Закон касательных

Рисунок 1 - Треугольник. Углы

α

,

β

и

γ

соответственно противоположны сторонам

a

,

b

и

c

.

Тригонометрия

Контур История использование Функции ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы ( обратные функции ) Производные
v т е

В тригонометрии , то закон касательных ^[1] является утверждение о связи между касательными двумя углами треугольника и длинами противоположных сторон.

На рисунке 1, $a$ , $b$ и $c$ - длины трех сторон треугольника, а $α$ , $β$ и $γ$ - углы, противоположные этим трем соответствующим сторонам. Закон касательных гласит, что

{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right)} {\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) \ right)}}.}

Закон касательных, хотя и не так широко известен как закон синусов или закон косинусов , эквивалентен закону синусов и может использоваться в любом случае, когда две стороны и включенный угол или два угла и сторона , известны.

Доказательство [ править ]

Чтобы доказать закон касательных, можно начать с закона синусов :

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.}

Позволять

{\ displaystyle d = {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}}

так что

a=d\sin \alpha \quad {\text{and}}\quad b=d\sin \beta .

Следует, что

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.

Используя тригонометрическое тождество , факторная формула для синусов в частности

\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),

мы получили

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}\div {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}.

В качестве альтернативы использованию тождества для суммы или разности двух синусов можно привести тригонометрическое тождество

\tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}

(см. формулу касательного полуугла ).

Заявление [ править ]

Закон касательных может использоваться для вычисления недостающей стороны и углов треугольника, в котором заданы две стороны $a$ и $b$ и закрытый угол $γ$ . Из

\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)={\frac {a-b}{a+b}}\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)={\frac {a-b}{a+b}}\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)

можно вычислить $α - β$ ; вместе с $α + β = 180 ° - γ$ это дает $α$ и $β$ ; оставшаяся часть $c$ может быть вычислена по закону синусов . До того, как появились электронные калькуляторы, этот метод был предпочтительнее применения закона косинусов $c = \sqrt a 2 + b 2 - 2 ab cos γ$ , поскольку последний закон требовал дополнительного поиска в таблице логарифмов., чтобы вычислить квадратный корень. В наше время закон касательных может иметь лучшие числовые свойства, чем закон косинусов: если $γ$ мало, а $a$ и $b$ почти равны, то применение закона косинусов приводит к вычитанию почти равных значений, что подразумевает потеря значащих цифр .

Сферическая версия [ править ]

На сфере единичного радиуса стороны треугольника представляют собой дуги больших окружностей . Соответственно, их длины могут быть выражены в радианах или любых других единицах угловой меры. Пусть $A$ , $B$ , $C$ - углы в трех вершинах треугольника, а $a$ , $b$ , $c$ - длины противоположных сторон соответственно. Сферический закон касательных гласит ^[2]

{\frac {\tan \left({\dfrac {A-B}{2}}\right)}{\tan \left({\dfrac {A+B}{2}}\right)}}={\frac {\tan \left({\dfrac {a-b}{2}}\right)}{\tan \left({\dfrac {a+b}{2}}\right)}}.

История [ править ]

Закон касательных для сферических треугольников был описан в 13 веке персидским математиком Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274), который также представил закон синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе « Трактат о четырехугольнике» . ^[3]^[4]

См. Также [ править ]

Закон синусов
Закон косинусов
Закон котангенсов
Формула Моллвейде
Формула половинной стороны
Формула касательного полуугла

Примечания [ править ]

↑ См. Эли Маор , « Тригонометрические наслаждения» , Princeton University Press , 2002.
^ Даниэль Цвиллинджер, Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 32-е издание, CRC Press, 2011, стр. 219.
^ Мари-Терез Debarnot (1996). «Тригонометрия». В Рушди Рашид, Регис Морелон (ред.). Энциклопедия истории арабской науки, Том 2 . Рутледж. п. 182. ISBN. 0-415-12411-5.
^ Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). «Тригонометрия». В CE Bosworth, MSAsimov (ред.). История цивилизаций Центральной Азии, Том 4, Часть 2 . Motilal Banarsidass. п. 190. ISBN 81-208-1596-3.

[1] См. Эли Маор , « Тригонометрические наслаждения» , Princeton University Press , 2002.

[2] Даниэль Цвиллинджер, Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 32-е издание, CRC Press, 2011, стр. 219.

[Debarnot-3] Мари-Терез Debarnot (1996). «Тригонометрия». В Рушди Рашид, Регис Морелон (ред.). Энциклопедия истории арабской науки, Том 2 . Рутледж. п. 182. ISBN. 0-415-12411-5.

[Bosworth-4] Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). «Тригонометрия». В CE Bosworth, MSAsimov (ред.). История цивилизаций Центральной Азии, Том 4, Часть 2 . Motilal Banarsidass. п. 190. ISBN 81-208-1596-3.

[1]