Серия Мадхава

В математике , серия Мадхава или серии Лейбниц является любой из серии в коллекции бесконечных серий выражений , все из которых , как полагают, были обнаружены Мадхава из Сангамаграмы (с 1350 -.. С 1425), основатель Керале школа астрономии и математики, а затем Готфрид Вильгельм Лейбниц и другие. Эти выражения представляют собой разложения в ряд Маклорена тригонометрических функций синуса , косинуса и арктангенса. , и частный случай разложения функции арктангенса в степенной ряд, дающий формулу для вычисления π. Разложения степенных рядов синус и косинус соответственно называются синус серии Мадхава в и ряд косинус Мадхава в . Разложение функции арктангенса в степенной ряд иногда называют рядами Мадхавы – Грегори ^{[1] [2]} или рядами Грегори – Мадхавы . Эти степенные ряды также вместе называются рядами Тейлора – Мадхавы . ^[3] Формула для П называется Madhava- Ньютона серии или Madhava- Лейбница серии илиФормула Лейбница для числа Пи или ряд Лейбница – Грегори – Мадхава. ^[4] Эти дальнейшие названия для различных серий отражают имена западных первооткрывателей или популяризаторов соответствующих серий.

В выводах используется множество связанных с исчислением понятий, таких как суммирование, скорость изменения и интерполяция, что предполагает, что индийские математики твердо понимали концепцию предела и основы исчисления задолго до того, как они были разработаны в Европе. Другие свидетельства индийской математики до этого момента, такие как интерес к бесконечным рядам и использование десятичной системы счисления, также предполагают, что исчисление могло развиться в Индии почти за 300 лет до его признания рождения в Европе. ^[5]

Ни один из сохранившихся произведений Мадхавы не содержит явных заявлений относительно выражений, которые теперь называются серией Мадхавы. Однако в трудах более поздних членов керальской школы астрономии и математики, таких как Нилаканта Сомаяджи и Джештхадева, можно найти недвусмысленное приписывание этих серий к Мадхаве. Также в работах этих более поздних астрономов и математиков можно проследить индийские доказательства этих расширений в ряды. Эти доказательства дают достаточно указаний на подход, который использовал Мадхава, чтобы прийти к расширению своей серии.

В отличие от большинства предыдущих культур, которые довольно нервничали по поводу концепции бесконечности, Мадхава был более чем счастлив играть с бесконечностью, особенно с бесконечными сериями. Он показал, как, хотя число 1 может быть аппроксимировано добавлением половины плюс четверть плюс восьмая плюс шестнадцатая и т. Д. (Как знали даже древние египтяне и греки), точная сумма 1 может быть достигнута только с помощью сложение бесконечно многих дробей. Но Мадхава пошел дальше и связал идею бесконечного ряда с геометрией и тригонометрией. Он понял, что, последовательно добавляя и вычитая различные дроби нечетных чисел до бесконечности, он может найти точную формулу для числа Пи (это было за два столетия до того, как Лейбниц пришел к такому же выводу в Европе). ^[6]

Серии Мадхавы в современных обозначениях [ править ]

В трудах математиков и астрономов керальской школы серии Мадхавы описаны в терминологии и концепциях, модных в то время. Когда мы переводим эти идеи в обозначения и концепции современной математики, мы получаем текущие эквиваленты серии Мадхавы. Эти современные аналоги бесконечных рядов выражений, открытых Мадхавой, следующие:

Цикл Мадхавы в «Словах Мадхавы» [ править ]

Ни одна из работ Мадхавы, содержащих приписываемые ему серии выражений, не сохранилась. Эти серии выражений встречаются в трудах последователей Мадхавы в школе Кералы . Во многих местах эти авторы ясно заявляли, что это «как сказал Мадхава». Таким образом, можно смело предположить, что изложения различных серий, содержащихся в « Тантрасамграхе» и комментариях к ней, сделаны «словами самого Мадхавы». Ниже воспроизводятся переводы соответствующих стихов в комментарии Юктидипика к Тантрасамграхе (также известной как Тантрасамграха-вьяхья ) Шанкары Вариара (около 1500-1560 гг . Н. Э.). Затем они отображаются в текущих математических обозначениях.^{[8] [9]}

Серия синусов Мадхавы [ править ]

По словам Мадхавы [ править ]

Синусоидальный ряд Мадхавы изложен в стихах 2.440 и 2.441 в комментарии к Юкти-дипика ( Тантрасамграха-вьяхья ) Шанкары Вариара . Далее следует перевод этих стихов.

Умножьте дугу на квадрат дуги и возьмите результат повторения этого (любое количество раз). Разделите (каждый из вышеперечисленных числителей) на квадраты последовательных четных чисел, умноженные на это число и умноженные на квадрат радиуса. Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного. Вместе они дают дживу, как собраны вместе в стихе, начинающемся со слов «видван» и т.

Рендеринг в современных обозначениях [ править ]

Пусть r обозначает радиус круга, а s - длину дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

${\ Displaystyle s \ cdot s ^ {2}, \ qquad s \ cdot s ^ {2} \ cdot s ^ {2}, \ qquad s \ cdot s ^ {2} \ cdot s ^ {2} \ cdot s ^ {2}, \ qquad \ cdots}$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

${\displaystyle s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• Поместите дугу и последовательные полученные таким образом результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного, чтобы получить дживу :

${\displaystyle {\text{jiva}}=s-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]\right]}$

Преобразование в текущую нотацию [ править ]

Пусть θ - угол, образованный дугой s в центре окружности. Тогда s = r θ и jiva = r sin θ . Подставляя их в последнее выражение и упрощая, получаем

${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\quad \cdots }$

который является разложением синусоидальной функции в бесконечный степенной ряд.

Переформулировка Мадхавы для числовых вычислений [ править ]

Последняя строка в стихе ', собранная вместе в стихе, начинающемся с "видван" и т. Д. , Является ссылкой на переформулировку ряда, введенную самим Мадхавой, чтобы упростить вычисления для указанных значений дуги и радиуса. . Для такой переформулировки Мадхава рассматривает круг, четверть которого составляет 5400 минут (скажем, C минут), и разрабатывает схему для простых вычислений джив различных дуг такого круга. Пусть R будет радиусом круга, четверть которого измеряет C. Мадхава уже вычислил значение π, используя свою формулу ряда для π. ^[10] Используя это значение π, а именно 3,1415926535922, радиус R вычисляется следующим образом: Тогда

R = 2 × 5400 / π = 3437,74677078493925 = 3437 угловых минут 44 угловых секунды 48 шестидесятых угловых секунд = 3437 ′ 44 ′ ′ 48 ′ ′ ′.

Выражение Мадхавы для дживы, соответствующей любой дуге s окружности радиуса R , эквивалентно следующему:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=s-{\frac {s^{3}}{R^{2}(2^{2}+2)}}+{\frac {s^{5}}{R^{4}(2^{2}+2)(4^{2}+4)}}-\cdots \\[6pt]&=s-\left({\frac {s}{C}}\right)^{3}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{3}}{3!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{5}}{5!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{7}}{7!}}-\cdots \right]\right]\right].\end{aligned}}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

Теперь дживу можно вычислить по следующей схеме:

jiva = s - ( s / C ) ³ [(2220 ′ 39 ′ ′ 40 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² [(273 ′ 57 ′ ′ 47 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² [( 16 ′ 05 ′ ′ 41 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² [(33 ′ ′ 06 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² (44 ′ ′ ′)]]]].

Это дает приближение дживы ее многочленом Тейлора 11-го порядка. Он включает в себя только одно деление, шесть умножений и пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему следующими словами (перевод стиха 2.437 в Юкти-дипике ):

ви-дван, ту-нна-ба-ла, ка-ви-ша-ни-ча-йа, са-рва-ртха-ши-ла-стхи-ро, ни-рви-ддха-нга-на-ре- ндра-ранг. Последовательно умножьте эти пять чисел по порядку на квадрат дуги, деленный на четверть окружности (5400 ′), и вычтите из следующего числа. (Продолжайте этот процесс с полученным таким образом результатом и следующим числом.) Умножьте окончательный результат на куб дуги, разделенный на четверть окружности, и вычтите из дуги.

Серия косинусов Мадхавы [ править ]

По словам Мадхавы [ править ]

Ряд косинусов Мадхавы изложен в стихах 2.442 и 2.443 в комментарии к Юкти-дипика ( Тантрасамграха-вьяхья ) Шанкары Вариара . Далее следует перевод этих стихов.

Умножьте квадрат дуги на единицу (т.е. радиус) и возьмите результат повторения этого (любое количество раз). Разделите (каждый из вышеперечисленных числителей) на квадрат последовательных четных чисел, уменьшенных на это число и умноженных на квадрат радиуса. Но первый член (сейчас) (тот, который есть) делится на удвоенный радиус. Поместите последовательные полученные таким образом результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного. Вместе они дают шара, собранные вместе в стихе, начинающемся со стена, стри и т. Д.

Рендеринг в современных обозначениях [ править ]

Пусть r обозначает радиус круга, а s - длину дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

${\displaystyle r\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots }$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

${\displaystyle r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• Поместите дугу и последовательные полученные таким образом результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного, чтобы получить шару :

${\displaystyle {\text{sara}}=r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]}$

Преобразование в текущую нотацию [ править ]

Пусть θ - угол, образованный дугой s в центре круга. Тогда s = rθ и śara = r (1 - cos θ ). Подставляя их в последнее выражение и упрощая, получаем

${\displaystyle 1-\cos \theta ={\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\quad \cdots }$

что дает разложение функции косинуса в бесконечный степенной ряд.

Переформулировка Мадхавы для числовых вычислений [ править ]

Последняя строка в стихе ', собранная вместе в стихе, начинающемся со слов stena, stri и т. Д. ', Является ссылкой на переформулировку, введенную самим Мадхавой, чтобы сделать ряд удобными для простых вычислений для указанных значений дуги и радиуса. Как и в случае с синусоидальным рядом, Мадхава рассматривает круг, четверть которого составляет 5400 минут (скажем, C минут), и разрабатывает схему для простого вычисления шаров различных дуг такого круга. Пусть R будет радиусом круга, одна четверть которого равна C. Тогда, как и в случае с синусоидальным рядом, Мадхава получит R = 3437 ′ 44 ′ ′ 48 ′ ′ ′.

Выражение Мадхавы для шара, соответствующего любой дуге s окружности радиуса R , эквивалентно следующему:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=R\cdot {\frac {s^{2}}{R^{2}(2^{2}-2)}}-R\cdot {\frac {s^{4}}{R^{4}(2^{2}-2)(4^{2}-4)}}-\cdots \\&=\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}{2!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{4}}{4!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{6}}{6!}}-\cdots \right]\right]\right]\end{aligned}}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

Теперь шару можно вычислить по следующей схеме:

śara = ( s / C ) ² [(4241 ′ 09 ′ ′ 00 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² [(872 ′ 03 ′ ′ 05 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² [(071 ′ 43 ′ ′ 24 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² [(03 ′ 09 ′ ′ 37 ′ ′ ′) - ( s / C ) ² [(05 ′ ′ 12 ′ ′ ′) - (s / C) ² (06 ′ ′ ′)]]]]]

Это дает приближение шара к его многочлену Тейлора 12-го порядка. Это также включает в себя одно деление, шесть умножений и только пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему следующими словами (перевод стиха 2.438 в Юкти-дипике ):

Шесть стен, стрипишуна, сугандхинагануд, бхадрангабхавьясана, минангонарасимха, унадханакритбхурева. Умножьте квадрат дуги на четверть окружности и вычтите из следующего числа. (Продолжайте с результатом и следующим числом.) Конечным результатом будет уткрама-джья (знак стиха R).

Серия арктангенса Мадхавы [ править ]

По словам Мадхавы [ править ]

Ряд арктангенса Мадхавы изложен в стихах 2.206 - 2.209 в комментарии Шанкара Вариара Юкти-дипика ( Тантрасамграха-вьяхья ) . Ниже приводится перевод этих стихов. ^[11] Джйестхадева также дал описание этой серии в Юктибхасе . ^{[12] [13] [14]}

Теперь, используя тот же аргумент, можно (сделать) определение дуги желаемого синуса. Это выглядит следующим образом: первый результат - это произведение желаемого синуса и радиуса, деленное на косинус дуги. Когда квадрат синуса стал множителем, а квадрат косинуса - делителем, теперь группа результатов должна быть определена из (предыдущих) результатов, начиная с первого. Когда они разделены по порядку на нечетные числа 1, 3 и так далее, и когда вы вычли сумму четных (пронумерованных) результатов из суммы нечетных (единиц), это должна быть дуга. Здесь требуется, чтобы меньший из синуса и косинуса считался желаемым (синус). В противном случае не было бы прекращения результатов даже при повторном (вычислении).

Используя тот же аргумент, можно вычислить окружность и другим способом. Это выглядит следующим образом: первый результат должен быть равен квадратному корню из квадрата диаметра, умноженному на двенадцать. С этого момента результат должен делиться на три (в) каждый последующий (случай). Когда они делятся по порядку на нечетные числа, начиная с 1, и когда вы вычитаете (четные) результаты из суммы нечетных, (это) должна быть длина окружности.

Рендеринг в современных обозначениях [ править ]

Пусть s будет дуга желаемого синус ( JYA или джива ) у . Пусть r - радиус, а x - косинус ( kotijya ).

• Первый результат .${\displaystyle {\tfrac {y\cdot r}{x}}}$
• Сформируйте множитель и делитель .${\displaystyle {\tfrac {y^{2}}{x^{2}}}}$
• Сформируем группу результатов:

${\displaystyle {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• Они разделены по порядку номерами 1, 3 и так далее:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}},\qquad {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• Сумма нечетных результатов:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• Сумма четных результатов:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• Дуга теперь задается

${\displaystyle s=\left({\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)-\left({\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)}$

Преобразование в текущую нотацию [ править ]

Пусть θ - угол, образованный дугой s в центре окружности. Тогда s = r θ, x = kotijya = r cos θ и y = jya = r sin θ. Тогда y / x = tan θ. Подставляя их в последнее выражение и упрощая, получаем

• ${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\quad \cdots }$.

Полагая tan θ = q, окончательно имеем

• ${\displaystyle \tan ^{-1}q=q-{\frac {q^{3}}{3}}+{\frac {q^{5}}{5}}-{\frac {q^{7}}{7}}+\quad \cdots }$

Еще одна формула длины окружности [ править ]

Вторая часть цитируемого текста определяет другую формулу для вычисления длины окружности c круга, имеющего диаметр d . Это выглядит следующим образом.

${\displaystyle c={\sqrt {12d^{2}}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3\cdot 3}}+{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots }$

Поскольку c = π d, это можно переформулировать как формулу для вычисления π следующим образом.

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots \right)}$

Это получается путем подстановки q = (следовательно, θ = π / 6) в разложение в степенной ряд для tan ⁻¹ q, приведенное выше.${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$

См. Также [ править ]

• Мадхава Сангамаграмы
• Таблица синусов Мадхавы
• Аппроксимация Паде
• Серия Тейлор
• Серия Laurent
• Серия Puiseux

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]