2  41 многогранник

4 21	1 42	2 41
Ректифицированный 4 21	Ректифицированный 1 42	Ректифицированный 2 41
Двунаправленный 4 21	Триректифицированный 4 21
Ортогональные проекции на плоскость Кокстера E 6

В 8-мерной геометрии , то 2 ₄₁ является однородным 8-многогранник , построенный в симметрии Е ₈ группы.

Его символ Кокстера - 2 ₄₁ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательностей с двумя узлами.

Выпрямляются 2 ₄₁ построены по точкам в середине краях - ₄₁ . Birectified 2 ₄₁ строится по точкам на треугольник лицевых центров - ₄₁ , и является таким же , как исправлено- ₄₂ .

Эти многогранники являются частью семейства из 255 (2 ⁸  - 1) выпуклых однородных многогранников в 8-мерном пространстве, состоящих из граней однородных многогранников , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

2 ₄₁ многогранник [ править ]

2 41 многогранник
Тип	Равномерный 8-многогранник
Семья	2 многогранник k1
Символ Шлефли	{3,3,3 4,1 }
Символ Кокстера	2 41
Диаграмма Кокстера
7 лиц	17520: 240 2 31 17280 {3 6 }
6 лиц	144960: 6720 2 21 138240 {3 5 }
5 лиц	544320: 60480 2 11 483840 {3 4 }
4-гранный	1209600: 241920 {2 01 967680 {3 3 }
Клетки	1209600 {3 2 }
Лица	483840 {3}
Края	69120
Вершины	2160
Фигура вершины	1 41
Многоугольник Петри	30-угольник
Группа Коксетера	E 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

- ₄₁ состоит из 17,520 граней (240 2 31 многогранников и 17280 7-симплексов ), 144,960 6-граней (6720 2 21 многогранников и 138,240 6-симплексов ), 544,320 5-граней (60480 2 11 и 483,840 5-симплексов ) , 1 209 600 4-граней ( 4-симплекса ), 1 209 600 ячеек ( тетраэдры ), 483 840 граней ( треугольники ), 69 120 ребер и 2160 вершин . Его фигура вершины -7-demicube .

Этот многогранник является фасетом в однородной тесселяции 2 51 с диаграммой Кокстера-Дынкина :

Альтернативные имена [ править ]

• EL Elte назвал его V ₂₁₆₀ (из-за 2160 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[1]
• Она названа 2 ₄₁ по Кокстеру для его бифурцирующего Кокстера-Дынкин, с одним кольцом на конце последовательности 2-узла.
• Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton ( Acronym Bay) - 240-17280 фасеточный полизеттон (Джонатан Бауэрс) ^[2]

Координаты [ править ]

2160 вершин можно определить следующим образом:

16 перестановок (± 4,0,0,0,0,0,0,0) из ( 8-ортоплекс )

1120 перестановок (± 2, ± 2, ± 2, ± 2,0,0,0,0) ( триректифицированный 8-ортоплекс )

1024 перестановки (± 3, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1) с нечетным количеством знаков минус

Строительство [ править ]

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина :.

Удаление узла на короткой ветви оставляет 7-симплекс :. Всего 17280 таких граней

Удаление узла на конце 4-х длинного ответвления оставляет 2 31 ,. Всего таких граней 240. Они центрированы в положениях 240 вершин многогранника 4 21 .

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает 7-полукуб , 1 ₄₁ ,.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . ^[3]

E 8		k -face	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3	ж 4		ж 5		ж 6		ж 7		k -фигура	заметки
Д 7		()	f 0	2160	64	672	2240	560	2240	280	1344	84	448	14	64	ч {4,3,3,3,3,3}	E 8 / D 7 = 192 * 10! / 64/7! = 2160
А 6 А 1		{}	f 1	2	69120	21 год	105	35 год	140	35 год	105	21 год	42	7	7	г {3,3,3,3,3}	E 8 / A 6 A 1 = 192 * 10! / 7! / 2 = 69120
А 4 А 2 А 1		{3}	ж 2	3	3	483840	10	5	20	10	20	10	10	5	2	{} x {3,3,3}	E 8 / A 4 A 2 A 1 = 192 * 10! / 5! / 3! / 2 = 483840
А 3 А 3		{3,3}	ж 3	4	6	4	1209600	1	4	4	6	6	4	4	1	{3,3} V ()	E 8 / A 3 A 3 = 192 * 10! / 4! / 4! = 1209600
А 4 А 3		{3,3,3}	ж 4	5	10	10	5	241920	*	4	0	6	0	4	0	{3,3}	E 8 / A 4 A 3 = 192 * 10! / 5! / 4! = 241920
А 4 А 2				5	10	10	5	*	967680	1	3	3	3	3	1	{3} V ()	E 8 / A 4 A 2 = 192 * 10! / 5! / 3! = 967680
D 5 A 2		{3,3,3 1,1 }	ж 5	10	40	80	80	16	16	60480	*	3	0	3	0	{3}	E 8 / D 5 A 2 = 192 * 10! / 16/5! / 2 = 40480
А 5 А 1		{3,3,3,3}		6	15	20	15	0	6	*	483840	1	2	2	1	{} V ()	E 8 / A 5 A 1 = 192 * 10! / 6! / 2 = 483840
E 6 A 1		{3,3,3 2,1 }	ж 6	27	216	720	1080	216	432	27	72	6720	*	2	0	{}	E 8 / E 6 A 1 = 192 * 10! / 72/6! = 6720
А 6		{3,3,3,3,3}		7	21 год	35 год	35 год	0	21 год	0	7	*	138240	1	1		E 8 / A 6 = 192 * 10! / 7! = 138240
E 7		{3,3,3 3,1 }	ж 7	126	2016 г.	10080	20160	4032	12096	756	4032	56	576	240	*	()	E 8 / E 7 = 192 * 10! / 72! / 8! = 240
А 7		{3,3,3,3,3,3}		8	28 год	56	70	0	56	0	28 год	0	8	*	17280		E 8 / A 7 = 192 * 10! / 8! = 17280

Изображения [ редактировать ]

Проекции многоугольника Петри могут быть 12-, 18- или 30-сторонними в зависимости от симметрии E6, E7 и E8. Отображаются все 2160 вершин, но формы с более низкой симметрией имеют перекрывающиеся проецируемые положения, показанные в виде вершин разного цвета. Для сравнения также показана группа коксетера B6.

Связанные многогранники и соты [ править ]

2 k 1 фигур в n размерах
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е 3 = А 2 А 1	Е 4 = А 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Заказ	12	120	384	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	2 −1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

Выпрямленный многогранник 2_41 [ править ]

Выпрямленный многогранник 2 41
Тип	Равномерный 8-многогранник
Символ Шлефли	т 1 {3,3,3 4,1 }
Символ Кокстера	т 1 (2 41 )
Диаграмма Кокстера
7 лиц	19680 Всего: 240 т 1 (2 21 ) 17280 т 1 {3 6 } 2160 1 41
6 лиц	313440
5 лиц	1693440
4-гранный	4717440
Клетки	7257600
Лица	5322240
Края	19680
Вершины	69120
Фигура вершины	выпрямленная 6-симплексная призма
Многоугольник Петри	30-угольник
Группа Коксетера	E 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

Выпрямляется 2 ₄₁ является устранение из 2 ₄₁ многогранника, с вершинами , расположенными в середине ребер 2 ₄₁ .

Альтернативные имена [ править ]

• Ректифицированный Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton для ректифицированного 240-17280 фасетного полизетона (сокращенно robay) ^{[4] [5]}

Строительство [ править ]

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве, определяемых корневыми векторами группы E 8 Coxeter .

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина :.

Удаление узла на короткой ветви оставляет выпрямленный 7-симплекс :.

Удаление узла на конце 4-х длинного ответвления оставляет выпрямленный 2 31 ,.

При удалении узла на конце 2-длины ветви остается 7-полукуб , 1 ₄₁.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает выпрямленную 6-симплексную призму,.

Визуализации [ править ]

Проекции многоугольника Петри могут быть 12-, 18- или 30-сторонними в зависимости от симметрии E6, E7 и E8. Отображаются все 2160 вершин, но формы с более низкой симметрией имеют перекрывающиеся проецируемые положения, показанные в виде вершин разного цвета. Для сравнения также показана группа коксетера B6.

См. Также [ править ]

• Список многогранников E8

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Элте, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Клитцинг, Ричард. «8D Равномерная полизетта» . x3o3o3o * c3o3o3o3o - залив, o3x3o3o * c3o3o3o3o - robay