Расстояние большого круга

Диаграмма, показывающая расстояние по большому кругу (нарисованное красным) между двумя точками на сфере, P и Q. Также показаны две противоположные точки, u и v.

Расстояние по большому кругу , ортодромическое расстояние или сферическое расстояние - это кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы , измеренное по поверхности сферы (в отличие от прямой линии, проходящей через внутреннюю часть сферы). Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве - это длина прямой линии между ними, но на сфере прямых линий нет. В пространствах кривизны прямые заменяются геодезическими . Геодезические на сфере - это круги на сфере, центры которых совпадают с центром сферы, и называются большими кругами..

Определение расстояния по дуге большого круга является частью более общей задачи навигации по дуге большого круга , которая также вычисляет азимуты в конечных точках и промежуточных точках пути.

Через любые две точки на сфере, которые не находятся прямо напротив друг друга , проходит уникальный большой круг. Две точки разделяют большой круг на две дуги. Длина более короткой дуги - это расстояние по большому кругу между точками. Большой круг с таким расстоянием называется римановой окружностью в римановой геометрии .

Между двумя точками, которые находятся прямо напротив друг друга, называемыми антиподальными точками , существует бесконечно много больших окружностей, и все дуги большого круга между противоположными точками имеют длину, равную половине длины окружности, или , где r - радиус сферы. .${\ displaystyle \ pi r}$

Земли близка к сферической (см радиус Земли ), поэтому ортодромия формулы дают расстояние между точками на поверхности Земли в пределах правильного около 0,5%. ^[1] (См. Длину дуги § Дуги больших кругов на Земле .)

Формулы [ править ]

Иллюстрация центрального угла Δσ между двумя точками P и Q. λ и φ - это продольный и широтный углы P соответственно.

Позвольте и быть географической долготой и широтой в радианах двух точек 1 и 2, и быть их абсолютными разностями; Затем , то центральный угол между ними, задаются сферическим законом косинусов , если один из полюсов используются в качестве вспомогательной третьей точки на сфере: ^[2]${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}, \ phi _ {2}}$${\ displaystyle \ Delta \ lambda, \ Delta \ phi}$${\ displaystyle \ Delta \ sigma}$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda ){\bigr )}.}$

Проблема обычно выражается в поиске центрального угла . Учитывая этот угол в радианах, фактическая длина дуги d на сфере радиуса r может быть тривиально вычислена как${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}$

Вычислительные формулы [ править ]

В компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой формула сферического закона косинусов может иметь большие ошибки округления, если расстояние небольшое (если две точки находятся на расстоянии километра друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла близок 0,99999999). Для современных 64-битных чисел с плавающей запятой формула сферического закона косинусов, приведенная выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний, превышающих несколько метров на поверхности Земли. ^[3] Формула гаверсинуса численно лучше подходит для малых расстояний: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right)\\\\\Delta \sigma &=2\arcsin {\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cos {\phi _{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}.\\\end{aligned}}}$

Исторически использование этой формулы было упрощено доступностью таблиц для функции гаверсинуса : hav ( θ ) = sin ² ( θ / 2).

Хотя эта формула точна для большинства расстояний на сфере, она также страдает ошибками округления для особого (и несколько необычного) случая противоположных точек (на противоположных концах сферы). Формула, которая является точной для всех расстояний, является следующим частным случаем формулы Винсенти для эллипсоида с равными большой и малой осями: ^[5]

${\displaystyle \Delta \sigma =\arctan {\frac {\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin(\Delta \lambda )\right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )\right)^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )}}.}$

Векторная версия [ править ]

Другое представление подобных формул, но с использованием нормальных векторов вместо широты и долготы для описания позиций, находится с помощью трехмерной векторной алгебры , с использованием скалярного произведения , векторного произведения или их комбинации: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$

где и - нормали к эллипсоиду в двух положениях 1 и 2. Подобно вышеприведенным уравнениям, основанным на широте и долготе, выражение, основанное на arctan, является единственным, которое хорошо обусловлено для всех углов . Выражение на основе arctan требует величины перекрестного произведения на скалярное произведение.${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

От длины аккорда [ править ]

Линия, проходящая через трехмерное пространство между интересующими точками на сферической Земле, является хордой большого круга между точками. Центральный угол между двумя точками может быть определен из длины хорды. Расстояние большого круга пропорционально центральному углу.

Длина хорды большого круга может быть вычислена следующим образом для соответствующей единичной сферы посредством декартового вычитания :${\displaystyle C_{h}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\C&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\end{aligned}}}$

Центральный угол равен:

${\displaystyle \Delta \sigma =2\arcsin {\frac {C}{2}}.}$

Радиус сферической Земли [ править ]

Форма Земли близко напоминает сплюснутый шар (а сфероид ) с экваториальным радиусом в 6378.137 км; расстояние от центра сфероида до каждого полюса 6356,7523142 км. При вычислении длины короткой линии север-юг на экваторе круг, который наилучшим образом аппроксимирует эту линию, имеет радиус (который равен полу-латусной прямой кишке меридиана ), или 6335,439 км, тогда как сфероид на полюсах лучше всего аппроксимируется сферой радиуса${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b^{2}/a}$${\displaystyle a^{2}/b}$, или 6399,594 км, разница в 1%. Поскольку предполагается сферическая Земля, любая формула для расстояния на Земле гарантированно верна только в пределах 0,5% (хотя возможно повышение точности, если формула предназначена только для применения к ограниченной области). Используя средний радиус Земли , (для WGS84 эллипсоида) означает , что в пределе малых уплощение, средний квадрат относительной погрешности в оценках расстояния сводится к минимуму. ^[7]${\displaystyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009\,\mathrm {km} }$

См. Также [ править ]

Ссылки и примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• GreatCircle в MathWorld