Таблица аккордов , созданный греческий астроном, геометр и географа Птолемея в Египте во 2 веке н.э., является тригонометрические таблицы в книге I, главе 11 Птолемея Альмагест , [1] трактат по математической астрономии . По сути, это эквивалент таблицы значений синусоидальной функции. Это была самая ранняя тригонометрическая таблица, достаточно обширная для многих практических целей, в том числе для астрономии (более ранняя таблица аккордов Гиппарха давала аккорды только для дуг, кратных 7.+1/2° = π/24радианы ). [2] Прошли века, прежде чем были созданы более обширные тригонометрические таблицы. Одним из таких столов является Canon Sinuum, созданный в конце 16 века.
Аккордовая функция и таблица
Пример: длина хорды, соединяющей a ( 109+1/2) ° дуги составляет примерно 98.
Аккорд из круга является отрезок, концы которого находятся на окружности. Птолемей использовал круг диаметром 120 частей. Он привел в таблицу длину хорды, концы которой разделены дугой в n градусов, для n в диапазоне от 1/2 до 180 с шагом 1/2. В современных обозначениях длина хорды, соответствующей дуге θ градусов, равна
Когда θ изменяется от 0 до 180, хорда дуги θ ° изменяется от 0 до 120. Для крошечных дуг хорда соответствует углу дуги в градусах, как π равно 3, или, точнее, отношение может быть выполнено как близко по желанию к π/3 ≈ 1.047 197 55 , сделав θ достаточно малым. Таким образом, для дуги 1/2°, длина хорды немного больше угла дуги в градусах. По мере увеличения дуги отношение хорды к дуге уменьшается. Когда дуга достигает 60 °, длина хорды в точности равна количеству градусов дуги, т. Е. Хорда 60 ° = 60. Для дуг более 60 ° хорда меньше дуги, пока дуга не равна 180 ° достигается, когда хорда всего 120.
Дробные части длин хорды выражались шестидесятеричными (с основанием 60) цифрами. Например, если длина хорды, образуемой дугой 112 °, составляет 99 29 5, она имеет длину
После столбцов для дуги и хорды третий столбец помечен как «шестидесятые». Для дуги θ ° запись в столбце «шестидесятые» будет
Это среднее число шестидесятых единицы, которое должно добавляться к хорде ( θ °) каждый раз, когда угол увеличивается на одну угловую минуту, между вводом для θ ° и для ( θ + 1/2) °. Таким образом, он используется для линейной интерполяции . Гловацки и Гётче показали, что Птолемей должен был вычислить хорды до пяти шестнадцатеричных знаков, чтобы достичь степени точности, найденной в столбце «шестидесятые». [3]
Как Птолемей вычислял аккорды
В главе 10 книги I Альмагеста представлены геометрические теоремы, используемые для вычисления хорд. Птолемей использовал геометрические рассуждения, основанные на предложении 10 книги XIII Элементов Евклида, чтобы найти хорды 72 ° и 36 °. Это Предложение гласит, что если равносторонний пятиугольник вписан в круг, то площадь квадрата на стороне пятиугольника равна сумме площадей квадратов на сторонах шестиугольника и десятиугольника, вписанных в один круг.
Он использовал теорему Птолемея о четырехугольниках, вписанных в круг, чтобы получить формулы для хорды полудуги, хорды суммы двух дуг и хорды разности двух дуг. Теорема утверждает, что для четырехугольника, вписанного в круг , произведение длин диагоналей равно сумме произведений двух пар длин противоположных сторон. Вывод тригонометрических тождеств основан на вписанном четырехугольнике, одна сторона которого равна диаметру окружности.
Чтобы найти хорды дуг 1 ° и 1/2° он использовал приближения, основанные на неравенстве Аристарха . Неравенство утверждает, что для дуг α и β , если 0 < β < α <90 °, то
Птолемей показал, что для дуг 1 ° и 1/2°, аппроксимации правильно дают первые два шестнадцатеричных знака после целой части.
Система счисления и внешний вид непереведенной таблицы
Длины дуг окружности в градусах и целые части длины хорды были выражены в системе счисления с основанием 10, в которой использовалась 21 буква греческого алфавита со значениями, указанными в следующей таблице, и символ " ∠ ′ ", что означает 1/2и выпуклый кружок «○», заполняющий пустое пространство (фактически представляющий ноль). Две буквы, помеченные как «архаичные» в таблице ниже, не использовались в греческом языке за несколько веков до написания Альмагеста , но все еще использовались в качестве цифр и нот .
Так, например, дуга 143+1/2° выражается как ρμγ ∠ ′. (Поскольку таблица достигает только 180 °, греческие цифры 200 и выше не используются.)
Дробные части длин хорды требовали большой точности и были даны в двух столбцах таблицы: в первом столбце указано целое число, кратное 1/60, в диапазоне 0–59, второе - целое число, кратное 1/60 2 знак равно 1/3600, также в диапазоне 0–59.
Далее в таблице можно увидеть десятичную природу чисел, выражающих целые части дуги и длину хорды. Таким образом, дуга в 85 ° записывается как πε ( π для 80 и ε для 5) и не разбивается на 60 + 25. Соответствующая длина хорды составляет 81 плюс дробная часть. Целая часть начинается с πα , также не разбивается на 60 + 21. Но дробная часть, 4/60 + 15/60 2, записывается как δ , для 4, в 1/60столбец, за которым следует ιε , вместо 15 в столбце1/60 2 столбец.
Таблица состоит из 45 строк на каждой из восьми страниц, всего 360 строк.