В гиперболической геометрии , в гиперцикле , hypercircle или эквидистантов являются кривым , точки которой имеет одинаковое ортогональное расстояние от данного прямой (его оси).
Для прямой L и точки P, не лежащей на L, можно построить гиперцикл, взяв все точки Q на той же стороне L, что и P, с перпендикулярным расстоянием к L, равным расстоянию от P.
Линия L называется осью , центром или базовой линией гиперцикла.
Линии, перпендикулярные оси , которая также перпендикулярна гиперциклу, называются нормалями гиперцикла.
Отрезки нормали между осью и гиперциклом называются радиусами .
Их общая длина называется расстоянием или радиусом гиперцикла. [1]
Гиперциклы, проходящие через данную точку, которые имеют общую касательную через эту точку, сходятся к орициклу, поскольку их расстояния стремятся к бесконечности.
Свойства, аналогичные свойствам евклидовых линий
Гиперциклы в гиперболической геометрии обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам прямых в евклидовой геометрии :
- В плоскости, для которой задана линия и точка не на ней, существует только один гиперцикл из гиперцикла данной прямой (сравните с аксиомой Плейфэра для евклидовой геометрии).
- Никакие три точки гиперцикла не находятся на окружности.
- Гиперцикл симметричен каждой перпендикулярной к нему прямой. (Отражение гиперцикла по линии, перпендикулярной гиперциклу, приводит к тому же гиперциклу.)
Свойства, аналогичные свойствам евклидовых кругов
Гиперциклы в гиперболической геометрии обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам окружностей в евклидовой геометрии :
- Линия, перпендикулярная хорде гиперцикла в его средней точке, является радиусом и делит пополам дугу, образованную хордой.
- Пусть AB - хорда, а M - ее середина.
- По симметрии прямая R, проходящая через M, перпендикулярная AB, должна быть ортогональна оси L.
- Следовательно, R - радиус.
- Также по симметрии R разделит дугу AB пополам.
- Ось и расстояние гиперцикла определяются однозначно .
- Предположим, что гиперцикл C имеет две разные оси L 1 и L 2 .
- Используя предыдущее свойство дважды с разными хордами, мы можем определить два различных радиуса R 1 и R 2 . Тогда R 1 и R 2 должны быть перпендикулярны как L 1, так и L 2 , давая нам прямоугольник. Это противоречие, потому что прямоугольник - невозможная фигура в гиперболической геометрии .
- Два гиперцикла имеют равные расстояния тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.
- Если у них одинаковое расстояние, нам просто нужно жестким движением привести оси в совпадение, а также совпадут все радиусы; так как расстояние одинаковое, то совпадут и точки двух гиперциклов.
- И наоборот, если они совпадают, расстояние должно совпадать по предыдущему свойству.
- Прямая линия разрезает гиперцикл не более чем в двух точках.
- Пусть прямая K разрезает гиперцикл C на две точки A и B. Как и раньше, мы можем построить радиус R кольца C через среднюю точку M треугольника AB. Обратите внимание, что K ультрапараллельна оси L, потому что они имеют общий перпендикуляр R. Кроме того, две ультрапараллельные линии имеют минимальное расстояние на общем перпендикуляре и монотонно увеличивающиеся расстояния по мере удаления от перпендикуляра.
- Это означает, что точки K внутри AB будут иметь расстояние от L меньше, чем общее расстояние A и B от L, в то время как точки K вне AB будут иметь большее расстояние. В заключение, никакая другая точка K не может быть на C.
- Два гиперцикла пересекаются не более чем в двух точках.
- Пусть C 1 и C 2 - гиперциклы, пересекающиеся в трех точках A, B и C.
- Если R 1 - прямая, ортогональная AB через ее среднюю точку, мы знаем, что это радиус как C 1, так и C 2 .
- Аналогичным образом мы строим R 2 , радиус, проходящий через среднюю точку BC.
- R 1 и R 2 одновременно ортогональны осям L 1 и L 2 C 1 и C 2 соответственно.
- Мы уже доказали, что тогда L 1 и L 2 должны совпадать (иначе получается прямоугольник).
- Тогда C 1 и C 2 имеют одну и ту же ось и, по крайней мере, одну общую точку, следовательно, они находятся на одинаковом расстоянии и совпадают.
- Никакие три точки гиперцикла не лежат на одной прямой.
- Если точки A, B и C гиперцикла коллинеарны, то хорды AB и BC лежат на одной прямой K. Пусть R 1 и R 2 - радиусы, проходящие через средние точки AB и BC. Мы знаем, что ось L гиперцикла является общим перпендикуляром R 1 и R 2 .
- Но K - это обычный перпендикуляр . Тогда расстояние должно быть 0 и гиперцикл вырождается в линию.
Прочие свойства
- Длина дуги гиперцикла между двумя точками равна
- длиннее, чем длина отрезка между этими двумя точками,
- короче, чем длина дуги одного из двух орициклов между этими двумя точками, и
- короче любой дуги окружности между этими двумя точками.
- Гиперцикл и орицикл пересекаются не более чем в двух точках.
Длина дуги
В гиперболической плоскости постоянной кривизны -1 длина дуги гиперцикла может быть вычислена из радиуса r и расстояния между точками, где нормали пересекаются с осью d, по формуле l = d ch r . [2]
Строительство
В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представлены прямыми и дугами окружностей, которые пересекают граничную окружность не под прямым углом. Представление оси пересекает граничную окружность в тех же точках, но под прямым углом.
В модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представлены прямыми и дугами окружностей, которые пересекают граничную линию не под прямым углом. Представление оси пересекает линию границы в тех же точках, но под прямым углом.
Рекомендации
- ^ Мартин, Джордж Э. (1986). Основы геометрии и неевклидова плоскость (1., корр. Springer ed.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 371. ISBN. 3-540-90694-0.
- ^ Смогоржевский А.С. (1982). Геометрия Лобачевского . Москва: Мир. п. 68 .
- Мартин Гарднер , Неевклидова геометрия , глава 4 Колоссальной книги по математике , WW Norton & Company, 2001, ISBN 978-0-393-02023-6
- Гринберг М.Дж. Евклидовы и неевклидовы геометрии: развитие и история , 3-е издание, WH Freeman, 1994.
- Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидовой плоскости , Springer-Verlag, 1975.
- Дэвид К. Ройстер, нейтральная и неевклидова геометрии .