Неравенство Аристарха (в честь греческого астронома и математика Аристарха Самосского ; ок. 310 - ок. 230 г. до н. Э.) - это закон тригонометрии, который гласит, что если α и β являются острыми углами (т.е. между 0 и прямым углом) и β < α тогда
Птолемей использовал первое из этих неравенств при построении своей таблицы аккордов . [1]
Доказательство является следствием более известных неравенств , а также .
Доказательство первого неравенства
Используя эти неравенства, мы можем сначала доказать, что
Прежде всего отметим, что неравенство равносильно который сам по себе может быть переписан как
Теперь мы хотим показать, что
Второе неравенство просто . Первое верно, потому что
Доказательство второго неравенства
Теперь мы хотим показать второе неравенство, а именно:
Прежде всего отметим, что в силу исходных неравенств имеем:
Следовательно, используя это в предыдущем уравнении (заменив от ) мы получаем:
Мы делаем вывод, что