Формула касательного полуугла

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Формула касательного полуугла»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

В тригонометрии , касательные половинного угла формула относится тангенс половина угла к тригонометрическим функциям всего угла. Среди них следующие

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {\eta \pm \theta }{2}}\right)&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),&&(\eta =0)\\[10pt]\tan \left({\frac {1}{2}}(\theta \pm {\frac {\pi }{2}})\right)&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]\tan \left({\frac {1}{2}}(\theta \pm {\frac {\pi }{2}})\right)&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]{\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\end{aligned}}}$

Из них можно вывести тождества, выражающие синус, косинус и тангенс как функции касательных к половинным углам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\dfrac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\dfrac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}}\end{aligned}}}$

Доказательства [ править ]

Алгебраические доказательства [ править ]

Использование формул двойного угла и тождества Пифагора дает${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$

${\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}{{\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\text{and}}}$

${\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}{{\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}.}$

Принимая частное из формул для синуса и косинуса, получаем

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}.}$

Сочетание Пифагора идентичности с двойным углом формулой для косинуса, , ${\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}$

перестановка и извлечение квадратного корня дает

${\displaystyle |\sin \alpha |={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}}$ и ${\displaystyle |\cos \alpha |={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}}$

что при делении дает

${\displaystyle |\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {|\sin 2\alpha |}{1+\cos 2\alpha }}.}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle |\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{|\sin 2\alpha |}}.}$

Знаки абсолютного значения можно опускать при работе только в первом квадранте.

Кроме того, используя формулы сложения и вычитания углов для синуса и косинуса, получаем:

${\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}$

${\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b}$

${\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$

${\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b}$

Попарное сложение приведенных выше четырех формул дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(a+b)+\sin(a-b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\&=2\sin a\cos b\\[3pt]\cos(a+b)+\cos(a-b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\&=2\cos a\cos b\end{aligned}}}$

Установка и замена урожайности:${\displaystyle a={\frac {p+q}{2}}}$${\displaystyle b={\frac {p-q}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left({\frac {p+q}{2}}+{\frac {p-q}{2}}\right)+\sin \left({\frac {p+q}{2}}-{\frac {p-q}{2}}\right)&=\sin(p)+\sin(q)\\&=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)\\[6pt]\cos \left({\frac {p+q}{2}}+{\frac {p-q}{2}}\right)+\cos \left({\frac {p+q}{2}}-{\frac {p-q}{2}}\right)&=\cos(p)+\cos(q)\\&=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Разделив сумму синусов на сумму косинусов, получаем:

${\displaystyle {\frac {\sin(p)+\sin(q)}{\cos(p)+\cos(q)}}={\frac {2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}{2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}}=\tan \left({\frac {p+q}{2}}\right)}$

Геометрические доказательства [ править ]

Применяя полученные выше формулы к фигуре ромба справа, легко показать, что

${\displaystyle \tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}.}$

В единичном круге это показывает применение вышеизложенного . По подобных треугольников ,${\displaystyle t=\tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}}$. Следует, что${\displaystyle t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}.}$

Замена касательного полууголка в интегральном исчислении [ править ]

В различных приложениях тригонометрии полезно переписать тригонометрические функции (такие как синус и косинус ) в терминах рациональных функций новой переменной . Эти тождества известны как формулы касательных полууглов из-за определения . Эти тождества могут быть полезны в исчислении для преобразования рациональных функций синуса и косинуса в функции от t , чтобы найти их первообразные .${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

Технически, существование касательных половины угла формул вытекает из того факта , что круг является алгебраическим кривым из рода 0. Затем ожидает , что круговые функции должны быть приводимыми рациональные функции.

Геометрически конструкция выглядит так: для любой точки (cos φ, sin φ) на единичной окружности проведите линию, проходящую через нее, и точку (−1, 0) . Эта точка пересекает ось y в некоторой точке y = t . Используя простую геометрию, можно показать, что t = tan (φ / 2) . Уравнение для нарисованной линии: y = (1 + x ) t . Уравнение пересечения прямой и окружности тогда представляет собой квадратное уравнение, включающее t . Двумя решениями этого уравнения являются (−1, 0) и (cos φ , sin φ) . Это позволяет записать последние в виде рациональных функций от t (решения приведены ниже).

Параметр t представляет стереографическую проекцию точки (cos φ , sin φ ) на ось y с центром проекции в точке (-1, 0) . Таким образом, формулы касательного полуугла дают преобразование между стереографической координатой t на единичной окружности и стандартной угловой координатой φ .

Тогда у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}$

Удалив фи между приведенным выше и начальным определением , можно прийти к следующему полезному соотношению для арктангенса в терминах натурального логарифма${\displaystyle t}$

${\displaystyle \arctan t={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}$

В исчислении подстановка Вейерштрасса используется для нахождения первообразных рациональных функций от греховной ф и  соз ф . После установки

${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi .}$

Это означает, что

${\displaystyle \varphi =2\arctan(t)+2\pi n,}$

для некоторого целого n , и поэтому

${\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.}$

Гиперболические тождества [ править ]

Совершенно аналогичную игру можно сыграть с гиперболическими функциями . Точка на (правой ветви) гиперболы определяется выражением  (ch θ , sh θ ) . Проецирование этого на ось y из центра (−1, 0) дает следующее:

${\displaystyle t=\tanh {\tfrac {1}{2}}\theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta +1}}={\frac {\cosh \theta -1}{\sinh \theta }}}$

с личностями

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t}}.}$

Нахождение θ через t приводит к следующему соотношению между гиперболическим тангенсом площади и натуральным логарифмом:

${\displaystyle \operatorname {artanh} t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.}$

(«ar-» используется, а не «arc-», потому что «arc» - это длина дуги, а «ar» сокращает «площадь». Это площадь между двумя лучами и гиперболой, а не длина дуги между двумя лучами, измеренная по дуге окружности.)

Функция Гудермана [ править ]

Сравнивая гиперболические тождества с круговыми, можно заметить, что они включают одни и те же функции от t , только что переставленные. Если мы идентифицируем параметр t в обоих случаях, мы придем к связи между круговыми функциями и гиперболическими функциями. То есть, если

${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\theta }$

тогда

${\displaystyle \varphi =2\tan ^{-1}\tanh {\tfrac {1}{2}}\theta \equiv \operatorname {gd} \theta .}$

где gd ( θ ) - функция Гудермана . Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел. Приведенное выше описание формул касательного полуугла (проекция единичной окружности и стандартной гиперболы на ось y ) дает геометрическую интерпретацию этой функции.

Пифагорейские тройки [ править ]

Тангенс половины острого угла прямоугольного треугольника , стороны которого являются пифагоровой тройкой, обязательно будет рациональным числом в интервале (0, 1) . И наоборот, когда касательная к полууглу является рациональным числом в интервале (0, 1) , существует прямоугольный треугольник с полным углом и длинами сторон, которые являются тройкой Пифагора.

См. Также [ править ]

• Список тригонометрических тождеств
• Формула половинной стороны

Внешние ссылки [ править ]

• Касательная половинного угла в Planetmath