Позиционное обозначение

Словарь терминов, используемых в позиционных системах счисления

Позиционные обозначения (или место , значение обозначение , или позиционная система цифры ) обозначает , как правило , расширение к любому основанию из индо-арабская цифра системы (или десятичной системы ). В более общем смысле, позиционная система - это система счисления, в которой вклад цифры в значение числа представляет собой значение цифры, умноженное на коэффициент, определяемый положением цифры. В ранних системах счисления , таких как римские цифры , цифра имеет только одно значение: I означает единицу, X означает десять и C - сто (однако, значение может быть инвертировано, если помещено перед другой цифрой). В современных позиционных системах, таких какдесятичная система , то позиция из цифры означает , что его значение должно быть умножено на некоторой величине: 555, три одинаковых символы представляют пять сот, пять десятков и пять единиц, соответственно, из - за их различные позиции в цифровой строке.

Вавилонская система счисления , основание 60, была первая позиционная система разработана, и ее влияние присутствует сегодня во время пути и углы подсчитывали в бирках , связанные с 60, как 60 минут в часе, 360 градусов по кругу. Сегодня индуистско-арабская система счисления ( основание десять ) является наиболее часто используемой системой во всем мире. Однако двоичная система счисления (основание два) используется почти во всех компьютерах и электронных устройствах, поскольку ее легче эффективно реализовать в электронных схемах .

Были описаны системы с отрицательным основанием, сложным основанием или отрицательными цифрами (см. Раздел Нестандартные позиционные системы счисления ). Большинство из них не требует знака минус для обозначения отрицательных чисел.

Использование точки счисления (десятичная точка в десятичной системе счисления) распространяется на дроби и позволяет представлять каждое действительное число с произвольной точностью. С позиционным обозначением арифметические вычисления намного проще, чем с любой старой системой счисления, и это объясняет быстрое распространение обозначения, когда оно было введено в Западной Европе.

История [ править ]

Сегодня повсеместно распространена десятичная система с основанием 10 , которая, предположительно, основана на счетах десятью пальцами . Другие базы использовались в прошлом, а некоторые продолжают использоваться сегодня. Например, вавилонская система счисления , считающаяся первой позиционной системой счисления, была основанием-60 . Однако в нем не было действительного 0. Первоначально выводимый только из контекста, позже, примерно к 700 г. до н.э., ноль стал обозначаться «пробелом» или «знаком препинания» (например, двумя наклонными клиньями) между цифрами. ^[1] Это был заполнительа не истинный ноль, потому что он не использовался сам по себе. Он также не использовался в конце числа. Такие числа, как 2 и 120 (2 × 60), выглядели одинаково, потому что у большего числа не было последнего заполнителя. Только контекст мог их различить.

Эрудит Архимед (ок. 287–212 до н. Э.) Изобрел десятичную позиционную систему в своем Sand Reckoner, которая была основана на 10 ^{8 [2],} и позже заставила немецкого математика Карла Фридриха Гаусса сетовать на то, каких высот наука достигла бы уже в его дни. если бы Архимед полностью осознал потенциал своего гениального открытия. ^[3]

До того, как позиционное обозначение стало стандартом, использовались простые аддитивные системы ( знаковое обозначение ), такие как римские цифры , а бухгалтеры в Древнем Риме и в Средние века использовали счеты или каменные счетчики для выполнения арифметических операций. ^[4]

Счетные стержни и большинство счетчиков использовались для представления чисел в позиционной системе счисления. Со счетными стержнями или счетами для выполнения арифметических операций запись начальных, промежуточных и конечных значений вычислений может быть легко выполнена с помощью простой аддитивной системы в каждой позиции или столбце. Этот подход не требовал запоминания таблиц (как и позиционная запись) и мог быстро дать практические результаты. В течение четырех столетий (с 13 по 16) существовали серьезные разногласия между теми, кто верил в использование позиционной системы при написании чисел, и теми, кто хотел остаться с аддитивной системой плюс счет. Хотя электронные калькуляторы в значительной степени заменили счеты, последние продолжают использоваться в Японии и других странах Азии.^{[ необходима цитата ]}

После Французской революции (1789–1799) новое французское правительство способствовало расширению десятичной системы счисления. ^[5] Некоторые из этих попыток про-десятичной системы, такие как десятичное время и десятичный календарь, не увенчались успехом. Другие французские усилия по защите десятичных дробей - десятичное представление валюты и измерение весов и мер - широко распространились из Франции почти во всем мире.

История позиционных дробей [ править ]

Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби были впервые использованы арабским математиком Абу'л-Хасаном аль-Уклидиси еще в 10 веке. ^[6] Еврейский математик Иммануил Бонфилс использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал никаких обозначений для их представления. ^[7] Персидский математик Джамшид аль-Каши сделал такое же открытие десятичных дробей в 15 веке. ^[6] Аль Хорезми ввел фракции в исламские страны в начале 9 века; его представление дробей было похоже на традиционные китайские математические дроби из Сунцзи Суаньцзин . ^[8]Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты также использовалась Абу'л-Хасаном аль-Уклидиси 10- го века и работой Джамшида аль-Каши 15-го века «Арифметический ключ». ^{[8] [9]}

Принятие десятичного представления чисел меньше единицы, дроби , часто приписывается Саймону Стевину в его учебнике De Thiende ; ^[10], но и Стевин, и Э. Дж. Дейкстерхейс указывают, что Региомонтан внес свой вклад в европейское принятие десятичных дробей : ^[11]

Европейские математики, переняв у индусов через арабов идею позиционного значения для целых чисел, пренебрегли распространением этой идеи на дроби. В течение нескольких столетий они ограничивались использованием обыкновенных и шестидесятеричных дробей ... Эта половинчатость никогда не была полностью преодолена, и шестидесятеричные дроби по-прежнему составляют основу нашей тригонометрии, астрономии и измерения времени. ¶ ... Математики стремились избежать дробей, принимая радиус R равным количеству единиц длины в форме 10 ^n, а затем принимая за nнастолько большое целое значение, что все встречающиеся величины могут быть выражены с достаточной точностью целыми числами. ¶ Первым, кто применил этот метод, был немецкий астроном Региомонтан. В той мере, в какой он выразил гониометрические отрезки в единице R / 10 ⁿ , Региомонтана можно назвать предвестником учения о десятичных позиционных дробях. ^{[11] : 17,18}

По оценке Дейкстерхейса, «после публикации De Thiende требовалось лишь небольшое продвижение, чтобы установить полную систему десятичных позиционных дробей, и этот шаг был незамедлительно предпринят рядом авторов ... рядом со Стевином, наиболее важной фигурой. в этом развитии был Regiomontanus ». Дейкстерхейс отметил, что [Стевин] «полностью доверяет Региомонтану за его предыдущий вклад, говоря, что тригонометрические таблицы немецкого астронома фактически содержат всю теорию« чисел десятого хода »». ^{[11] : 19}

Проблемы [ править ]

Ключевым аргументом против позиционной системы была ее восприимчивость к простому мошенничеству , просто помещая число в начало или конец числа, тем самым изменяя (например) 100 на 5100 или 100 на 1000. Современные проверки требуют написания на естественном языке символа сумма, а также сама десятичная сумма, чтобы предотвратить такое мошенничество. По той же причине китайцы также используют цифры естественного языка, например, 100 записывается как 壹佰, что никогда не может быть преобразовано в 壹仟 (1000) или 伍仟 壹佰 (5100).

Многие из преимуществ, заявленных для метрической системы, могут быть реализованы с помощью любых последовательных позиционных обозначений. Сторонники «дюжины» говорят, что у двенадцатеричной системы есть несколько преимуществ перед десятичной, хотя затраты на переключение кажутся высокими.

Математика [ править ]

Основание системы счисления [ править ]

В математических системах счисления основание r обычно представляет собой количество уникальных цифр , включая ноль, которые позиционная система счисления использует для представления чисел. В интересных случаях основание системы счисления - это абсолютное значение основания b , которое также может быть отрицательным. Например, для десятичной системы система счисления (и основание) равна 10, потому что в ней используются 10 цифр от 0 до 9. Когда число "попадает" в 9, следующим числом будет не другой другой символ, а "1". за которым следует «0». В двоичной системе основание системы счисления равно 2, поскольку после достижения «1» вместо «2» или другого записанного символа она переходит прямо к «10», за которым следуют «11» и «100».${\ displaystyle r = | b |}$

Самый высокий символ позиционной системы счисления обычно имеет значение на единицу меньше, чем значение основания этой системы счисления. Стандартные позиционные системы счисления отличаются друг от друга только основанием, которое они используют.

Основание системы счисления - это целое число, большее 1, поскольку основание системы счисления нуля не будет иметь цифр, а система счисления 1 будет иметь только нулевую цифру. Отрицательные основания используются редко. В системе с более чем уникальными цифрами числа могут иметь множество различных возможных представлений.${\ displaystyle | b |}$

Важно, чтобы система счисления была конечной, из чего следует, что количество цифр довольно мало. В противном случае длина числа не обязательно будет логарифмической по своему размеру.

(В некоторых нестандартных позиционных системах счисления , включая двуъективную нумерацию , определение основания или допустимых цифр отличается от приведенного выше.)

В стандартной позиционной системе счисления с основанием 10 (десятичной) имеется 10 десятичных цифр и число

${\ displaystyle 5305 _ {\ mathrm {dec}} = (5 \ times 10 ^ {3}) + (3 \ times 10 ^ {2}) + (0 \ times 10 ^ {1}) + (5 \ times 10 ^ {0})}$.

В стандартном формате base-16 ( шестнадцатеричный ) есть 16 шестнадцатеричных цифр (0–9 и A – F) и число.

${\ displaystyle 14 \ mathrm {B} 9 _ {\ mathrm {hex}} = (1 \ times 16 ^ {3}) + (4 \ times 16 ^ {2}) + (\ mathrm {B} \ times 16 ^ {1}) + (9 \ times 16 ^ {0}) \ qquad (= 5305 _ {\ mathrm {dec}}),}$

где B представляет число одиннадцать как единственный символ.

Как правило, в base- b есть b цифр и число${\ displaystyle \ {d_ {1}, d_ {2}, \ dotsb, d_ {b} \} =: D}$

${\displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$

имеет Примечание, которое представляет собой последовательность цифр, а не умножение .${\displaystyle \forall k\colon a_{k}\in D.}$${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$

Обозначение [ править ]

При описании основания в математической нотации буква b обычно используется как символ для этого понятия, поэтому для двоичной системы b равно 2. Другой распространенный способ выражения основания - запись его в виде десятичного нижнего индекса после числа, которое стоит будучи представленным (это обозначение используется в данной статье). 1111011 ₂ означает, что число 1111011 является числом с основанием 2, равным 123 ₁₀ ( десятичное представление), 173 ₈ ( восьмеричное ) и 7B ₁₆ ( шестнадцатеричное).). В книгах и статьях, при использовании первоначально письменных сокращений основ счисления, основание впоследствии не печатается: предполагается, что двоичный код 1111011 совпадает с 1111011 ₂ .

Основание b также может обозначаться фразой «основание- b ». Итак, двоичные числа - это «база-2»; восьмеричные числа - «основание-8»; десятичные числа - «основание-10»; и так далее.

Для данного основания b набор цифр {0, 1, ..., b −2, b −1} называется стандартным набором цифр. Таким образом, двоичные числа имеют цифры {0, 1}; десятичные числа имеют цифры {0, 1, 2, ..., 8, 9}; и так далее. Следовательно, следующие обозначения являются ошибками: 52 ₂ , 2 ₂ , 1A ₉ . (Во всех случаях одна или несколько цифр не входят в набор разрешенных цифр для данной базы.)

Возведение в степень [ править ]

Позиционные системы счисления работают с возведением в степень основания. Значение цифры - это цифра, умноженная на значение ее места. Значения разряда - это номер основания, возведенный в степень n , где n - количество других цифр между данной цифрой и точкой счисления . Если данная цифра находится слева от точки счисления (т. Е. Ее значение является целым числом ), то n положительно или равно нулю; если цифра находится справа от точки счисления (т. е. ее значение является дробным), то n отрицательно.

В качестве примера использования число 465 в соответствующем основании b (которое должно быть не менее 7, поскольку его самая высокая цифра - 6) равно:

${\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

Если бы число 465 было по основанию 10, то оно было бы равным:

${\displaystyle 4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465}$

(465 ₁₀ = 465 ₁₀ )

Если бы, однако, число было в базе 7, то оно было бы равным:

${\displaystyle 4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243}$

(465 ₇ = 243 ₁₀ )

10 _b = b для любого основания b , так как 10 _b = 1 × b ¹ + 0 × b ⁰ . Например, 10 ₂ = 2; 10 ₃ = 3; 10 ₁₆ = 16 ₁₀ . Обратите внимание, что последние «16» указываются в базе 10. База не имеет значения для однозначных цифр.

Эту концепцию можно продемонстрировать с помощью диаграммы. Один объект представляет одну единицу. Когда количество объектов равно или больше, чем основание b , тогда группа объектов создается с объектами b . Когда количество этих групп превышает b , то создается группа из этих групп объектов с b группами по b объектов; и так далее. Таким образом, одно и то же число в разных базах будет иметь разные значения:

241 в базе 5: 2 группы по 5 человек 2 (25) 4 группы по 5 человек 1 группа из 1 человека ооооо ооооо оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо ооооооооооо + + о оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо ооооо ооооо

241 в базе 8: 2 группы по 8 человек 2 (64) 4 группы по 8 человек 1 группа из 1 человека ооооооооооооооооо ооооооооооооооооо оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо ооооооооооооооооо оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо ооооооооооооооооо ооооооооооооооооо

Обозначение можно дополнить, допустив ведущий знак минус. Это позволяет представлять отрицательные числа. Для данной базы каждое представление соответствует ровно одному действительному числу, и каждое действительное число имеет по крайней мере одно представление. Представления рациональных чисел - это те представления, которые конечны, используют штриховую нотацию или заканчиваются бесконечно повторяющимся циклом цифр.

Цифры и цифры [ править ]

Цифра является символом , который используется для позиционной системы счисления, а позиция состоит из одной или более цифр , используемых для представления числа с позиционной системой счисления. Наиболее распространенные сегодня цифры - это десятичные цифры «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8» и «9». Различие между цифрой и цифрой наиболее ярко проявляется в контексте числовой базы.

Ненулевое число с более чем одной позицией цифры будет означать другое число с другой системой счисления, но в целом цифры будут означать то же самое. ^[12] Например, цифра 23 ₈ с основанием ₈ содержит две цифры, «2» и «3», и базовое число (с нижним индексом) «8». При преобразовании в основание 10 число 23 ₈ эквивалентно 19 ₁₀ , то есть 23 ₈ = 19 ₁₀ . В наших обозначениях индекс « ₈ » числа 23 ₈ является частью числа, но это не всегда так.

Представьте, что цифра «23» имеет неоднозначное основание . Тогда «23», скорее всего, может быть любой базой, начиная с базы-4. В системе счисления 4 «23» означает 11 ₁₀ , то есть 23 ₄ = 11 ₁₀ . В base-60 "23" означает число 123 ₁₀ , то есть 23 ₆₀ = 123 ₁₀ . Тогда цифра "23" в этом случае соответствует набору десятичных чисел {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123}, а ее цифры "2" и «3» всегда сохраняют свое первоначальное значение: «2» означает «два из», а «3» - три.

В некоторых приложениях, когда число с фиксированным числом позиций должно представлять большее число, можно использовать более высокую числовую основу с большим количеством цифр на позицию. Трехзначное десятичное число может представлять не более 999 . Но если основание числа увеличивается до 11, скажем, путем добавления цифры «А», то те же три позиции, максимизированные до «ААА», могут представлять такое большое число, как 1330 . Мы могли бы снова увеличить числовую базу и присвоить «B» 11 и так далее (но также возможно шифрование между числом и цифрой в иерархии число-цифра-цифра). Трехзначная цифра "ZZZ" в основании 60 может означать215 999 . Если мы будем использовать весь набор наших буквенно-цифровых символов, мы сможем в конечном итоге использовать системусчисленияс основанием 62 , но мы удалим две цифры, прописную «I» и прописную «O», чтобы избежать путаницы с цифрами «1» и «0». ^[13] У нас осталась система счисления с основанием 60 или шестидесятеричная система счисления, использующая 60 из 62 стандартных буквенно-цифровых символов. (Но см.Ниже шестидесятеричную систему .) В общем, количество возможных значений, которые могут быть представленыцифровым числом в базе,равно.${\displaystyle d}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{d}}$

Распространенными системами счисления в информатике являются двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16). В двоичном формате в цифрах присутствуют только цифры «0» и «1». В восьмеричных цифрах восемь цифр 0–7. Hex - это 0–9 A – F, где десять цифр сохраняют свое обычное значение, а алфавит соответствует значениям 10–15, всего шестнадцать цифр. Цифра «10» - это двоичная цифра «2», восьмеричная цифра «8» или шестнадцатеричная цифра «16».

Точка основания [ править ]

Обозначения могут быть расширены до отрицательных показателей основания b . Таким образом, так называемая точка счисления, чаще всего ».«, Используется как разделитель позиций с неотрицательной степенью и позиций с отрицательной экспонентой.

В числах, не являющихся целыми, используются места за точкой счисления . Для каждой позиции за этой точкой (и, следовательно, после цифры единиц), показатель степени n степени b ⁿ уменьшается на 1, а степень приближается к 0. Например, число 2,35 равно:

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

Подпишите [ редактировать ]

Если основание и все цифры в наборе цифр неотрицательны, отрицательные числа не могут быть выражены. Чтобы избежать этого, к системе счисления добавлен знак «минус» , здесь »-«. В обычных обозначениях он добавляется к строке цифр, представляющей неотрицательное в остальном число.

Базовая конверсия [ править ]

Преобразование в базу целого числа п представлена в базе может быть сделано путем последовательностью евклидовых подразделений по самой правой цифре в базе есть остаток от деления п на второй правой цифре является остаток от деления частного по и так далее. Точнее, k- я цифра справа - это остаток от деления на ( k −1) -го частного.${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}:}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{2};}$${\displaystyle b_{2},}$${\displaystyle b_{2}}$

Например: преобразование A10B _Hex в десятичное (41227):

0xA10B / 10 = 0x101A R: 7 (разряды)0x101A / 10 = 0x19C R: 2 (разряд десятков) 0x19C / 10 = 0x29 R: 2 (разряд сотен) 0x29 / 10 = 0x4 R: 1 ... 0x4 / 10 = 0x0 R: 4

При преобразовании в более крупное основание (например, из двоичного в десятичное) остаток представляет собой одну цифру с использованием цифр от . Например: преобразование 0b11111001 (двоичный) в 249 (десятичный):${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$

0b11111001 / 10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" для разряда) 0b11000 / 10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4" для десятков) 0b10 / 10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = "2" для сотен)

Для дробной части преобразование можно выполнить, взяв цифры после точки системы счисления (числитель) и разделив ее на подразумеваемый знаменатель в целевой системе счисления. Аппроксимация может потребоваться из-за возможности неокончательных цифр, если знаменатель уменьшенной дроби имеет простой множитель, отличный от любого из основных множителей (ов) основания, в которые нужно преобразовать. Например, 0,1 в десятичной системе счисления (1/10) равно 0b1 / 0b1010 в двоичной системе счисления, разделив ее по этой системе счисления, получится 0b0,0 0011 (поскольку один из простых множителей 10 равен 5). Для более общих дробей и оснований см. Алгоритм для положительных оснований .

На практике метод Хорнера более эффективен, чем повторное деление, требуемое выше ^{[14] [ необходим лучший источник ]} . Число в позиционной записи можно рассматривать как многочлен, где каждая цифра является коэффициентом. Коэффициенты могут быть больше одной цифры, поэтому эффективный способ преобразования основ - преобразовать каждую цифру, а затем оценить полином с помощью метода Хорнера в пределах целевой базы. Преобразование каждой цифры представляет собой простую таблицу поиска , устраняющую необходимость в дорогостоящих операциях деления или модуля; и умножение на x становится сдвигом вправо. Однако другие алгоритмы оценки полиномов также будут работать, например, повторное возведение в квадрат для единичных или разреженных цифр. Пример:

Преобразовать 0xA10B в 41227 A10B = (10 * 16 ^ 3) + (1 * 16 ^ 2) + (0 * 16 ^ 1) + (11 * 16 ^ 0) Справочная таблица: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Следовательно, десятичные цифры 0xA10B - 10, 1, 0 и 11.  Разложите цифры вот так. Старшая цифра (10) «опущена»: 10 1 0 11 <- Цифры 0xA10B --------------- 10 Затем мы умножаем нижнее число из исходной базы (16), произведение помещается под следующую цифру исходного значения, а затем складываем: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161 Повторяйте до тех пор, пока не будет выполнено окончательное сложение: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227  и это 41227 в десятичной системе счисления.

Преобразовать 0b11111001 в 249 Справочная таблица: 0b0 = 0 0b1 = 1Результат: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Цифры 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249

Завершение дробей [ править ]

Числа, имеющие конечное представление, образуют полукольцо

${\displaystyle {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Более точно, если это разложение из в простые числа с показателями , ^[15] , то с непустым множеством знаменателей мы имеем${\displaystyle p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P} }$${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$

где есть группа , порожденная и является так называемой локализацией по отношению к .${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle {\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$

Знаменатель какого - либо элемента содержит , если уменьшается до младших членов только простые множители из . Это кольцо всех концевых фракций к основанию является плотным в области рациональных чисел . Его завершение для обычной (архимедовой) метрики такое же, как и для вещественных чисел . Так что , если потом не следует путать с , с кольцом дискретного нормирования для штриха , который равен с .${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S=\{p\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{T}}$${\displaystyle T=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$

Если делится , мы имеем${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .}$

Бесконечные представления [ править ]

Рациональные числа [ править ]

Представление нецелых чисел может быть расширено, чтобы разрешить бесконечную строку цифр за точкой. Например, 1.12112111211112 ... base-3 представляет собой сумму бесконечного ряда :

${\displaystyle {\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^{-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^{-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^{-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11}+1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{array}}}$

Поскольку полная бесконечная строка цифр не может быть записана явно, конечное многоточие (...) обозначает пропущенные цифры, которые могут следовать или не следовать некоторому шаблону. Один из распространенных паттернов - бесконечное повторение конечной последовательности цифр. Это обозначается путем рисования винкулума на повторяющемся блоке:

${\displaystyle 2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}}$

Это повторяющаяся десятичная запись (для которой не существует единой общепринятой записи или формулировки). Для основания 10 это называется повторяющимся десятичным или повторяющимся десятичным числом.

Иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целых базах. Имеет ли рациональное число конечное представление или требует бесконечного повторяющегося представления, зависит от основания. Например, треть может быть представлена:

${\displaystyle 0.1_{3}}$

${\displaystyle 0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}}$

или, с подразумеваемой базой:

${\displaystyle 0.{\overline {3}}=0.3333333\dots }$(см. также 0.999 ... )

${\displaystyle 0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}}$

${\displaystyle 0.2_{6}}$

Для целых чисел p и q с НОД ( p , q ) = 1 дробь p / q имеет конечное представление в базе b тогда и только тогда, когда каждый простой делитель числа q также является простым делителем числа b .

Для данной базы любое число, которое может быть представлено конечным числом цифр (без использования штриховой нотации), будет иметь несколько представлений, включая одно или два бесконечных представления:

1. Можно добавлять конечное или бесконечное количество нулей:

${\displaystyle 3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}}$

2. Последняя ненулевая цифра может быть уменьшена на единицу, и к ней добавляется бесконечная строка цифр, каждая из которых на единицу меньше базовой (или заменяет любые следующие нулевые цифры):

${\displaystyle 3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}}$

${\displaystyle 1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad }$(см. также 0.999 ... )

${\displaystyle 220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}}$

Иррациональные числа [ править ]

(Действительное) иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных основаниях.

Примеры - неразрешимые корни n- й степени.

${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$

с и y ∉ Q , числа, которые называются алгебраическими , или числа, подобные${\displaystyle y^{n}=x}$

${\displaystyle \pi ,e}$

которые трансцендентны . Число трансцендентальных чисел неисчислимо, и единственный способ записать их с помощью конечного числа символов - дать им символ или конечную последовательность символов.

Приложения [ править ]

Десятичная система [ править ]

В десятичной (основание 10) индуистско-арабской системе счисления каждая позиция, начинающаяся справа, является высшей степенью 10. Первая позиция представляет 10 0 (1), вторая позиция 10 1 (10), третья позиция 10. 2 ( 10 × 10 или 100), четвертая позиция 10 3 ( 10 × 10 × 10 или 1000) и так далее.

Дробные значения обозначаются разделителем , который может различаться в разных местах. Обычно этот разделитель представляет собой точку, точку или запятую . Цифры справа от него умножаются на 10 в отрицательной степени или экспоненте. Первая позиция справа от разделителя указывает 10 -1 (0,1), вторая позиция 10 -2 (0,01) и так далее для каждой последующей позиции.

Например, число 2674 в системе счисления с основанием 10:

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

или же

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Шестидесятеричная система [ править ]

Шестидесятеричная система или база-60 была использована для целых и дробных частей вавилонских цифр и других месопотамских систем, Эллинистических астрономами с использованием греческих цифр только для дробной части, и до сих пор используется для современного времени и углов, но только в течение минут и секунд. Однако не все из этих применений были позиционными.

Современное время разделяет каждую позицию двоеточием или символом штриха . Например, время может быть 10:25:59 (10 часов 25 минут 59 секунд). Углы используют аналогичные обозначения. Например, угол может составлять 10 ° 25′59 ″ (10 градусов 25 минут 59 секунд ). В обоих случаях только минуты и секунды используют шестидесятеричное представление - угловые градусы могут быть больше 59 (один оборот вокруг круга равен 360 °, два поворота - 720 ° и т. Д.), А время и углы используют десятичные доли секунды. . ^{[ необходима цитата ]} Это контрастирует с числами, используемыми астрономами эллинизма и эпохи Возрождения , которые использовали трети ,четверти и т. д. для более мелких шагов. Там, где мы могли бы написать 10 ° 25′59.392 ″ , они написали бы 10 ° 25 59 23 31 12${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime }}}$${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime }}}$${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime }}}$${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime }}}$${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime \prime }}}$ или 10 ° 25 ⁱ 59 ⁱⁱ 23 ⁱⁱⁱ 31 ^iv 12 ^v .

Использование набора цифр с прописными и строчными буквами позволяет использовать короткую запись для шестидесятеричных чисел, например, 10:25:59 становится «ARz» (опуская I и O, но не i и o), что полезно для использования в URL-адресах, и т. д., но для человека это не очень понятно.

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и используя запятую. (,) для разделения позиций в каждой части. ^[16] Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и все еще используемый в еврейском календаре, составляет 29; 31,50,8,20 дней, а угол, используемый в приведенном выше примере, будет записан как 10; 25 , 59,23,31,12 град.

Вычисления [ править ]

В вычислении , в двоичный файл (базовый-2), восьмеричное (основание-8) и шестнадцатеричной (основание-16) основы наиболее часто используются. Компьютеры на самом базовом уровне имеют дело только с последовательностями обычных нулей и единиц, поэтому в этом смысле легче иметь дело со степенями двойки. Шестнадцатеричная система используется как «сокращение» для двоичной системы - каждые 4 двоичных цифры (бита) относятся к одной и только одной шестнадцатеричной цифре. В шестнадцатеричном формате шесть цифр после 9 обозначаются буквами A, B, C, D, E и F (а иногда и a, b, c, d, e и f).

Восьмеричная система нумерации также используются в качестве другого способа представления двоичных чисел. В этом случае база равна 8, и поэтому используются только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. При преобразовании из двоичного в восьмеричное каждые 3 бита относятся к одной и только одной восьмеричной цифре.

Шестнадцатеричная, десятичная, восьмеричная и многие другие основы используются для кодирования двоичного кода в текст , реализации арифметики произвольной точности и других приложений.

Список баз и их приложений см. В списке систем счисления .

Другие основы на человеческом языке [ править ]

Системы с основанием 12 ( двенадцатеричные или десятичные) были популярны, потому что умножение и деление проще, чем в системе с основанием 10, причем сложение и вычитание также просты. Двенадцать - полезная база, потому что у нее много факторов . Это наименьшее общее кратное единице, двум, трем, четырем и шести. Существует еще специальное слово для «десяток» на английском языке, и по аналогии со словом на 10 ² , сто , коммерция разработала слово 12 ² , брутто . Стандартные 12-часовые часы и обычное использование 12 в английских единицах подчеркивают полезность базы. Кроме того, до преобразования в десятичную форму старая британская валюта фунт стерлингов (GBP) частичноб / у база-12; было 12 пенсов (d) в шиллинге (ах), 20 шиллингов в фунте (£) и, следовательно, 240 пенсов в фунте. Отсюда термин ЛСД или, точнее, £ sd .

Цивилизации майя и другие цивилизации в доколумбовой Мезоамерики используются база-20 ( двадцатеричная ), так же как и несколько североамериканских племен (два находятся в Южной Калифорнии). Доказательства систем счета по основанию 20 также можно найти в языках Центральной и Западной Африки .

Остатки галльской системы с основанием 20 также существуют во французском языке, как это видно сегодня в названиях чисел от 60 до 99. Например, шестьдесят пять - это soixante-cinq (буквально «шестьдесят [и] пять»), в то время как семьдесят пять - это сойсанте-квинзе (буквально «шестьдесят [и] пятнадцать»). Кроме того, для любого числа от 80 до 99 число в столбце десятков выражается кратным двадцати. Например, восемьдесят два - это quatre-vingt-deux (буквально четыре двадцать [s] [и] два), а девяносто два - quatre-vingt-douze (буквально, четыре двадцать [s] [и] двенадцать)). В старофранцузском языке сорок был выражен как два двадцатых, шестьдесят - как три двадцатых, так что пятьдесят три было выражено как два двадцатых [и] тринадцатых, и так далее.

В английском языке тот же принцип счета по основанию 20 встречается в использовании « scores ». Хотя в основном исторический, он иногда используется в разговорной речи. Стих 10 Пслама 90 Библии в переводе короля Иакова начинается со слов: «Дней лет наших шестьдесят лет десять; и если по силе они равны восьмидесяти годам, то сила их - труд и скорбь». Геттисбергское обращение начинается так: «Четыре десятка семь лет назад».

В ирландском языке в прошлом также использовалось основание 20: двадцать - это фихид , сорок дха фхичид , шестьдесят три фхичид и восемьдесят цейтре фхичид . Остаток этой системы можно увидеть в современном слове «40», даоичхед .

В валлийском языке по- прежнему используется система счета по основанию 20 , особенно для определения возраста людей, дат и общеупотребительных фраз. 15 также важно, где 16–19 означает «один на 15», «два на 15» и т. Д. 18 обычно означает «две девятки». Обычно используется десятичная система счисления.

В языках инуитов используется система подсчета по основанию 20 . Студенты из Кактовика, Аляска, изобрели систему счисления с основанием 20 в 1994 году ^[17]

Датские цифры отображают аналогичную структуру с основанием 20 .

В языке маори Новой Зеландии также есть свидетельства наличия базовой 20- образной системы, как видно из терминов Te Hokowhitu a Tu, относящихся к военному отряду (буквально «семь двадцатых Ту»), и Tama-hokotahi , относящихся к великому воину. («Один человек равен 20»).

Двоичная система использовалась в Древнем Египте с 3000 г. до н.э. до 2050 г. до н.э. Он был скорописным путем округления рациональных чисел меньше 1 до 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 с отброшенным членом 1/64 (система называлась Глаз Гора ).

В ряде языков австралийских аборигенов используются двоичные или бинарные системы счета. Например, в Кала Лагав Йа числа с первого по шестой - это урапон , укасар , укасар-урапон , укасар-укасар , укасар-укасар-урапон , укасар-укасар-укасар .

Туземцы Северной и Центральной Америки использовали основание 4 ( четвертичное ) для обозначения четырех сторон света. Жители Мезоамерики, как правило, добавляли вторую систему с основанием 5 для создания модифицированной системы с основанием 20.

Система с основанием 5 ( пятеричная система ) использовалась во многих культурах для подсчета. Понятно, что это основано на количестве цифр на руке человека. Его также можно рассматривать как подоснову других оснований, таких как основание-10, основание-20 и основание-60.

Система с основанием 8 ( восьмеричная ) была разработана племенем юки из Северной Калифорнии, которое использовало для счета промежутки между пальцами, соответствующие цифрам с первой по восьмую. ^[18] Существуют также лингвистические данные, свидетельствующие о том, что протоиндоевропейцы бронзового века (от которых происходит большинство европейских и индийских языков), возможно, заменили систему с основанием 8 (или систему, которая могла считать только до 8) на система base-10. Доказано , что слово для 9, newm , предположительно происходит от слова, обозначающего «новый», newo- , предполагая, что число 9 было недавно изобретено и названо «новым числом». ^[19]

Многие древние системы счета используют пять в качестве основной базы, что почти наверняка зависит от количества пальцев на руке человека. Часто эти системы дополняются вторичной базой, иногда десятью, иногда двадцатью. В некоторых африканских языках слово «пять» совпадает с «рукой» или «кулаком» ( язык диола в Гвинее-Бисау , язык банда в Центральной Африке ). Подсчет продолжается добавлением 1, 2, 3 или 4 к комбинациям из 5, пока не будет достигнута вторичная база. В случае двадцати это слово часто означает «полный человек». Эта система называется пятнадцатеричной . Он встречается на многих языках Суданского региона.

Язык Telefol , на котором говорят в Папуа-Новой Гвинее , примечателен наличием системы счисления с основанием 27.

Нестандартные позиционные системы счисления [ править ]

Интересные свойства существуют, когда основание не является фиксированным или положительным и когда наборы символов цифр обозначают отрицательные значения. Есть еще много вариантов. Эти системы имеют практическую и теоретическую ценность для компьютерных ученых.

Сбалансированная троичная система ^[20] использует основание из 3, но набор цифр равен { 1 , 0,1} вместо {0,1,2}. « 1 » имеет эквивалентное значение -1. Отрицание числа легко формируется включением   единиц. Эта система может использоваться для решения проблемы балансировки , которая требует нахождения минимального набора известных противовесов для определения неизвестного веса. Веса 1, 3, 9, ... 3 ⁿ известных единиц можно использовать для определения любого неизвестного веса до 1 + 3 + ... + 3 ⁿ единиц. Гирю можно использовать с обеих сторон весов или не использовать вовсе. Гири, использованные на чаше весов с неизвестным весом, обозначены цифрой 1., с 1, если используется на пустой посуде, и с 0, если не используется. Если неизвестный груз W уравновешен с 3 (3 ¹ ) на его чаше и 1 и 27 (3 ⁰ и 3 ³ ) на другой, то его вес в десятичном формате равен 25 или 10 1 1 в сбалансированном основании-3.

10 1 1 ₃ = 1 × 3 ³ + 0 × 3 ² - 1 × 3 ¹ + 1 × 3 ⁰ = 25.

Система факторного номера использует изменяющуюся десятичную, давая факториалы как место ценностей; они связаны с китайской теоремой об остатках и перечислениями в системе счисления остатков . Эта система эффективно перечисляет перестановки. Производная от этого использует конфигурацию головоломки Башни Ханоя в качестве системы подсчета. Конфигурацию башен можно поставить в соответствие 1 к 1 с десятичным счетом шага, на котором происходит конфигурация, и наоборот.

Непозиционные позиции [ править ]

Каждая позиция не обязательно должна быть позиционной. Вавилонские шестидесятеричные числа были позиционными, но в каждой позиции были группы из двух видов клиньев, представляющих единицы и десятки (узкий вертикальный клин (|) и открытый клин, указывающий влево (<)) - до 14 символов на позицию (5 десятков ( <<<<<) и 9 единиц (|||||||||), сгруппированных в один или два ближайших квадрата, содержащих до трех уровней символов, или заполнитель (\\) при отсутствии позиции) . ^[21] Эллинистические астрономы использовали одну или две буквенные греческие цифры для каждой позиции (одна выбиралась из 5 букв, представляющих 10–50, и / или одна выбиралась из 9 букв, представляющих 1–9, или нулевой символ ). ^[22]

См. Также [ править ]

Примеры:

• Список систем счисления
• Категория: Позиционные системы счисления

Похожие темы:

• Алгоризм
• Индусско-арабская система счисления
• Смешанная система счисления
• Нестандартные позиционные системы счисления
• Система счисления
• Научная нотация

Другой:

• Значимые фигуры

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• О'Коннор, Джон; Робертсон, Эдмунд (декабрь 2000 г.). «Вавилонские цифры» . Проверено 21 августа 2010 года .
• Кадвани, Джон (декабрь 2007 г.). «Позиционная ценность и лингвистическая рекурсия». Журнал индийской философии . 35 (5–6): 487–520. DOI : 10.1007 / s10781-007-9025-5 . S2CID  52885600 .
• Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования . 2 . Эддисон-Уэсли. С. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
• Ифра, Джордж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Вайли. ISBN 0-471-37568-3.
• Крёбер, Альфред (1976) [1925]. Справочник индейцев Калифорнии . Courier Dover Publications. п. 176. ISBN. 9780486233680.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме позиционных систем счисления .

• Точная базовая конверсия
• Развитие индуистской арабской и традиционной китайской арифметики
• Внедрение базовой конверсии в самые короткие сроки
• Научитесь считать на пальцах другие основы
• Онлайн-конвертер базы произвольной точности