Формула гаверсина

Формула гаверсинуса определяет расстояние по большому кругу между двумя точками на сфере с учетом их долготы и широты . Важный в навигации , это частный случай более общей формулы сферической тригонометрии , закона гаверсинусов , который связывает стороны и углы сферических треугольников.

Первая таблица haversines на английском языке была опубликована Джеймсом Эндрю в 1805 году, ^[1] , но Флориан Кейджори кредиты более раннее использование на Хосе де Мендоса у Риоса в 1801. ^[2]^[3] Термин гаверсинуса был придуман в 1835 году Джеймсом Инман . ^[4]^[5]

Эти имена вытекают из того факта, что они обычно записываются в терминах гаверсинусной функции, задаваемой как $hav (θ) = sin 2 (θ / 2)$ . Формулы в равной степени могут быть записаны в терминах любого кратного гаверсинуса, например, более старой функции версина (удвоенного гаверсинуса). До появления компьютеров исключение деления и умножения на два оказалось достаточно удобным, поэтому таблицы значений гаверсинуса и логарифмов были включены в навигационные и тригонометрические тексты 19-го и начала 20-го века. ^[6]^[7]^{[8] В} наши дни гаверсинус удобен тем, что не имеет коэффициента перед функцией $sin 2$ .

Формулировка [ править ]

Пусть центральный угол $Θ$ между любыми двумя точками на сфере равен:

{\ displaystyle \ Theta = {\ frac {d} {r}}}

куда:

$d$ - расстояние между двумя точками вдоль большого круга сферы (см. сферическое расстояние ),
$r$ - радиус сферы.

Формула гаверсинуса позволяет гаверсинуса из $thetas$ ; (то есть, $HAV (Θ)$ ) , чтобы быть вычислена непосредственно из широты и долготы в двух точках:

{\ displaystyle \ operatorname {hav} \ left (\ Theta \ right) = \ operatorname {hav} \ left (\ varphi _ {2} - \ varphi _ {1} \ right) + \ cos \ left (\ varphi _ {1} \ right) \ cos \ left (\ varphi _ {2} \ right) \ operatorname {hav} \ left (\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} \ right)}

куда

$φ 1$ , $φ 2$ - широта точки 1 и широта точки 2 (в радианах),
$λ 1$ , $λ 2$ - долгота точки 1 и долгота точки 2 (в радианах).

Наконец, гаверсинусная функция $hav (Θ)$ , примененная выше как к центральному углу $Θ, так$ и к разностям широты и долготы, имеет вид

{\ displaystyle \ operatorname {hav} (\ theta) = \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}}

Функция гаверсинуса вычисляет половину версины угла $θ$ .

Чтобы найти расстояние $d$ , примените архаверсинус ( обратный гаверсинус ) к $h = hav (Θ)$ или используйте функцию арксинуса (обратный синус):

{\ displaystyle d = r \ operatorname {archav} (h) = 2r \ arcsin \ left ({\ sqrt {h}} \ right)}

или более явно:

{\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right)\end{aligned}}

^[9]

При использовании этих формул необходимо убедиться, что $h$ не превышает 1 из-за ошибки с плавающей запятой ( $d$ является действительным только для $0 \leq h \leq 1$ ). $h$ приближается к 1 только для противоположных точек (на противоположных сторонах сферы) - в этой области при использовании конечной точности в формуле обычно возникают относительно большие числовые ошибки. Поскольку $d$ тогда велико (приближается к $π R$ , половина окружности), небольшая ошибка часто не является серьезной проблемой в этом необычном случае (хотя есть и другие расстояния по большому кругу.формулы, позволяющие избежать этой проблемы). (Приведенная выше формула иногда записывается в терминах функции арктангенса , но она страдает от аналогичных числовых проблем вблизи $h = 1.$ )

Как описано ниже, аналогичная формула может быть записана с использованием косинусов (иногда называемых сферическим законом косинусов , не путать с законом косинусов для плоской геометрии) вместо гаверсинусов, но если две точки расположены близко друг к другу (например, километр кроме того, на Земле) можно было бы получить $cos (d / р) = 0,99999999$ , что приводит к неточному ответу. Поскольку в формуле гаверсинуса используются синусы, эта проблема устраняется.

Любая формула является лишь приближением применительно к Земле , которая не является идеальной сферой: « радиус Земли » $R$ изменяется от 6356,752 км на полюсах до 6378,137 км на экваторе. Что еще более важно, радиус кривизны линии север-юг на поверхности Земли на 1% больше на полюсах (≈6399,594 км), чем на экваторе (≈6335,439 км), поэтому формула гаверсинуса и закон косинусов не могут быть гарантированы. исправить до более 0,5%. ^{[ необходима цитата ]} Более точные методы, которые учитывают эллиптичность Земли, даются формулами Винсенти и другими формулами в статье о географическом расстоянии .

Закон гаверсинов[ редактировать ]

Сферический треугольник, решенный по закону гаверсинусов

Для единичной сферы «треугольник» на поверхности сферы определяется большими окружностями, соединяющими три точки $u$ , $v$ и $w$ на сфере. Если длины этих трех сторон равны $a$ (от $u$ до $v$ ), $b$ (от $u$ до $w$ ) и $c$ (от $v$ до $w$ ), а угол противоположного $c$ угла равен $C$ , то закон гаверсинусов гласит : ^[10]

\operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C).

Поскольку это единичная сфера, длины $a$ , $b$ и $c$ просто равны углам (в радианах ), образуемым этими сторонами от центра сферы (для неединичной сферы каждая из этих длин дуги равна к его центральному углу, умноженному на радиус $R$ сферы).

Чтобы получить формулу гаверсинуса из предыдущего раздела из этого закона, нужно просто рассмотреть особый случай, когда $u$ - северный полюс , а $v$ и $w$ - две точки, разделение которых $d$ необходимо определить. В этом случае $a$ и $b$ равны $π / 2 - φ 1,2$ (то есть, со-широты), $C$ - расстояние $λ 2 - λ 1$ по долготе , а $c$ - желаемое $d / р$ . Отмечая, что $грех (π / 2 - φ) = cos (φ)$ , сразу следует формула гаверсинуса.

Чтобы вывести закон гаверсинусов, следует начать со сферического закона косинусов :

\cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,

Как упоминалось выше, эта формула является плохо обусловленным способом решения для $c,$ когда $c$ мало. Вместо этого мы подставляем тождество, что $cos (θ) = 1-2 hav (θ)$ , а также используем тождество сложения $cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)$ , чтобы получить закон гаверсинуса, описанный выше.

См. Также [ править ]

Уменьшение зрения
Формулы Винсенти

Ссылки [ править ]

^ ван Браммелен, Глен Роберт (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922. 0691148929 . Проверено 10 ноября 2015 .
^ де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros issues de navegacion (на испанском языке). Мадрид, Испания: Imprenta Real.
^ Каджори, Флориан (1952) [1929]. История математических обозначений . 2 (2-е (3-е исправленное издание 1929 г.) изд.). Чикаго: Издательская компания Open Court . п. 172. ISBN. 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 . Гаверсинус сначала появляется в таблицах логарифмических стихов Хосе де Мендоса-и-Риос (Мадрид, 1801, также 1805, 1809), а затем в трактате о мореплавании Джеймса Инмана (1821). (NB. ISBN и ссылка для перепечатки второго издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, 2013 г.)
^ Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: В. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон . Проверено 9 ноября 2015 .(Четвертое издание: [1] .)
^ «Гаверсин». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989 г.
^ HB Гудвин, Гаверсин в морской астрономии , Труды военно-морского института , т. 36, нет. 3 (1910), pp. 735–746: Очевидно, если использовать Таблицу гаверсинов, мы избавимся, в первую очередь, от проблемы деления суммы логарифмов на два, а во-вторых, умножения угла, взятого из таблицы под тем же номером. Это особое преимущество формы таблицы, впервые представленной профессором Инманом из Портсмутского Королевского военно-морского колледжа почти столетие назад.
↑ WW Sheppard и CC Soule, Практическая навигация (Всемирный технический институт: Джерси-Сити, 1922).
^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
Перейти ↑ Gade, Kenneth (2010). «Неособое представление горизонтальной позиции». Журнал навигации . 63 (3): 395–417. DOI : 10.1017 / S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .
^ Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза М. (2000) [1922]. «Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные в терминах функции Гаверсинуса». Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . С. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.

Дальнейшее чтение [ править ]

Часто задаваемые вопросы по географическим информационным системам Бюро переписи населения США (содержимое перемещено в раздел Как лучше всего рассчитать расстояние между двумя точками? )
Р. У. Синнотт, "Добродетели гаверсина", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
Получение формулы гаверсина , Спросите доктора Математики (20–21 апреля 1999 г.). (неработающей ссылке)
Scibor-Marchocki Ромуальда Иренеуса, Сферическая тригонометрия , веб-страница Elementary-Geometry Trigonometry (1997).
В. Геллерт, С. Готвальд, М. Хеллвич, Х. Кестнер и Х. Кюстнер, Краткая энциклопедия математики VNR , 2-е изд., Гл. 12 (Ван Ностранд Рейнхольд: Нью-Йорк, 1989).

Внешние ссылки [ править ]

Реализации формулы гаверсинуса на 91 языке на rosettacode.org и на 17 языках на codecodex.com
Другие реализации на C ++ , C (MacOS) , Pascal , Python , Ruby , JavaScript , PHP , Matlab , MySQL

[Brummelen_2013-1] ван Браммелен, Глен Роберт (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922. 0691148929 . Проверено 10 ноября 2015 .

[Ríos_1795-2] де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros issues de navegacion (на испанском языке). Мадрид, Испания: Imprenta Real.

[Cajori_1929-3] Каджори, Флориан (1952) [1929]. История математических обозначений . 2 (2-е (3-е исправленное издание 1929 г.) изд.). Чикаго: Издательская компания Open Court . п. 172. ISBN. 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 . Гаверсинус сначала появляется в таблицах логарифмических стихов Хосе де Мендоса-и-Риос (Мадрид, 1801, также 1805, 1809), а затем в трактате о мореплавании Джеймса Инмана (1821). (NB. ISBN и ссылка для перепечатки второго издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, 2013 г.)

[Inman_1835-4] Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: В. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон . Проверено 9 ноября 2015 .(Четвертое издание: [1] .)

[OED_1989_Haversine-5] «Гаверсин». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989 г.

[6] HB Гудвин, Гаверсин в морской астрономии , Труды военно-морского института , т. 36, нет. 3 (1910), pp. 735–746: Очевидно, если использовать Таблицу гаверсинов, мы избавимся, в первую очередь, от проблемы деления суммы логарифмов на два, а во-вторых, умножения угла, взятого из таблицы под тем же номером. Это особое преимущество формы таблицы, впервые представленной профессором Инманом из Портсмутского Королевского военно-морского колледжа почти столетие назад.

[7] WW Sheppard и CC Soule, Практическая навигация (Всемирный технический институт: Джерси-Сити, 1922).

[8] Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).

[Gade2010-9] Перейти ↑ Gade, Kenneth (2010). «Неособое представление горизонтальной позиции». Журнал навигации . 63 (3): 395–417. DOI : 10.1017 / S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .

[Korn_2000-10] Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза М. (2000) [1922]. «Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные в терминах функции Гаверсинуса». Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . С. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.

[1]