Икосаэдрические соты

Икосаэдрические соты
Модель диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические стандартные соты Однородные гиперболические соты
Символ Шлефли	{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,5}
Лица	треугольник {3}
Фигурка края	треугольник {3}
Фигура вершины	додекаэдр
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Характеристики	Обычный

Икосаэдрическая соты является одним из четырех компактных регулярных космических заполнения мозаик (или сот ) в гиперболической 3-пространстве . С символом Шлефли {3,5,3}, есть три икосаэдра вокруг каждого ребра и 12 икосаэдров вокруг каждой вершины в правильной додекаэдрической фигуре вершины .

Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Описание [ править ]

Двугранный угол из икосаэдра составляет около 138,2 °, так что невозможно уместить три икосаэдров вокруг края в евклидовом 3-пространстве. Однако в гиперболическом пространстве икосаэдры с правильным масштабированием могут иметь двугранные углы ровно 120 градусов, поэтому три из них могут умещаться вокруг ребра.

Соты в перспективе за пределами модельного диска Пуанкаре

Связанные обычные соты [ править ]

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных соты:

Четыре обычных компактных соты в H 3
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

Связанные регулярные многогранники и соты [ править ]

Он входит в последовательность регулярных полихор и сот {3, p , 3} с дельтраэдрическими ячейками:

{3, п , 3} многогранники
Космос	S 3		H 3
Форма	Конечный		Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
{3, п , 3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3, ∞, 3}
Изображение
Клетки	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞}
Фигура вершины	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Он также входит в последовательность правильных полихор и сот { p , 5, p }, вершины которых состоят из пятиугольников:

{ p , 5, p } обычные соты
Космос	H 3
Форма	Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,5,3}	{4,5,4}	{5,5,5}	{6,5,6}	{7,5,7}	{8,5,8}	... {∞, 5, ∞}
Изображение
Ячейки { p , 5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	{∞, 5}
Вершинная фигура {5, p }	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5, ∞}

Однородные соты [ править ]

В семействе группы [3,5,3] Кокстера девять однородных сот , включая эту регулярную форму, а также усеченную форму, t _1,2 {3,5,3},, также называемые усеченными додекаэдрическими сотами , каждая из которых представляет собой усеченные додекаэдры .

[3,5,3] семейные соты
т 1 {3,5,3}	т 0,1 {3,5,3}	т 0,2 {3,5,3}	т 0,3 {3,5,3}

т 1,2 {3,5,3}	т 0,1,2 {3,5,3}	т 0,1,3 {3,5,3}	т 0,1,2,3 {3,5,3}

Ректифицированные икосаэдрические соты [ править ]

Ректифицированные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	r {3,5,3} или t ₁ {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г {3,5} {5,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины	треугольная призма
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямляются икосаэдрические сотни , т ₁ {3,5,3},, имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и икосододекаэдра , с треугольной формой вершины призмы :

Перспективные проекции из центра модели диска Пуанкаре

Связанные соты [ править ]

Всего существует четыре выпрямленных компактных обычных соты:

Четыре выпрямленных обычных компактных соты в H 3
Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Фигура вершины

Усеченные икосаэдрические соты [ править ]

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т {3,5,3} или т _0,1 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {3,5} {5,3}
Лица	пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольная пирамида
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усечена икосаэдрические сотни , т _0,1 {3,5,3},, имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и усеченного икосаэдра , с треугольной вершиной пирамиды .

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3
Изображение
Символы	т {5,3,4}	т {4,3,5}	т {3,5,3}	т {5,3,5}
Фигура вершины

Усеченные икосаэдрические соты [ править ]

Икосаэдрические соты с усеченной бородкой
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2 т {3,5,3} или _1,2 т {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {5,3}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Фигура вершины	тетрагональный дисфеноид
Группа Коксетера	${\ displaystyle 2 \ times {\ overline {J}} _ {3}}$ , [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный, клеточно-транзитивный

Bitruncated икосаэдрическая сот , т _1,2 {3,5,3},, имеет усеченные ячейки додекаэдра с четырехугольной вершиной дифеноида .

Связанные соты [ править ]

Три усеченных компактной соты в H 3
Изображение
Символы	2т {4,3,5}	2т {3,5,3}	2т {5,3,5}
Фигура вершины

Скошенные икосаэдрические соты [ править ]

Скошенные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	rr {3,5,3} или t _0,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	rr {3,5} r {5,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	клин
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantellated икосаэдрическая соты , т _0,2 {3,5,3},, Имеет ромбоикосододекаэдр , икосододекаэдр и треугольную призму клетку, с клиновидной вершиной фигурой.

Связанные соты [ править ]

Четыре скошенных регулярных компактных сот в H 3

Изображение
Символы	рр {5,3,4}	рр {4,3,5}	рр {3,5,3}	рр {5,3,5}
Фигура вершины

Усеченные икосаэдрические соты [ править ]

Сота с усеченным икосаэдром
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr {3,5,3} или t _0,1,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {3,5} t {5,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantitruncated икосаэдрическая соты , т _0,1,2 {3,5,3},, имеет усеченный икосидодекаэдр , усеченный додекаэдр и ячейки треугольной призмы с зеркальной фигурой вершины клиновидной кости .

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных сот в H 3
Изображение
Символы	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	тр {5,3,5}
Фигура вершины

Ячеистые икосаэдрические соты [ править ]

Плетеные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,3 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,5} {} × {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Фигура вершины	пятиугольная антипризма
Группа Коксетера	${\ displaystyle 2 \ times {\ overline {J}} _ {3}}$ , [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Runcinated икосаэдрическая соты , т _0,3 {3,5,3},, имеет ячейки икосаэдра и треугольной призмы с пятиугольной вершиной антипризмы .

Вид из центра треугольной призмы

Связанные соты [ править ]

Три плоских регулярных компактных соты в H 3
Изображение
Символы	т 0,3 {4,3,5}	т 0,3 {3,5,3}	т 0,3 {5,3,5}
Фигура вершины

Усеченные икосаэдрические соты [ править ]

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,1,3 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	t {3,5} rr {3,5} {} × {3} {} × {6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcitruncated икосаэдрическая соты , т _0,1,3 {3,5,3},, имеет усеченный икосаэдр , ромбикосододекаэдр , гексагональную призму и ячейки треугольной призмы с равнобедренной трапециевидной пирамидой в вершине .

Runcicantellated икосаэдрическая соты эквивалентно runcitruncated икосаэдрического сот.

Вид из центра треугольной призмы

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3


Изображение
Символы	т 0,1,3 {5,3,4}	т 0,1,3 {4,3,5}	т 0,1,3 {3,5,3}	т 0,1,3 {5,3,5}
Фигура вершины

Усеченные икосаэдрические соты [ править ]

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {3,5} {} × {6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {10}
Фигура вершины	филлический дисфеноид
Группа Коксетера	${\ displaystyle 2 \ times {\ overline {J}} _ {3}}$ , [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Omnitruncated икосаэдрическая соты , т _0,1,2,3 {3,5,3},, Имеет усеченный икосододекаэдр и гексагональную призму клетку, с филлитовой равногранной тетраэдром вершины фигурой.

По центру шестиугольной призмы

Связанные соты [ править ]

Три полностью усеченных обычных компактных соты в H 3

Изображение
Символы	т 0,1,2,3 {4,3,5}	т 0,1,2,3 {3,5,3}	т 0,1,2,3 {5,3,5}
Фигура вершины

Омниснуб икосаэдрические соты [ править ]

Омниснуб икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	h (t _0,1,2,3 {3,5,3})
Диаграмма Кокстера
Клетки	sr {3,5} s {2,3} irr. {3,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины
Группа Коксетера	[[3,5,3]] ⁺
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Omnisnub икосаэдрическая сот , ч (т _0,1,2,3 {3,5,3}),, имеет курносые ячейки додекаэдра , октаэдра и тетраэдра с неправильной формой вершины. Он вершинно-транзитивный , но не может быть сделан с однородными ячейками.

Частично уменьшенные икосаэдрические соты [ править ]

Частично уменьшенные икосаэдрические соты Парабидоуменьшенные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	pd {3,5,3}
Диаграмма Кокстера	-
Клетки	{5,3} с {2,5}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины	тетраэдрически уменьшенный додекаэдр
Группа Коксетера	¹ / ₅ [3,5,3] ⁺
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Частично уменьшена икосаэдрическая соты или parabidiminished икосаэдрической соты , PD {3,5,3}, не является однородным Wythoffian сот с додекаэдром и пятиугольная антипризмой клетками, с тетраэдрическим уменьшился Додекаэдром вершины фигуры. Ячейки икосаэдра {3,5,3} уменьшаются в противоположных вершинах (уменьшаются парабидом), оставляя ядро пятиугольной антипризмы ( уменьшенное парабидом икосаэдра ) и создавая новые ячейки додекаэдра сверху и снизу. ^[1]^[2]

См. Также [ править ]

Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
Пространство Зейферта – Вебера
11-элементный - абстрактный правильный полихорон, который разделяет символ Шлефли {3,5,3} .

Ссылки [ править ]

↑ Венди Ю. Кригер, Стены и мосты: вид из шести измерений, Симметрия: Культура и наука, том 16, номер 2, страницы 171–192 (2005) [1] Архивировано 07 октября 2013 г. на Wayback Machine
^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/pt353.htm

Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, p212-213)
Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
Клитцинг, Ричард. "Гиперболические соты H3 гиперболическая мозаика икосаэдра 3-го порядка" .

[1] Венди Ю. Кригер, Стены и мосты: вид из шести измерений, Симметрия: Культура и наука, том 16, номер 2, страницы 171–192 (2005) [1] Архивировано 07 октября 2013 г. на Wayback Machine

[2] ttp://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/pt353.htm