В геометрии , что показатели Госсет-ELTE , названный Кокстер после Торолд Госсет и EL ELTE , представляют собой группа однородных многогранников , которые не являются регулярными , порожденным построением визофф с зеркалами все связанные с приказом-2 и порядок-3 двугранных углами. Их можно рассматривать как односторонние кольцевые диаграммы Кокстера – Дынкина .
Символ Кокстера на этих рисунках имеет форму k i, j , где каждая буква представляет длину ветвей порядка 3 на диаграмме Кокстера – Дынкина с одним кольцом на конечном узле последовательности ветвей длины k . Вершина фигуры из к I, J представляет собой ( к - 1) I, J , и каждый из его граней представлены путем вычитания одного из одного из ненулевых индексов, т.е. K я - 1, J и K I , J - 1 . [1]
Ректифицированные симплексы включены в список как предельные случаи с k = 0. Аналогично 0 i, j, k представляет собой раздвоенный граф с окольцованным центральным узлом.
История [ править ]
Кокстер сокращенно назвал эти цифры как k i, j (или k ij ) и отдал должное их открытию Госсету и Элте: [2]
- Торольд Госсет впервые опубликовал список правильных и полурегулярных фигур в пространстве n измерений [3] в 1900 году, перечислив многогранники с одним или несколькими типами правильных граней многогранников . Это включало выпрямленное 5- ячеечное 0 21 в 4-м пространстве, демипентаграмму 1 21 в 5-м пространстве, 2 21 в 6-м пространстве, 3 21 в 7-м пространстве, 4 21 в 8-м пространстве и 5 21 бесконечную мозаику в 8 -м пространстве. -космос.
- EL Elte независимо перечислил другой полурегулярный список в своей книге 1912 года «Полурегулярные многогранники гиперпространств» . [4] Он назвал их полуправильными многогранниками первого рода , ограничив свой поиск одним или двумя типами регулярных или полуправильных k-граней.
Перечисление Элте включало все многогранники k ij, кроме 1 42, который имеет 3 типа 6-граней.
Набор фигур продолжается в соты семейств (2,2,2), (3,3,1) и (5,4,1) в 6,7,8-мерных евклидовых пространствах соответственно. Список Госсета включал соты 5 21 как единственные полуправильные соты в его определении.
Определение [ править ]
Многогранники и соты этого семейства можно увидеть в классификации ADE .
Конечный многогранник k ij существует, если
или равно для евклидовых сот и меньше для гиперболических сот.
Группа Кокстера [3 i, j, k ] может генерировать до 3 уникальных однородных фигур Госсета – Элте с диаграммами Кокстера – Дынкина с одним окольцованным конечным узлом. Согласно обозначениям Кокстера , каждый рисунок представлен как k ij, что означает, что конечный узел в последовательности длиной k окольцован.
Симплекс семейства можно рассматривать как предельный случай с к = 0, и всему выпрямленному (один-кольцу) Кокстер-Дынкин.
A-семейство [3 n ] (выпрямленные симплексы ) [ править ]
Семейство n - симплексов содержит фигуры Госсета – Элте вида 0 ij как все выпрямленные формы n -симплекса ( i + j = n - 1).
Они перечислены ниже вместе с их диаграммой Кокстера – Дынкина , где каждое размерное семейство нарисовано как графическая ортогональная проекция на плоскость многоугольника Петри регулярного симплекса.
| Группа Коксетера | Симплекс | Исправленный | Биректифицированный | Триректифицированный | Квадриректифицированный |
|---|---|---|---|---|---|
| A 1 [3 0 ] |  = 0 00 | ||||
| A 2 [3 1 ] |   = 0 10 | ||||
| A 3 [3 2 ] | = 0 20 |   = 0 11 | |||
| A 4 [3 3 ] | = 0 30 |   = 0 21 | |||
| A 5 [3 4 ] | = 0 40 | = 0 31 |  = 0 22 | ||
| A 6 [3 5 ] | = 0 50 | = 0 41 | = 0 32 | ||
| A 7 [3 6 ] | = 0 60 | = 0 51 | = 0 42 | = 0 33 | |
| A 8 [3 7 ] | = 0 70 | = 0 61 | = 0 52 | = 0 43 | |
| A 9 [3 8 ] | = 0 80 | = 0 71 | = 0 62 | = 0 53 | = 0 44 |
| A 10 [3 9 ] | = 0 90 | = 0 81 | = 0 72 | = 0 63 | = 0 54 |
| ... | ... | ||||
D-семейство [3 n −3,1,1 ] полугиперкуб [ править ]
Каждая Д п группа имеет две цифры Госсеты-ELTE, тем п - demihypercube как 1 k1 , а также чередовалась форма п - orthoplex , K 11 , построенная с чередующимися симплексными гранями. Выпрямленный п - demihypercubes , низшая форма симметрия birectified п -куба, также могут быть представлены в виде 0 k11 .
| Класс | Демигиперкубы | Ортоплексы (обычные) | Ректифицированные демикубы |
|---|---|---|---|
| D 3 [3 1,1,0 ] |    = 1 10 |   = 0 110 | |
| D 4 [3 1,1,1 ] | = 1 11 | = 0 111 | |
| D 5 [3 2,1,1 ] | = 1 21 | = 2 11 | = 0 211 |
| D 6 [3 3,1,1 ] | = 1 31 | = 3 11 | = 0 311 |
| D 7 [3 4,1,1 ] | = 1 41 | = 4 11 | = 0 411 |
| D 8 [3 5,1,1 ] | = 1 51 | = 5 11 | = 0 511 |
| D 9 [3 6,1,1 ] | = 1 61 | = 6 11 | = 0 611 |
| D 10 [3 7,1,1 ] | = 1 71 | = 7 11 | = 0 711 |
| ... | ... | ... | |
| D n [3 n −3,1,1 ] | ...= 1 п −3,1 | ...= ( п −3) 11 | ...= 0 п −3,1,1 |
E п семья [3 п -4,2,1 ] [ править ]
Каждая группа E n от 4 до 8 имеет две или три фигуры Госсета – Элте, представленные одним из оконечных узлов, обведенных в кольцо: k 21 , 1 k2 , 2 k1 . Выпрямленная серия 1 к2 также может быть представлена как 0 к21 .
| 2 к1 | 1 к2 | к 21 | 0 к21 | |
|---|---|---|---|---|
| E 4 [3 0,2,1 ] | = 2 01 |  = 1 20 | = 0 21 | |
| E 5 [3 1,2,1 ] | = 2 11 |  = 1 21 | = 1 21 | = 0 211 |
| E 6 [3 2,2,1 ] | = 2 21 | = 1 22 | = 2 21 | = 0 221 |
| E 7 [3 3,2,1 ] | = 2 31 | = 1 32 | = 3 21 | = 0 321 |
| E 8 [3 4,2,1 ] | = 2 41 | = 1 42 | = 4 21 | = 0 421 |
Евклидовы и гиперболические соты [ править ]
Есть три евклидовых ( аффинных ) группы Кокстера в размерностях 6, 7 и 8: [5]
| Группа Коксетера | Соты | |||
|---|---|---|---|---|
| = [3 2,2,2 ] |  = 2 22 | = 0 222 | ||
| = [3 3,3,1 ] |  = 3 31 | = 1 33 | = 0 331 | |
| = [3 5,2,1 ] | = 2 51 | = 1 52 | = 5 21 | = 0 521 |
Существуют три гиперболические ( паракомпактные ) группы Кокстера в размерностях 7, 8 и 9:
| Группа Коксетера | Соты | |||
|---|---|---|---|---|
| = [3 3,2,2 ] | = 3 22 | = 2 32 | = 0 322 | |
| = [3 4,3,1 ] | = 4 31 | = 3 41 | = 1 43 | = 0 431 |
| = [3 6,2,1 ] | = 2 61 | = 1 62 | = 6 21 | = 0 621 |
В качестве обобщения с помощью этого символа можно также выразить несколько ветвей порядка 3. 4-мерная аффинная группа Коксетера , [3 1,1,1,1 ], имеют четыре порядка 3-ветви, и могут выражать один соты, 1 111 ,
, представляет собой 16-элементную сотовую структуру с более низкой симметрией , а 0 1111 ,для выпрямленных 16-ячеечных сот . 5-мерная гиперболическая группа Кокстера , [3 1,1,1,1,1 ], имеет пять порядок-3 ветви, и может экспрессировать один соты, 1 1111 ,и его исправление как 0 11111 ,.
Заметки [ править ]
- ^ Косетер 1973, p.201
- Перейти ↑ Coxeter, 1973, p. 210 (11.x Исторические заметки)
- ↑ Госсет, 1900 г.
- ^ ELElte, 1912
- ^ Косетер 1973, pp.202-204, 11.8 цифры Госсет через шесть, семь, восемь и размеров.
Ссылки [ править ]
- Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . 29 : 43–48.
- Элте, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена, ISBN 1-4181-7968-X [1] [2]
- Coxeter, HSM (3-е издание, 1973) Regular Polytopes , Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
