]
- Научные принципы, которые человек использует для получения предвидения затмения или чего-либо еще, относящегося к движению небесных тел, содержатся в основном в той части науки, которая называется тригонометрией, или свойствами треугольника, которые: применительно к изучению небесных тел называется астрономией; когда применяется для определения курса корабля в океане, это называется навигацией; применительно к построению фигур, нарисованных линейкой и циркулем, это называется геометрией; применительно к построению планов зданий это называется архитектурой; применительно к измерению любого участка поверхности земли это называется топографической съемкой. В общем, это душа науки. Это вечная истина: она содержит математическое доказательство о котором говорит человек, и масштабы его использования неизвестны.
История [ править ]
Большой тригонометрический обзор [ править ]
С 1802 по 1871 год Великая тригонометрическая съемка была проектом по исследованию Индийского субконтинента с высокой точностью. Начиная с берега, математики и географы триангулировали огромные расстояния по стране. Одним из ключевых достижений было измерение высоты Гималайских гор и определение Эвереста как самой высокой точки на Земле. [2]
Историческое использование умножения [ править ]
В течение 25 лет, предшествовавших изобретению логарифма в 1614 году, простаферез был единственным известным общепринятым способом быстрого приближения продуктов. Он использовал тождества для тригонометрических функций сумм и разностей углов в терминах произведений тригонометрических функций этих углов.
Некоторые современные способы использования [ править ]
В этом разделе не процитировать любые источники . август 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ( |
Научные области, в которых используется тригонометрия, включают:
- акустика , архитектура , астрономия , картография , гражданское строительство , геофизика , кристаллография , электротехника , электроника , топографическая съемка и геодезия , многие физические науки , машиностроение , механическая обработка , медицинская визуализация , теория чисел , океанография , оптика , фармакология , теория вероятностей , сейсмология, статистика и визуальное восприятие
То, что эти поля включают тригонометрию, не означает, что для того, чтобы что-то о них узнать, необходимы знания тригонометрии. Это действительно означает , что некоторые вещи в этих областях не могут быть поняты без тригонометрии. Например, профессор музыки может ничего не знать о математике, но, вероятно, знает, что Пифагор был одним из первых известных авторов математической теории музыки.
В некоторых сферах деятельности, перечисленных выше, легко представить, как можно использовать тригонометрию. Например, в навигации и топографической съемке возможности использования тригонометрии, по крайней мере, в некоторых случаях достаточно просты, чтобы их можно было описать в учебнике по тригонометрии для начинающих. В случае теории музыки применение тригонометрии связано с работой, начатой Пифагором, который заметил, что звуки, издаваемые при перещипывании двух струн разной длины, являются согласными, если обе длины являются малыми целыми кратными общей длины. Сходство формы колеблющейся струны и графика синусоидальной функции не просто совпадение. В океанографии сходство форм некоторых волни график синусоиды тоже не случаен. В некоторых других областях, среди которых климатология , биология и экономика, наблюдаются сезонные периоды. Их изучение часто включает периодический характер функции синуса и косинуса.
Ряд Фурье [ править ]
Многие области используют тригонометрию более продвинутыми способами, чем можно обсудить в одной статье. Часто они включают так называемые ряды Фурье в честь французского математика и физика 18-19 веков Жозефа Фурье . Ряды Фурье находят удивительно разнообразное применение во многих областях науки, в частности, во всех явлениях, связанных с сезонной периодичностью, упомянутой выше, и в волновом движении, и, следовательно, в исследовании излучения, акустики, сейсмологии, модуляции радиоизлучения. волны в электронике и электроэнергетике.
Ряд Фурье представляет собой сумму такой формы:
где каждый из квадратов ( ) - это другое число, и один добавляет бесконечно много членов. Фурье использовал их для изучения теплового потока и диффузии (диффузия - это процесс, при котором, когда вы бросаете кубик сахара в галлон воды, сахар постепенно распространяется по воде, или загрязняющее вещество распространяется по воздуху, либо любое растворенное вещество распространяется через любая жидкость).
Ряды Фурье применимы и к предметам, связь которых с волновым движением далеко не очевидна. Одним из распространенных примеров является цифровое сжатие, при котором изображения , аудио- и видеоданные сжимаются до гораздо меньшего размера, что делает возможной их передачу по телефону , Интернету и сетям вещания . Другой пример, упомянутый выше, - это диффузия. Среди других: геометрия чисел , изопериметрические задачи , повторяемость случайных блужданий , квадратичная взаимность , центральная предельная теорема ,Неравенство Гейзенберга .
Преобразования Фурье [ править ]
Более абстрактным понятием, чем ряды Фурье, является идея преобразования Фурье . Преобразования Фурье включают в себя интегралы, а не суммы, и используются в столь же разнообразных научных областях. Многие законы природы выражаются в соотнесении скорости изменения величин с самими величинами. Например: скорость изменения численности населения иногда пропорциональна (1) существующей численности населения и (2) количеству, на которое нынешняя популяция отстает от пропускной способности . Такая связь называется дифференциальным уравнением.. Если, имея эту информацию, кто-то пытается выразить численность населения как функцию времени, он пытается «решить» дифференциальное уравнение. Преобразования Фурье могут использоваться для преобразования некоторых дифференциальных уравнений в алгебраические уравнения, для которых известны методы их решения. Преобразования Фурье имеют множество применений. Практически в любом научном контексте, где встречаются слова «спектр», « гармоника» или « резонанс» , рядом есть преобразования Фурье или ряды Фурье.
Статистика, включая математическую психологию [ править ]
Иногда считается, что коэффициенты интеллекта распределяются по колоколообразной кривой . Около 40% площади под кривой находится в интервале от 100 до 120; соответственно, около 40% населения набирает от 100 до 120 баллов по тестам IQ. Около 9% площади под кривой находится в интервале от 120 до 140; соответственно, около 9% населения набирает от 120 до 140 баллов по тестам IQ и т. д. Подобным образом многие другие вещи распределяются по «колоколообразной кривой», включая ошибки измерений во многих физических измерениях. Почему повсеместно распространена «колоколообразная кривая»? Для этого есть теоретическая причина, и она включает в себя преобразования Фурье и, следовательно, тригонометрические функции . Это одно из множества приложений преобразования Фурье кстатистика .
Тригонометрические функции также применяются, когда статистики изучают сезонные периоды, которые часто представлены рядами Фурье.
Теория чисел [ править ]
Есть намек на связь между тригонометрией и теорией чисел. Грубо говоря, можно сказать, что теория чисел имеет дело с качественными свойствами, а не с количественными свойствами чисел.
Откажитесь от тех, которые не на самом низком уровне; оставляйте только самые низкие сроки:
Затем внесите тригонометрию:
Значение суммы равно -1, потому что 42 имеет нечетное количество простых множителей, и ни один из них не повторяется: 42 = 2 × 3 × 7. (Если бы было четное число неповторяющихся множителей, сумма была бы были равны 1; если бы были какие-либо повторяющиеся простые множители (например, 60 = 2 × 2 × 3 × 5), то сумма была бы равна 0; сумма - это функция Мёбиуса, вычисленная как 42.) Это намекает на возможность применение анализа Фурье к теории чисел.
Решение нетригонометрических уравнений [ править ]
С помощью тригонометрии можно решать различные типы уравнений .
Например, линейное разностное уравнение или линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет решения, выраженные через собственные значения его характеристического уравнения; если некоторые из собственных значений являются комплексными , комплексные члены могут быть заменены тригонометрическими функциями действительных членов, показывая, что динамическая переменная демонстрирует колебания .
Точно так же кубические уравнения с тремя действительными решениями имеют алгебраическое решение , которое бесполезно, поскольку оно содержит кубические корни из комплексных чисел; И снова существует альтернативное решение в терминах тригонометрических функций действительных членов.
Ссылки [ править ]
- ^ Томас, Пейн (2004). Эпоха разума . Dover Publications. п. 52.
- ^ «Треугольники и тригонометрия» . Матигон . Проверено 6 февраля 2019 .