Дифференциация тригонометрических функций

Тригонометрия
Контур История Применение Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Справка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

Функция	Производная
${\ Displaystyle \ грех (х)}$	${\ Displaystyle \ соз (х)}$
${\ Displaystyle \ соз (х)}$	${\ Displaystyle - \ грех (х)}$
${\ Displaystyle \ загар (х)}$	${\ Displaystyle \ сек ^ {2} (х)}$
${\ Displaystyle \ детская кроватка (х)}$	${\ Displaystyle - \ csc ^ {2} (х)}$
${\ Displaystyle \ сек (х)}$	${\ Displaystyle \ сек (х) \ загар (х)}$
${\ Displaystyle \ csc (х)}$	${\ Displaystyle - \ csc (х) \ детская кроватка (х)}$
${\ Displaystyle \ arcsin (х)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle \ arccos (х)}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle \ arctan (х)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Дифференциация тригонометрических функций является математическим процессом нахождения производной из тригонометрической функции , или ее скорости изменения по отношению к переменному. Например, производная синусоидальной функции записывается как sin ′ ( a ) = cos ( a ), что означает, что скорость изменения sin ( x ) под определенным углом x = a определяется косинусом этого угла.

Все производные круговых тригонометрических функций могут быть найдены из производных sin ( x ) и cos ( x ) с помощью правила частного, применяемого к таким функциям, как tan ( x ) = sin ( x ) / cos ( x ). Зная эти производные, производные обратных тригонометрических функций находятся с помощью неявного дифференцирования .

Доказательства производных тригонометрических функций [ править ]

Предел греха (θ) / θ, когда θ стремится к 0 [ править ]

На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OB составляют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ - небольшое положительное число, скажем, 0 <θ <½ π в первом квадранте.

На схеме пусть R ₁ - треугольник OAB , R ₂ - круговой сектор OAB , а R ₃ - треугольник OAC . Площадь треугольника OAB является:

${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}$

Площадь кругового сектора ОАВ это , в то время как площадь треугольника OAC задается${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta }$

${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Поскольку каждый регион содержится в следующем, у него есть:

${\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Более того, поскольку sin θ > 0 в первом квадранте, мы можем разделить на 1/2 sin θ , получив:

${\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}$

На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство.

Мы пришли к выводу , что при 0 <θ <π ½, величина sin ( θ ) / θ является всегда меньше 1 и всегда больше , чем соз (Q). Таким образом, когда θ приближается к 0, sin ( θ ) / θ « сжимается » между потолком на высоте 1 и полом на высоте cos θ , который поднимается к 1; следовательно, sin ( θ ) / θ должен стремиться к 1, поскольку θ стремится к 0 с положительной стороны:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}$

В случае, когда θ - небольшое отрицательное число –½ π <θ <0, мы используем тот факт, что синус - нечетная функция :

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}$

Предел (cos (θ) -1) / θ, когда θ стремится к 0 [ править ]

Последний раздел позволяет нам относительно легко вычислить этот новый предел. Это делается с помощью простого трюка. В этом расчете знак θ не важен.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}$

Используя cos ² θ - 1 = –sin ² θ , тот факт, что предел продукта является произведением пределов, и предел, полученный в предыдущем разделе, мы находим, что:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}$

Предел tan (θ) / θ, когда θ стремится к 0 [ править ]

Используя предел для синусоидальной функции, тот факт, что касательная функция нечетная, и тот факт, что предел произведения является произведением пределов, мы находим:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}$

Производная синусоидальной функции [ править ]

Вычисляем производную синусоидальной функции из определения предела :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}$

Используя формулу сложения углов sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α , имеем:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}$

Используя пределы для функций синуса и косинуса :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}$

Производная функции косинуса [ править ]

Из определения производной [ править ]

Снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$

Используя формулу сложения углов cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β , имеем:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$

Используя пределы для функций синуса и косинуса :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$

Из цепного правила [ править ]

Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на следующие три факта:

${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }$

Первое и второе - тригонометрические тождества , а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило . Сдаем , имеем:${\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }$

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }$.

Таким образом, мы доказали, что

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }$.

Производная касательной функции [ править ]

Из определения производной [ править ]

Чтобы вычислить производную касательной функции tan θ , мы используем первые принципы . По определению:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}$

Используя известную угловую формулу tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , имеем:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}$

Используя тот факт, что предел продукта является произведением ограничений:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}$

Используя предел для касательной функции и тот факт, что tan δ стремится к 0, когда δ стремится к 0:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}$

Сразу видим, что:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}$

Из правила частного [ править ]

Можно также вычислить производную касательной функции, используя правило частного .

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}$

Числитель можно упростить до 1 с помощью тождества Пифагора , что дает нам

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$

Доказательства производных обратных тригонометрических функций [ править ]

Следующие производные можно найти, установив переменную y равной обратной тригонометрической функции, от которой мы хотим взять производную. Используя неявное дифференцирование и затем решая для dy / dx , производная обратной функции находится через y . Чтобы преобразовать dy / dx обратно в бытие с точки зрения x , мы можем нарисовать справочный треугольник на единичной окружности, пусть θ будет y. Используя теорему Пифагора и определение регулярных тригонометрических функций, мы можем, наконец, выразить dy / dxв терминах x .

Дифференциация функции обратного синуса [ править ]

Мы позволяем

${\displaystyle y=\arcsin x\,\!}$

Где

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$

потом

${\displaystyle \sin y=x\,\!}$

Взяв производную по обеим сторонам и решив относительно dy / dx:${\displaystyle x}$

${\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}$

${\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}$

Подставляя сверху,${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху,${\displaystyle x=\sin y}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Дифференциация функции обратного косинуса [ править ]

Мы позволяем

${\displaystyle y=\arccos x\,\!}$

Где

${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$

потом

${\displaystyle \cos y=x\,\!}$

Взяв производную по обеим сторонам и решив относительно dy / dx:${\displaystyle x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}$

${\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху, получаем${\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}$

${\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху, получаем${\displaystyle x=\cos y\,\!}$

${\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

В качестве альтернативы, как только производная от установлена, производная от следует сразу же путем дифференцирования тождества так, чтобы .${\displaystyle \arcsin x}$${\displaystyle \arccos x}$${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$${\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}$

Дифференциация функции арктангенса [ править ]

Мы позволяем

${\displaystyle y=\arctan x\,\!}$

Где

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$

потом

${\displaystyle \tan y=x\,\!}$

Взяв производную по обеим сторонам и решив относительно dy / dx:${\displaystyle x}$

${\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}$

Левая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}$ используя пифагорейскую идентичность

Правая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Следовательно,

${\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху, получаем${\displaystyle x=\tan y\,\!}$

${\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Дифференциация обратной функции котангенса [ править ]

Мы позволяем

${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$

где . потом${\displaystyle 0<y<\pi }$

${\displaystyle \cot y=x}$

Взяв производную по обеим сторонам и решив относительно dy / dx:${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}$

Левая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}$ используя пифагорейскую идентичность

Правая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Следовательно,

${\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}$

Подставляя ,${\displaystyle x=\cot y}$

${\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Дифференциация функции обратной секущей [ править ]

Использование неявного дифференцирования [ править ]

Позволять

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}$

потом

${\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секущей и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, т. Е. достигается за счет использования абсолютного значения x.)${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Использование цепного правила [ править ]

В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккозина с использованием правила цепочки .

Позволять

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Где

${\displaystyle |x|\geq 1}$ а также ${\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

Затем, применяя цепное правило к :${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Дифференциация обратной функции косеканса [ править ]

Использование неявного дифференцирования [ править ]

Позволять

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}$

потом

${\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, т. Е. достигается за счет использования абсолютного значения x.)${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Использование цепного правила [ править ]

В качестве альтернативы, производная арксинуса может быть получена из производной арксинуса с использованием правила цепочки .

Позволять

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Где

${\displaystyle |x|\geq 1}$ а также ${\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

Затем, применяя цепное правило к :${\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

См. Также [ править ]

• Тригонометрия
• Исчисление
• Производная
• Таблица производных

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Справочник по математическим функциям , под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, Серия прикладной математики, 55 (1964)