Восьмимерное пространство

В математике , последовательность п действительных чисел можно понимать как место в п - мерном пространстве. Когда n = 8, множество всех таких местоположений называется 8-мерным пространством . Часто такие пространства изучаются как векторные пространства без какого-либо понятия расстояния. Восьмимерное евклидово пространство - это восьмимерное пространство, снабженное евклидовой метрикой .

В более общем смысле термин может относиться к восьмимерному векторному пространству над любым полем , например к восьмимерному комплексному векторному пространству, которое имеет 16 реальных измерений. Он также может относиться к восьмимерному многообразию, например, к 8-сфере , или к множеству других геометрических конструкций.

Геометрия [ править ]

8-многогранник [ править ]

Многогранник в восьми измерениях называется 8-многогранник. Наиболее изучены правильные многогранники , из которых всего три в восьми измерениях : 8-симплекс , 8-куб и 8-ортоплекс . Более широкое семейство - это однородные 8-многогранники , построенные из областей фундаментальной симметрии отражения, каждая область определяется группой Кокстера . Каждый равномерный многогранник определяется окольцованной диаграммой Кокстера-Дынкина . 8-demicube является уникальным многогранник из D ₈ семьи и 4 ₂₁ , 2 ₄₁ , и1 ₄₂ многогранника из семейства E ₈ .

Правильные и однородные многогранники в восьми измерениях
(отображаются как ортогональные проекции в каждой плоскости симметрии Кокстера )

А 8			В 8						D 8
8-симплекс {3,3,3,3,3,3,3}			8-куб {4,3,3,3,3,3,3}			8-ортоплекс {3,3,3,3,3,3,4}			8-полукруглый ч {4,3,3,3,3,3,3}
E 8
4 21 {3,3,3,3,3 2,1 }				2 41 {3,3,3 4,1 }				1 42 {3,3 4,2 }

7-сфера [ править ]

7-сфера или гиперсфера в восьми измерений является семимерными поверхности равноудалена от точки, например , происхождения. Он имеет символ S ⁷ , с формальным определением для 7-сферы с радиусом г из

${\ Displaystyle S ^ {7} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {8}: \ | x \ | = r \ right \}.}$

Объем пространства, ограниченного этой 7-сферой, равен

${\ Displaystyle V_ {8} \, = {\ гидроразрыва {\ pi ^ {4}} {24}} \, R ^ {8}}$

что составляет 4,05871 × r ⁸ , или 0,01585 8-куба , содержащего 7-сферу.

Проблема с целующимися числами [ править ]

Проблема числа поцелуев была решена в восьми измерениях благодаря существованию многогранника 4 21 и связанной с ним решетки . Число поцелуев в восьми измерениях - 240 .

Octonions [ править ]

Октонионы - это нормированная алгебра с делением над действительными числами, самая большая такая алгебра. Математически они могут быть заданы 8-ми кортежами действительных чисел, поэтому формируют 8-мерное векторное пространство над действительными числами, причем добавление векторов является сложением в алгебре. Нормированная алгебра - это алгебра, произведение которой удовлетворяет

${\ Displaystyle \ | ху \ | \ leq \ | х \ | \ | у \ |}$

для всех x и y в алгебре. Нормированная алгебра с делением дополнительно должна быть конечномерной и обладать тем свойством, что каждый ненулевой вектор имеет уникальную мультипликативную обратную. Теорема Гурвица запрещает такой структуре существовать в измерениях, отличных от 1, 2, 4 или 8.

Бикватернионы [ править ]

Комплексифицированные кватернионы , или « бикватернионы », представляют собой восьмеричную алгебру, восходящую к работам Уильяма Роуэна Гамильтона 1850-х годов. Эта алгебра эквивалентна (то есть, изоморфно ) в алгебре Клиффорда и алгебры Паули . Он также был предложен в качестве практического или педагогического инструмента для выполнения вычислений в специальной теории относительности , и в этом контексте называется алгеброй физического пространства (не путать с алгеброй пространства-времени , которая является 16-мерной).${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C})}$

Ссылки [ править ]

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Кокстера , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивич Вайс, публикация Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 Wiley :: Калейдоскопы: Избранные Произведения HSM Coxeter
  • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Таблица наибольшего числа поцелуев, известная в настоящее время, составленная Габриэле Небе и Нилом Слоаном (нижние границы)
• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия , AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ). ( Обзор ).
• Дуплий , Стивен; Сигел , Уоррен; Баггер, Джонатан, ред. (2005), Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике , Берлин, Нью-Йорк: Springer , ISBN 978-1-4020-1338-6 (Вторая печать)