Сплит-бикватернион

В математике , А разделенный бикватернионный является гиперкомплексным номером вида

${\ Displaystyle д = вес + xi + yj + zk \!}$

где w , x , y и z - комплексные числа с разбиением, а i, j и k умножаются, как в группе кватернионов . Поскольку каждый коэффициент w , x , y , z охватывает два реальных измерения , расщепленный бикватернион является элементом восьмимерного векторного пространства . Учитывая, что оно несет умножение, это векторное пространство является алгеброй над вещественным полем или алгеброй над кольцом, в котором расщепленные комплексные числа образуют кольцо. Эта алгебра была введенаУильям Кингдон Клиффорд в статье 1873 года для Лондонского математического общества . С тех пор он неоднократно упоминался в математической литературе, по-разному, как отклонение в терминологии, как иллюстрация тензорного произведения алгебр и как иллюстрация прямой суммы алгебр . Расщепленные бикватернионы были идентифицированы алгебраистами различными способами; см. § Синонимы ниже.

Современное определение [ править ]

Расщепленный бикватернион изоморфен по кольцу алгебре Клиффорда C ℓ _0,3 ( R ). Это геометрическая алгебра, порожденная тремя ортогональными мнимыми базисными направлениями { e ₁ , e ₂ , e ₃ } по правилу комбинации

${\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = {\ Bigg \ {} {\ begin {matrix} -1 & i = j, \\ - e_ {j} e_ {i} & i \ not = j \ end {matrix} }}$

давая алгебру, натянутую на 8 базисных элементов {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ }, с ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 и ω² = ( е ₁ е ₂ е ₃ ) ² = +1. Подалгебра, натянутая на 4 элемента {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ }, является телом кватернионов Гамильтона , H = C ℓ _0,2 ( R ) . Таким образом, можно увидеть, что

${\ Displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {D}}$

где D = C ℓ _1,0 ( R ) - алгебра, натянутая на {1, ω}, алгебру расщепляемых комплексных чисел . Эквивалентно,

${\displaystyle C\ell _{0,3}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .}$

Сплит-бикватернионная группа [ править ]

Расщепленные бикватернионы образуют ассоциативное кольцо, что ясно из рассмотрения умножений в его базисе {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Когда ω присоединяется к группе кватернионов, получается группа из 16 элементов

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Прямая сумма двух кватернионных колец [ править ]

Обозначается прямая сумма тела кватернионов с самим собой . Произведение двух элементов и находится в этой алгебре прямой суммы .${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$${\displaystyle (a\oplus b)}$${\displaystyle (c\oplus d)}$${\displaystyle ac\oplus bd}$

Предложение: алгебра расщепленных бикватернионов изоморфна${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .}$

Доказательство: каждый расщепленный бикватернион имеет выражение q = w + z ω, где w и z - кватернионы, а ω ² = +1. Теперь, если p = u + v ω - еще один расщепленный бикватернион, их произведение равно

${\displaystyle pq=uw+vz+(uz+vw)\omega .\!}$

Отображение изоморфизма расщепленных бикватернионов на задается формулой${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

${\displaystyle p\mapsto (u+v)\oplus (u-v),\quad q\mapsto (w+z)\oplus (w-z).}$

В , произведение этих изображений, согласно алгебре-произведению указанного выше, равно${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

${\displaystyle (u+v)(w+z)\oplus (u-v)(w-z).}$

Этот элемент также является образом pq при отображении в Таким образом, продукты согласуются, отображение является гомоморфизмом; и поскольку он биективен , это изоморфизм.${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .}$

Хотя расщепленные бикватернионы образуют восьмимерное пространство, как бикватернионы Гамильтона, на основе предложения очевидно, что эта алгебра распадается на прямую сумму двух копий реальных кватернионов.

Гамильтон бикватернион [ править ]

Расщепленные бикватернионы не следует путать с (обычными) бикватернионами, ранее введенными Уильямом Роуэном Гамильтоном . Бикватернионы Гамильтона являются элементами алгебры

${\displaystyle C\ell _{2}(\mathbb {C} )=\mathbb {H} \otimes \mathbb {C} .}$

${\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )=\mathbb {H} \otimes \mathbb {C} .}$

Синонимы [ править ]

Следующие термины и соединения относятся к алгебре расщепленных бикватернионов:

• эллиптические бикватернионы - Клиффорд 1873 , Руни 2007 harvnb error: no target: CITEREFClifford1873 (help)
• Клиффорд бикватернион - Джоли 1902 , ван дер Варден 1985 harvnb error: no target: CITEREFJoly1902 (help)
• дикватернионы - Розенфельд 1997
• ${\displaystyle \mathbb {D} \otimes \mathbb {H} }$где D = комплексные числа с разбиением - Бурбаки 1994 , Розенфельд 1997 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki1994 (help)
• ${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$, прямая сумма двух алгебр кватернионов - Ван дер Варден 1985

См. Также [ править ]

• Сплит-октонионы

Ссылки [ править ]