2 21 многогранник

ортогональные проекции в плоскости Кокстера E ₆
2 ₂₁	Ректифицированный 2 ₂₁
( 1 ₂₂ )	Биректифицированный 2 ₂₁ ( выпрямленный 1 ₂₂ )

В 6-мерной геометрии , то 2 ₂₁ многогранник является однородным 6-многогранник , построенный в симметрии Е ₆ группы. Это было обнаружено Торольдом Госсетом , опубликованным в его статье 1900 года. Он назвал это 6-м полурегулярной фигурой . ^[1] Его также называют многогранником Шлефли .

Его символ Кокстера - 2 ₂₁ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце одной из последовательностей с двумя узлами. Он также изучил ^[2] его связь с 27 прямыми на кубической поверхности , которые, естественно, соответствуют вершинам 2 ₂₁ .

Выпрямляются 2 ₂₁ построены по точкам в середине краях - ₂₁ . Birectified 2 ₂₁ строится по точкам на треугольник лицевых центров - ₂₁ , и является таким же , как выпрямленным 1 ₂₂ .

Эти многогранники являются частью семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном пространстве , состоящих из граней однородных 5-многогранников и вершинных фигур , определенных всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

2_21 многогранник [ править ]

2 ₂₁ многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Семья	k ₂₁ многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3 ^2,1 }
Символ Кокстера	2 ₂₁
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	99 всего: 27 2 ₁₁ 72 {3 4 }
4-гранный	648: 432 {3 3 } 216 {3 3 }
Клетки	1080 {3,3}
Лица	720 {3}
Края	216
Вершины	27
Фигура вершины	1 ₂₁ ( 5-полукруглый )
Многоугольник Петри	Додекагон
Группа Коксетера	E 6 , [3 ^2,2,1 ], заказ 51840
Характеристики	выпуклый

У 2 ₂₁ 27 вершин и 99 граней: 27 5-ортоплексов и 72 5-симплексов . Его вершина представляет собой 5-полукуб .

Для визуализации этот 6-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортогональном направлении проекции, которое соответствует его 27 вершинам внутри 12-угольного правильного многоугольника (называемого многоугольником Петри ). Его 216 ребер нарисованы между 2 кольцами по 12 вершин, а 3 вершины проецируются в центр. На этой проекции также можно извлекать и рисовать более высокие элементы (грани, ячейки и т. Д.).

Граф Шлефли является 1-скелетом этого многогранника.

Альтернативные имена [ править ]

EL Elte назвал его V ₂₇ (из-за его 27 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[3]
Icosihepta-heptacontidi-peton - полипетон с гранями 27-72 (аббревиатура jak) (Джонатан Бауэрс) ^[4]

Координаты [ править ]

27 вершин могут быть представлены в пространстве 8 как фигура-ребро многогранника 4 21 :

(-2,0,0,0, -2,0,0,0), (0, -2,0,0, -2,0,0,0), (0,0, -2,0, -2,0,0,0), (0,0,0, -2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0, -2), (0,0,0,0,0, -2, -2,0)
(2,0,0,0, -2,0,0,0), (0,2,0,0, -2,0,0,0), (0,0,2,0, -2, 0,0,0), (0,0,0,2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0,2)
(-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1), (-1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1), (- 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1 , -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1) (1, 1, -1, -1 , -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1, 1, -1, -1 , -1, 1) (1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1) (1 , 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1)

Строительство [ править ]

Его конструкция основана на группе E 6 .

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на короткой ветви оставляет 5-симплекс ,.

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 5-ортоплекс в его альтернативной форме: ( 2 ₁₁ ),.

Каждая симплексная грань касается 5-ортоплексной грани, в то время как альтернативные грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает 5-полукуб (1 ₂₁ многогранник),. Ребро-фигура - это фигура вершины вершинной фигуры, выпрямленной 5-ячейки , (0 ₂₁ многогранник),.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено из групповых заказов Кокстера . ^[5]

E ₆	к-лицо	f _k	f ₀	f ₁	ж ₂	ж ₃	ж ₄		ж ₅		k -фигура	Примечания
D ₅	()	f ₀	27	16	80	160	80	40	16	10	ч {4,3,3,3}	E ₆ / D ₅ = 51840/1920 = 27
А ₄ А ₁	{}	f ₁	2	216	10	30	20	10	5	5	г {3,3,3}	E ₆ / A ₄ A ₁ = 51840/120/2 = 216
А ₂ А ₂ А ₁	{3}	ж ₂	3	3	720	6	6	3	2	3	{3} x {}	E ₆ / A ₂ A ₂ A ₁ = 51840/6/6/2 = 720
А ₃ А ₁	{3,3}	ж ₃	4	6	4	1080	2	1	1	2	{} v ()	E ₆ / A ₃ A ₁ = 51840/24/2 = 1080
А ₄	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	432	*	1	1	{}	E ₆ / A ₄ = 51840/120 = 432
А ₄ А ₁	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	*	216	0	2	{}	E ₆ / A ₄ A ₁ = 51840/120/2 = 216
А ₅	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	15	6	0	72	*	()	E ₆ / A ₅ = 51840/720 = 72
D ₅	{3,3,3,4}	ж ₅	10	40	80	80	16	16	*	27	()	E ₆ / D ₅ = 51840/1920 = 27

Изображения [ редактировать ]

Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый. В скобках указано количество вершин по цвету.

Ортографические проекции плоскости Кокстера
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,3)	(1,3)	(3,9)	(1,3)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

Геометрическое складывание [ править ]

2 ₂₁ связан с 24-клеток с помощью геометрической складывания из Е6 / F4 диаграмм Кокстера-Дынкина . Это видно в проекциях на плоскость Кокстера . 24 вершины 24-ячейки проецируются в те же два кольца, что и в 2 ₂₁ .

E ₆	П ₄
2 ₂₁	24-элементный

Этот многогранник может Tessellate евклидово 6-пространства, образуя 2 22 сот с этой диаграммой Кокстера-Дынкин:.

Связанные сложные многогранники [ править ]

Регулярный комплекс многоугольника ₃ {3} ₃ {3} ₃ ,, in имеет вещественное представление в виде многогранника 2 ₂₁ , ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ , в 4-мерном пространстве. Его называют гессенским многогранником в честь Эдмунда Гесса . У него 27 вершин, 72 3-ребра и 27 3 {3} 3 грани. Его комплексная группа отражений является ₃ [3] ₃ [3] ₃ , порядок 648.

Связанные многогранники [ править ]

2 ₂₁ является четвертым в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный равномерный многогранник строится вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильных многогранников , включая все симплексы и ортоплексы .

k 21 фигурка в n мерном
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
E n	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е ₃ = А ₂ А ₁	Е ₄ = А ₄	E ₅ = D ₅	E 6	E 7	E 8	E ₉ = = E ₈⁺ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
Заказ	12	120	1,920	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	−1 21	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21

Многогранник 2 ₂₁ является четвертым в размерной серии 2 _k2 .

2 k 1 фигур в n размерах
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е ₃ = А ₂ А ₁	Е ₄ = А ₄	E ₅ = D ₅	E 6	E 7	E 8	E ₉ = = E ₈⁺ ${\tilde {E}}_{8}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[[3 ^1,2,1 ]]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
Заказ	12	120	384	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	2 −1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

Многогранник 2 ₂₁ является вторым в размерной серии 2 _2k .

2 _2k фигур n размеров
Космос	Конечный			Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8
Группа Коксетера	А ₂ А ₂	А ₅	E ₆	${\tilde {E}}_{6}$ = E ₆⁺	E ₆⁺⁺
Диаграмма Кокстера
График				∞	∞
Имя	2 2, -1	2 20	2 21	2 22	2 23

Выпрямленный многогранник 2_21 [ править ]

Выпрямленный многогранник 2 ₂₁
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	т ₁ {3,3,3 ^2,1 }
Символ Кокстера	т ₁ (2 ₂₁ )
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	126 всего: 72 т 1 {3 4 } 27 т 1 {3 3 , 4} 27 т 1 {3,3 2,1 }
4-гранный	1350
Клетки	4320
Лица	5040
Края	2160
Вершины	216
Фигура вершины	выпрямленная 5-элементная призма
Группа Коксетера	E 6 , [3 ^2,2,1 ], заказ 51840
Характеристики	выпуклый

Выпрямляется 2 ₂₁ 216 вершин, и 126 граней: 72 исправлены 5-симплексов , и 27 исправлены 5-orthoplexes и 27 5-demicubes . Его вершинная фигура представляет собой выпрямленную 5-элементную призму.

Альтернативные имена [ править ]

Ректифицированный икосигепта-гептаконтиди-петон в виде ректифицированного полипетона с 27-72 гранями (аббревиатура rojak) (Джонатан Бауэрс) ^[6]

Строительство [ править ]

Его построение основано на группе E 6, и информацию можно извлечь из окольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник:.

Удаление кольца на короткой ветке оставляет выпрямленный 5-симплекс ,.

Удаление кольца на конце другой 2-длины ветви оставляет выпрямленный 5-ортоплекс в его альтернированной форме: t ₁ (2 ₁₁ ) ,.

При удалении кольца на конце той же 2-длины ветки остается 5-полукуб : (1 ₂₁ ) ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого кольца и звона соседнего кольца. Это делает выпрямленную 5-элементную призму, t ₁ {3,3,3} x {},.

Изображения [ редактировать ]

Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

Ортографические проекции плоскости Кокстера
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]

A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

Усеченный многогранник 2_21 [ править ]

Усеченный многогранник 2 ₂₁
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	т {3,3,3 ^2,1 }
Символ Кокстера	т (2 ₂₁ )
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	72 + 27 + 27
4-гранный	432 + 216 + 432 + 270
Клетки	1080 + 2160 + 1080
Лица	720 + 4320
Края	216 + 2160
Вершины	432
Фигура вершины	() vr {3,3,3}
Группа Коксетера	E 6 , [3 ^2,2,1 ], заказ 51840
Характеристики	выпуклый

Усечен 2 ₂₁ имеет 432 вершин, 5040 ребер, 4320 лица, 1350 клеток, и 126 4-граней. Его вершина представляет собой выпрямленную 5-элементную пирамиду.

Изображения [ редактировать ]

Вершины в этой проекции раскрашены по своему количеству в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

Ортографические проекции плоскости Кокстера
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]

A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

См. Также [ править ]

Список многогранников E6

Заметки [ править ]

↑ Госсет, 1900 г.
^ Косетер, HSM (1940). «Многогранник 2 _21, двадцать семь вершин которого соответствуют линиям на общей кубической поверхности». Амер. J. Math . 62 (1): 457–486. DOI : 10.2307 / 2371466 . JSTOR 2371466 .
^ Elte, 1912
^ Клитцинг, (x3o3o3o3o * c3o - jak)
^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсета в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
^ Клитцинг, (o3x3o3o3o * c3o - rojak)

Ссылки [ править ]

Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] См. Рисунок 1: (стр. 232) (Узловой граф многогранника)
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . x3o3o3o3o * c3o - jak, o3x3o3o3o * c3o - роджак

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А п	B n	I ₂ (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 к2 • 2 к1 • к 21	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] Госсет, 1900 г.

[2] Косетер, HSM (1940). «Многогранник 2 _21, двадцать семь вершин которого соответствуют линиям на общей кубической поверхности». Амер. J. Math . 62 (1): 457–486. DOI : 10.2307 / 2371466 . JSTOR 2371466 .

[3] Elte, 1912

[4] Клитцинг, (x3o3o3o3o * c3o - jak)

[5] Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсета в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203

[6] Клитцинг, (o3x3o3o3o * c3o - rojak)

[1]