Радиус кривизны

Радиус кривизны и центр кривизны

В дифференциальной геометрии , то радиус кривизны , R , является обратной величиной кривизны . Для кривой , он равен радиусу от круговой дуги , который наилучшим образом аппроксимирующей кривой в этой точке. Для поверхностей радиус кривизны - это радиус круга, который лучше всего подходит для нормального сечения или их комбинаций . ^{[1] [2] [3]}

Определение [ править ]

В случае пространственной кривой радиус кривизны - это длина вектора кривизны .

В случае плоской кривой , то R является абсолютное значение из ^[3]

${\ Displaystyle R \ Equiv \ left | {\ frac {ds} {d \ varphi}} \ right | = {\ frac {1} {\ kappa}},}$

где s - длина дуги от фиксированной точки на кривой, φ - тангенциальный угол, а κ - кривизна .

Формула [ править ]

В 2D [ править ]

Если кривая задана в декартовых координатах как y ( x ) , то радиус кривизны равен (при условии, что кривая дифференцируема до порядка 2):

${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

и | z | обозначает абсолютное значение z .

Если кривая задается параметрически функциями x ( t ) и y ( t ) , то радиус кривизны равен

${\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},\quad {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},\quad {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

Эвристически этот результат можно интерпретировать как ^[2]

${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}},\qquad {\mbox{where}}\quad \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}.}$

В n измерениях [ править ]

Если γ  : ℝ → ℝ ⁿ - параметризованная кривая в ℝ ^n, то радиус кривизны в каждой точке кривой ρ  : ℝ → ℝ определяется формулой ^[3]

${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}}$.

В особом случае, если F ( т ) является функцией от ℝ к ℝ , то радиус кривизны его графа , γ ( т ) = ( т , е ( т )) , является

${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}$

Вывод [ править ]

Пусть γ такое же , как указано выше, и зафиксируем t . Мы хотим найти радиус ρ параметризованного круга, который соответствует γ в его нулевой, первой и второй производных в точке t . Ясно, что радиус не будет зависеть от положения γ ( t ) , только от скорости γ ′ ( t ) и ускорения γ ″ ( t ) . Есть только три независимых скаляра, которые могут быть получены из двух векторов v и w , а именно v · v , v ·w и w · w . Таким образом, радиус кривизны должен быть функцией трех скаляров | γ ′ ( t ) | ² , | γ ″ ( t ) | ² и γ ′ ( t ) · γ ″ ( t ) . ^[3]

Общее уравнение для параметризованной окружности в ℝ ⁿ имеет вид

${\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos h(u)+\mathbf {b} \sin h(u)+\mathbf {c} }$

где c ∈ ℝ ⁿ - центр окружности (не имеет значения, поскольку он исчезает в производных), a , b ∈ ℝ ⁿ - перпендикулярные векторы длины ρ (то есть a · a = b · b = ρ ²и a · b = 0 ), а h  : ℝ → ℝ - произвольная функция, дважды дифференцируемая в точке t .

Соответствующие производные от g оказываются

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}$

Если теперь приравнять эти производные от g к соответствующим производным от γ в точке t, получим

${\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}$

Эти три уравнения с тремя неизвестными ( ρ , h ′ ( t ) и h ″ ( t ) ) могут быть решены относительно ρ , давая формулу для радиуса кривизны:

${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}}$

или, опуская параметр t для удобства чтения,

${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}.}$

Примеры [ править ]

Полукруги и круги [ править ]

Для полукруга радиуса а в верхней полуплоскости

${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad y'={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},\quad y''={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad R=|-a|=a.}$

Для полукруга радиуса а в нижней полуплоскости

${\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad R=|a|=a.}$

Окружности радиуса а имеет радиус кривизны , равным .

Эллипсы [ править ]

В эллипса с большой осью 2 а и малой осью 2 б , то вершины на главной оси имеют наименьший радиус кривизны любых точек, R =б ²/а; а вершины на малой оси имеют наибольший радиус кривизны из всех точек, R =а ²/б.

Приложения [ править ]

• Для использования в дифференциальной геометрии см. Уравнение Чезаро .
• Для радиуса кривизны Земли (аппроксимировать сплющенный эллипсоид); см. также: измерение дуги
• Радиус кривизны также используется в уравнении из трех частей для изгиба балок .
• Радиус кривизны (оптика)
• Тонкопленочные технологии
• Печатная электроника

Напряжение в полупроводниковых структурах [ править ]

Напряжение в полупроводниковой структуре, состоящей из тонких напыленных пленок, обычно возникает в результате теплового расширения (термического напряжения) во время производственного процесса. Термическое напряжение возникает из-за того, что осаждение пленки обычно производится при температуре выше комнатной. При охлаждении от температуры осаждения до комнатной температуры разница в коэффициентах теплового расширения подложки и пленки вызывает термическое напряжение. ^[4]

Собственное напряжение возникает из-за микроструктуры, создаваемой в пленке, когда атомы осаждаются на подложке. Напряжение растяжения возникает из-за микропустот (небольших отверстий, которые считаются дефектами) в тонкой пленке из-за притягивающего взаимодействия атомов через пустоты.

Напряжение в тонкопленочных полупроводниковых структурах приводит к короблению пластин. Радиус кривизны напряженной конструкции связан с тензором напряжений в конструкции и может быть описан модифицированной формулой Стони . ^[5] Топография напряженной конструкции, включая радиусы кривизны, может быть измерена с помощью методов оптического сканирования. Современные сканеры имеют возможность измерять полную топографию подложки и измерять оба главных радиуса кривизны, обеспечивая при этом точность порядка 0,1% для радиусов кривизны 90 метров и более. ^[6]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• ду Карму, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . ISBN 0-13-212589-7.

Внешние ссылки [ править ]

• Центр геометрии: основные кривизны
• 15.3 Кривизна и радиус кривизны
• Вайсштейн, Эрик В. «Основные искривления» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Главный радиус кривизны" . MathWorld .