Равномерный 6-многогранник

Графы трех правильных и связанных однородных многогранников

6-симплекс				Усеченный 6-симплексный				Ректифицированный 6-симплексный
Сквозной 6-симплексный						Ранцинированный 6-симплексный
Стерилизованный 6-симплексный						Пятисторонний 6-симплексный
6-ортоплекс				Усеченный 6-ортоплекс				Ректифицированный 6-ортоплекс
Сквозной 6-ортоплекс				Ранцинированный 6-ортоплекс				Стерилизованный 6-ортоплекс
Скошенный 6-куб						Бегущий 6-куб
Стерилизованный 6 кубов						Пятиугольный 6-куб
6-куб				Усеченный 6-куб				Ректифицированный 6-куб
6-полукуб				Усеченный 6-полукуб				Сквозной 6-полукуб
Runcinated 6-demicube						Стерилизованный 6-сегментный
2 21						1 22
Усеченный 2 21						Усеченный 1 22

В шестимерной геометрии , A равномерная polypeton ^{[1] [2]} (или равномерный 6-многогранник ) является шестимерным равномерным многогранником . Равномерный полипетон является вершинно-транзитивным , а все грани являются однородными 5-многогранниками .

Полный набор выпуклых однородных полипет не определен, но большинство из них могут быть построены как конструкции Уитхоффа из небольшого набора групп симметрии . Эти строительные работы, представлены перестановками из колец этих диаграмм Кокстера-Дынкин . Каждая комбинация хотя бы одного кольца на каждой связанной группе узлов на диаграмме дает равномерный 6-многогранник.

Простейшие однородные полипеты - это правильные многогранники : 6-симплекс {3,3,3,3,3}, 6-куб (гексеракт) {4,3,3,3,3} и 6-ортоплекс (гексакросс ) {3,3,3,3,4}.

История открытия [ править ]

• Правильные многогранники : (выпуклые грани)
  • 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописи Theorie der vielfachen Kontinuität, что существует ровно 3 правильных многогранника в 5 или более измерениях .
• Выпуклые полуправильные многогранники : (Различные определения до равномерной категории Кокстера )
  • 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными гранями (выпуклые правильные многогранники) в своей публикации « О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений» . ^[3]
• Выпуклые равномерные многогранники :
  • 1940 : Поиск был систематически расширен HSM Coxeter в его публикации Regular and Semi-Regular Polytopes .
• Нерегулярные однородные звездные многогранники : (аналогично невыпуклым однородным многогранникам )
  • Текущее : известны тысячи невыпуклых однородных полипет, но большинство из них не опубликованы. Предполагается, что список не является полным, и нет никакой оценки того, как долго будет полный список, хотя в настоящее время известно более 10000 выпуклых и невыпуклых однородных полипет, в частности 923 с 6-симплексной симметрией. В число участвующих исследователей входят Джонатан Бауэрс , Ричард Клитцинг и Норман Джонсон . ^[4]

Равномерные 6-многогранники по фундаментальным группам Кокстера [ править ]

Равномерные 6-многогранники с отражающей симметрией могут быть порождены этими четырьмя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина .

Есть четыре фундаментальные группы отражающей симметрии, которые порождают 153 уникальных однородных 6-многогранников.

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	А 6	[3,3,3,3,3]
2	В 6	[3,3,3,3,4]
3	D 6	[3,3,3,3 1,1 ]
4	E 6	[3 2,2,1 ]
		[3,3 2,2 ]

Однородные призматические семейства [ править ]

Равномерная призма

Есть 6 категориальных однородных призм, основанных на однородных 5-многогранниках .

#	Группа Кокстера			Примечания
1	А 5 А 1	[3,3,3,3,2]		Семейство призм на основе 5-симплекса
2	В 5 А 1	[4,3,3,3,2]		Семейство призм на основе 5-куба
3а	D 5 A 1	[3 2,1,1 , 2]		Семейство призм на основе 5-полукуба

#	Группа Кокстера			Примечания
4	A 3 I 2 (p) A 1	[3,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе тетраэдрических -p-угольных дуопризм
5	В 3 И 2 (п) А 1	[4,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе кубических -p-угольных дуопризм
6	H 3 I 2 (p) A 1	[5,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе додекаэдрических -p-угольных дуопризм

Равномерная дуопризма

Существует 11 категориальных однородных дуопризматических семейств многогранников, основанных на декартовых произведениях однородных многогранников меньшей размерности. Пять образованы как продукт однородного 4-многогранника с правильным многоугольником , а шесть образованы произведением двух однородных многогранников :

#	Группа Кокстера			Примечания
1	A 4 I 2 (p)	[3,3,3,2, p]		Семейство на основе 5-клеточных -p-гональных дуопризм.
2	В 4 И 2 (р)	[4,3,3,2, p]		Семейство на основе тессеракт -п-гональных дуопризм.
3	F 4 I 2 (p)	[3,4,3,2, п]		Семейство на основе 24-клеточной -p-гональной дуопризмы.
4	H 4 I 2 (p)	[5,3,3,2, p]		Семейство на основе 120-клеточных -p-гональных дуопризм.
5	D 4 I 2 (p)	[3 1,1,1 , 2, p]		Семейство на основе димитессеракта -p-гональных дуопризм.

#	Группа Кокстера			Примечания
6	А 3 2	[3,3,2,3,3]		Семейство на основе тетраэдрических дуопризм.
7	А 3 В 3	[3,3,2,4,3]		Семейство на основе тетраэдрических - кубических дуопризм.
8	А 3 Н 3	[3,3,2,5,3]		Семья на основе тетраэдрических - додекаэдрических duoprisms.
9	В 3 2	[4,3,2,4,3]		Семья на основе кубических дуопризм.
10	В 3 Н 3	[4,3,2,5,3]		Семья на основе кубических - додекаэдрических duoprisms.
11	H 3 2	[5,3,2,5,3]		Семья на основе додекаэдрических дуопризм.

Равномерная триапризма

Существует одно бесконечное семейство равномерных триапризматических семейств многогранников, построенных как декартовы произведения трех правильных многоугольников. Каждая комбинация хотя бы одного кольца на каждой связной группе дает однородный призматический 6-многогранник.

#	Группа Кокстера			Примечания
1	I 2 (p) I 2 (q) I 2 (r)	[p, 2, q, 2, r]		Семейство на основе p, q, r-угольных трипризм

Перечисление выпуклых равномерных 6-многогранников [ править ]

• Семейство симплексных : A ₆ [3 ⁴ ] -
  • 35 равномерных 6-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, включая один регулярный:
    1. {3 ⁴ } - 6-симплекс -
• Семейство гиперкубов / ортоплексов : B ₆ [4,3 ⁴ ] -
  • 63 равномерных 6-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, включая две регулярные формы:
    1. {4,3 ³ } - 6-кубик (шестигранник) -
    2. {3 ³ , 4} - 6-ортоплекс , (гексакросс) -
• Семейство Demihypercube D ₆ : [3 ^3,1,1 ] -
  • 47 равномерных 6-многогранников (16 уникальных) как перестановки колец в групповой диаграмме, в том числе:
    1. {3,3 ^2,1 }, 1 ₂₁ 6-полукруглый (полусухой) -; также как h {4,3 ³ },
    2. {3,3,3 ^1,1 }, 2 ₁₁ 6-ортоплекс -, полусимметричная форма .
• Семья E 6 : [3 ^3,1,1 ] -
  • 39 равномерных 6-многогранников (16 уникальных) как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе:
    1. {3,3,3 ^2,1 }, 2 21 -
    2. {3,3 ^2,2 }, 1 22 -

Эти фундаментальные семейства порождают 153 непризматических выпуклых однородных полипета.

Кроме того, существует 105 конструкций однородных 6-многогранников на основе призм однородных 5-многогранников : [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [5,3, 3,3,2], [3 ^2,1,1 , 2].

Кроме того, существует бесконечно много равномерных 6-многогранников, основанных на:

1. Семейства двойных призм: [3,3,2, p, 2], [4,3,2, p, 2], [5,3,2, p, 2].
2. Семейства дуопризм: [3,3,3,2, p], [4,3,3,2, p], [5,3,3,2, p].
3. Семейство триапризмы: [p, 2, q, 2, r].

Аналого ₆ семьи [ править ]

Существует 32 + 4−1 = 35 форм, полученных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина . Все 35 перечислены ниже. Они названы Норманом Джонсоном из операций по построению Wythoff на обычном 6-симплексе (гептапетон). Названия акронимов в стиле Bowers приведены в скобках для перекрестных ссылок.

Семейство A ₆ имеет симметрию порядка 5040 (7 факториал ).

Координаты равномерных 6-многогранников с 6-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 7-пространстве, все в гиперплоскостях с вектором нормали (1,1,1,1,1,1,1).

#	Кокстер-Дынкин	Система имен Johnson Имя Bowers и (аббревиатура)	Базовая точка	Количество элементов
				5	4	3	2	1	0
1		6-симплексный гептапетон (хмель)	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21 год	35 год	35 год	21 год	7
2		Ректифицированный 6-симплексный ректифицированный гептапетон (рил)	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21 год
3		Усеченный 6-симплексный усеченный гептапетон (til)	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		Биректифицированный 6-симплексный биректифицированный гептапетон (брил)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35 год
5		Сквозной 6-симплексный малый ромбовидный гептапетон (sril)	(0,0,0,0,1,1,2)	35 год	210	560	805	525	105
6		Bitruncated 6-симплексный битрорезанный гептапетон (batal)	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		Cantitruncated 6-симплекс большой ромбовидный гептапетон (gril)	(0,0,0,0,1,2,3)	35 год	210	560	805	630	210
8		Ранцинированный 6-симплексный мелкопризматический гептапетон (спил)	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		Бикантеллированный 6-симплексный малый биомбированный гептапетон (сабрил)	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		Усеченный 6-симплексный призматический гептапетон (патал)	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820 г.	2800	1890 г.	420
11		Тритусеченный 6-симплексный тетрадекапетон (fe)	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		Гептапетон (прил) с ранциантеллированной 6-симплексной призмой	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960 г.	1470	420
13		Бикантитусеченный 6-симплексный большой биомбированный гептапетон (габрил)	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		Рунцикантитусеченный 6-симплексный большой призматический гептапетон (гапил)	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820 г.	3010	2520	840
15		Стерифицированный 6-симплексный гептапетон (скальп)	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		Бирунцинированный 6-симплексный малый бипризмато-тетрадекапетон (сибпоф)	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		Стеритоусеченный 6-симплексный гептапетон (катал)	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		Стерикантеллированный 6-симплексный гептапетон (крал)	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		Бирунциркулированный 6-симплексный бипризматический гептапетон (баприл)	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		Стерикантитусеченный 6-симплексный клеточный анатомический гептапетон (каграл)	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21 год		Стерирунцинированный 6-симплексный целлипризмированный гептапетон (копал)	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995 г.	2660	1680	420
22		Стерино-усеченная 6-симплексная клеткапризматотрезанный гептапетон (каптал)	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		Стерируксантеллированный 6-симплексный клеточный призматор, комбинированный гептапетон (коприл)	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		Бирунникантитусеченный 6-симплексный большой бипризмато-тетрадекапетон (гибпоф)	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		Steriruncicantitruncated 6-simplex great cellated heptapeton (gacal)	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		Пентеллированный 6-симплексный малый тери-тетрадекапетон (посох)	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		Пентусеченный 6-симплексный терацеллированный гептапетон (токал)	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820 г.	945	210
28		Пентикантеллированный 6-симплексный терипризматический гептапетон (топал)	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		Пентикантоусеченный 6-симплексный теригреат или гомомбированный гептапетон (тограл)	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		Пятирукорезанный усеченный 6-симплексный терицелл, гомомбированный гептапетон (токрал)	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31 год		Пентирунцианателлитный 6-симплексный терипризматор гомби-тетрадекапетон (тапорф)	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		Пентирунникантитусеченный 6-симплексный теригреатопризматический гептапетон (тагопал)	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		Пентистеритусеченный 6-симплексный терицеллитрунки-тетрадекапетон (тактаф)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		Пентистерикантитусеченный 6-симплексный терицеллигреат или гомомбированный гептапетон (такограл)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35 год		Омнитусеченный 6-симплексный великий тери-тетрадекапетон (готаф)	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806 г.	8400	16800	15120	5040

B ₆ семьи [ править ]

Существует 63 формы, основанные на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.

Семейство B ₆ имеет симметрию порядка 46080 (6 факториалов x 2 ⁶ ).

Они названы Норманом Джонсоном из компании Wythoff по строительству правильного 6-куба и 6-ортоплекса. Имена Bowers и аббревиатуры даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера-Дынкина	Символ Шлефли	Имена	Количество элементов
				5	4	3	2	1	0
36		т 0 {3,3,3,3,4}	6-ортоплекс Hexacontatetrapeton (гы)	64	192	240	160	60	12
37		т 1 {3,3,3,3,4}	Ректифицированный 6-ортоплекс Ректифицированный гексаконатетрапетон (тряпка)	76	576	1200	1120	480	60
38		т 2 {3,3,3,3,4}	Биректифицированный 6-ортоплекс Биректифицированный гексаконатетрапетон (хвастовство)	76	636	2160	2880	1440	160
39		т 2 {4,3,3,3,3}	Биректифицированный 6-кубический Биректифицированный гексеракт (брокс)	76	636	2080 г.	3200	1920 г.	240
40		т 1 {4,3,3,3,3}	Ректифицированный 6-кубовый Ректифицированный шестигранник (rax)	76	444	1120	1520	960	192
41 год		т 0 {4,3,3,3,3}	6-кубический Гексеракт (топор)	12	60	160	240	192	64
42		т 0,1 {3,3,3,3,4}	Усеченный 6-ортоплекс Усеченный гексаконатетрапетон (тег)	76	576	1200	1120	540	120
43		т 0,2 {3,3,3,3,4}	Кантеллированный 6-ортоплекс Малый ромбовидный гексаконатетрапетон (srog)	136	1656	5040	6400	3360	480
44		т 1,2 {3,3,3,3,4}	Bitruncated 6-ортоплекс Bitruncated hexacontatetrapeton (botag)					1920 г.	480
45		т 0,3 {3,3,3,3,4}	Ранцинированный 6-ортоплекс Малый призматический гексаконатетрапетон (звездочка)					7200	960
46		т 1,3 {3,3,3,3,4}	Бикантеллированный 6-ортоплекс Малый биомбированный гексаконатетрапетон (сиборг)					8640	1440
47		т 2,3 {4,3,3,3,3}	Гексерактигексаконтетрапетон (xog), усеченный 6- кубиками					3360	960
48		т 0,4 {3,3,3,3,4}	Стерифицированный 6-ортоплекс Гексаконтатетрапетон с малыми ячейками (scag)					5760	960
49		т 1,4 {4,3,3,3,3}	Бирунцинированный 6-кубик Малый бипризмато-гексерактигексаконтетрапетон (собпоксог)					11520	1920 г.
50		т 1,3 {4,3,3,3,3}	Бикантеллированный 6-кубический Малый биомбированный гексеракт (саборкс)					9600	1920 г.
51		т 1,2 {4,3,3,3,3}	Bitruncated 6-cube Bitruncated hexeract (ботокс)					2880	960
52		т 0,5 {4,3,3,3,3}	Пятиугольник 6-кубик Малый тери-гексерактигексаконтетрапетон (стоксог)					1920 г.	384
53		т 0,4 {4,3,3,3,3}	Стерифицированный 6-кубический малый клетчатый гексеракт (scox)					5760	960
54		т 0,3 {4,3,3,3,3}	Бугристый 6-кубический Малый призматический шестигранник (спокс)					7680	1280
55		т 0,2 {4,3,3,3,3}	Скошенный 6-кубик Малый ромбовидный гексеракт (srox)					4800	960
56		т 0,1 {4,3,3,3,3}	Усеченный 6-кубический усеченный гексеракт (tox)	76	444	1120	1520	1152	384
57		т 0,1,2 {3,3,3,3,4}	Cантитроусеченный 6-ортоплекс Большой ромбовидный гексаконатетрапетон (грог)					3840	960
58		т 0,1,3 {3,3,3,3,4}	Runcitruncated 6- orthoplex Prismatotruncated hexacontatetrapeton (potag)					15840	2880
59		т 0,2,3 {3,3,3,3,4}	Runcicantellated 6- orthoplex Prismatorhombated hexacontatetrapeton (прог)					11520	2880
60		т 1,2,3 {3,3,3,3,4}	Бикантитусеченный 6-ортоплекс Большой биомбированный гексаконатетрапетон (габорг)					10080	2880
61		т 0,1,4 {3,3,3,3,4}	Стеритоусеченный 6-ортоплекс Cellitruncated hexacontatetrapeton (catog)					19200	3840
62		т 0,2,4 {3,3,3,3,4}	Стерикантеллированный 6-ортоплекс Cellirhombated hexacontatetrapeton (скала)					28800	5760
63		т 1,2,4 {3,3,3,3,4}	Бирунсусеченный 6-ортоплекс Бипризматоусеченный гексаконатетрапетон (бопракс)					23040	5760
64		т 0,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерирунцинированный 6-ортоплекс Celliprismated hexacontatetrapeton (copog)					15360	3840
65		т 1,2,4 {4,3,3,3,3}	Бирунсусеченный 6-кубический бипризматоусеченный шестигранник (бопраг)					23040	5760
66		т 1,2,3 {4,3,3,3,3}	Бикантитусеченный 6-кубический Большой биомбированный гексеракт (габоркс)					11520	3840
67		т 0,1,5 {3,3,3,3,4}	Пентусеченный 6-ортоплекс Teritruncated hexacontatetrapeton (tacox)					8640	1920 г.
68		т 0,2,5 {3,3,3,3,4}	Пентикантеллированный 6-ортоплекс Terirhombated hexacontatetrapeton (tapox)					21120	3840
69		т 0,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерирунцинированный 6-кубический клеточный гексеракт (копокс)					15360	3840
70		т 0,2,5 {4,3,3,3,3}	Пятисветвленный шестиугольник Terirhombated hexeract (topag)					21120	3840
71		т 0,2,4 {4,3,3,3,3}	Стерикантеллированный шестигранный кубический гексеракт (Crax)					28800	5760
72		т 0,2,3 {4,3,3,3,3}	Ранкантеллированный 6-кубический призматический гексеракт (прокс)					13440	3840
73		т 0,1,5 {4,3,3,3,3}	Пятиусеченный 6-кубический территусеченный гексеракт (таког)					8640	1920 г.
74		т 0,1,4 {4,3,3,3,3}	Стеритоусеченная клетка с 6 кубами и усеченный гексеракт (катакс)					19200	3840
75		т 0,1,3 {4,3,3,3,3}	Усеченный 6-кубический призматический гексеракт (potax)					17280	3840
76		т 0,1,2 {4,3,3,3,3}	Гексусеченный 6-кубический большой ромбовидный гексеракт (grox)					5760	1920 г.
77		т 0,1,2,3 {3,3,3,3,4}	Рунцикантоусеченный 6-ортоплекс Большой призматический гексаконатетрапетон (гопог)					20160	5760
78		т 0,1,2,4 {3,3,3,3,4}	Стерикантитусеченный 6-ортоплекс Celligreatorhombated hexacontatetrapeton (cagorg)					46080	11520
79		т 0,1,3,4 {3,3,3,3,4}	Стериро-усеченный 6-ортоплекс Celliprismatotruncated hexacontatetrapeton (captog)					40320	11520
80		т 0,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерируксантеллированный 6-ортоплекс Celliprismatorhombated hexacontatetrapeton (coprag)					40320	11520
81 год		т 1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Biruncicantitruncated 6-cube Great biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (gobpoxog)					34560	11520
82		т 0,1,2,5 {3,3,3,3,4}	Пентикантоусеченный 6-ортоплекс Теригреат или гомомбированный гексаконатетрапетон (тогриг)					30720	7680
83		т 0,1,3,5 {3,3,3,3,4}	Пятиусеченный 6-ортоплекс Терипризматотусеченный гексаконататрапетон (токракс)					51840	11520
84		т 0,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Пятизубчатый 6-кубический терипризматор, гомби-гексерактигексаконтитетрапетон (типриксог)					46080	11520
85		т 0,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерируксусный гексеракт (коприкс), состоящий из 6 кубов					40320	11520
86		т 0,1,4,5 {4,3,3,3,3}	Пентистеритусеченный 6-кубик Теричелли-гексерактигексаконтитетрапетон (такаксог)					30720	7680
87		т 0,1,3,5 {4,3,3,3,3}	Пятизубчато-усеченный 6-кубический терипризматотрубный гексеракт (токарк)					51840	11520
88		т 0,1,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерино-усеченный 6-кубический целлюлозный призматический усеченный гексеракт (captix)					40320	11520
89		т 0,1,2,5 {4,3,3,3,3}	Пентикоусеченный 6-кубический терригатор или гомомбированный гексеракт (тогрикс)					30720	7680
90		т 0,1,2,4 {4,3,3,3,3}	Стерикантитусеченный 6-кубический клеточный гексеракт, гомомбированный гексеракт (кагоркс)					46080	11520
91		т 0,1,2,3 {4,3,3,3,3}	Рукоусеченный 6-кубический большой призматический гексеракт (гиппокс)					23040	7680
92		т 0,1,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Steriruncicantitruncated 6- orthoplex Great cellated hexacontatetrapeton (gocog)					69120	23040
93		т 0,1,2,3,5 {3,3,3,3,4}	Pentiruncicantitruncated 6- orthoplex Terigreatoprismated hexacontatetrapeton (tagpog)					80640	23040
94		т 0,1,2,4,5 {3,3,3,3,4}	Пентистерикантитусеченный 6-ортоплекс Tericelligreatorhombated hexacontatetrapeton (tecagorg)					80640	23040
95		т 0,1,2,4,5 {4,3,3,3,3}	Пентистерикантитусеченный 6-кубический теричеллигреаторомбированный гексеракт (токагракс)					80640	23040
96		т 0,1,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Пентирунникантитусеченный 6-кубический теригреатопризматический гексеракт (tagpox)					80640	23040
97		т 0,1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Steriruncicantitruncated 6-cube Great Cellated hexeract (gocax).					69120	23040
98		т 0,1,2,3,4,5 {4,3,3,3,3}	Омнитусеченный 6-кубовый Великий тери-гексерактигексаконтитетрапетон (gotaxog)					138240	46080

D ₆ семьи [ править ]

Семейство D ₆ имеет симметрию порядка 23040 (6 факториалов x 2 ⁵ ).

Это семейство имеет 3 × 16−1 = 47 однородных многогранников Витоффа, созданных пометкой одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина D ₆ . Из них 31 (2 × 16-1) повторяются из семейства B _6, а 16 являются уникальными для этого семейства. Ниже перечислены 16 уникальных форм. Аббревиатуры в стиле Bowers даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Базовая точка (с альтернативной подписью)	Количество элементов						Circumrad
				5	4	3	2	1	0
99	знак равно	Гемигексеракт с 6 полукубами (hax)	(1,1,1,1,1,1)	44	252	640	640	240	32	0,8660254
100	знак равно	Кантик 6-кубический усеченный полугексеракт (thax)	(1,1,3,3,3,3)	76	636	2080 г.	3200	2160	480	2,1794493
101	знак равно	Рунический 6-кубик Малый ромбовидный полугексеракт (сирхакс)	(1,1,1,3,3,3)					3840	640	1,9364916
102	знак равно	Стерический 6-кубический Малый призматический полугексеракт (софакс)	(1,1,1,1,3,3)					3360	480	1,6583123
103	знак равно	Пентичный 6-кубический Малый клетчатый демигексеракт (сошакс)	(1,1,1,1,1,3)					1440	192	1,3228756
104	знак равно	Рансикантический 6-кубический большой ромбовидный полугексеракт (гирхакс)	(1,1,3,5,5,5)					5760	1920 г.	3,2787192
105	знак равно	Стерикантический 6-кубический призматически усеченный полугексеракт (питакс)	(1,1,3,3,5,5)					12960	2880	2,95804
106	знак равно	Стерируксический 6-кубовый призматический полугексеракт (прохакс)	(1,1,1,3,5,5)					7680	1920 г.	2,7838821
107	знак равно	Пентикантическая 6-кубовая клетка - усеченный полугексеракт (катикс)	(1,1,3,3,3,5)					9600	1920 г.	2,5980761
108	знак равно	Pentiruncic 6-cube Cellirhombated hemihexeract (крохакс)	(1,1,1,3,3,5)					10560	1920 г.	2,3979158
109	знак равно	Пентистерический 6-кубический целлипризматический полугексеракт (кофикс)	(1,1,1,1,3,5)					5280	960	2,1794496
110	знак равно	Steriruncicantic 6-куб Большой prismated hemihexeract (gophax)	(1,1,3,5,7,7)					17280	5760	4,0926762
111	знак равно	Пентируникантический 6-кубический клеточный гигант, гомогенный полугексеракт (кагрохакс)	(1,1,3,5,5,7)					20160	5760	3,7080991
112	знак равно	Пентистерикантический 6-кубический целлипризматический усеченный полугексеракт (каптикс)	(1,1,3,3,5,7)					23040	5760	3,4278274
113	знак равно	Пентистерирунческий 6-кубический целлипризматор, гомогексеракт (капрогакс)	(1,1,1,3,5,7)					15360	3840	3,2787192
114	знак равно	Пентистерирункикантический 6-кубический большой клетчатый полугексеракт (гочакс)	(1,1,3,5,7,9)					34560	11520	4,5552168

E ₆ семьи [ править ]

Существует 39 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. Аббревиатуры в стиле Bowers даны для перекрестных ссылок. Семейство E 6 имеет симметрию порядка 51 840.

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
			5 лиц	4 лица	Клетки	Лица	Края	Вершины
115		2 21 Икосигептахептаконтидипетон (як)	99	648	1080	720	216	27
116		Ректифицированный 2 21 Ректифицированный икосигептахептаконтидипетон (роджак)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		Усеченный 2 21 Усеченный икосигептахептаконтидипетон (тояк)	126	1350	4320	5040	2376	432
118		Cantellated 2 21 Маленький ромбовидный икосигептахептаконтидипетон (сирджак)	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Runcinated 2 21 Малый демипризматический икозигептагептаконтидипетон (шопжак)	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		Демифицированный икосигептагептаконтидипетон (хеджак)	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Bitruncated 2 21 Bitruncated icosiheptaheptacontidipeton (botajik)						2160
122		Демиректифицированный икозигептахептаконтидипетон (харджак)						1080
123		Cantitruncated 2 21 Большой ромбовидный икосигептахептаконтидипетон (гирджак)						4320
124		Runcitruncated 2 21 Demiprismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (hopitjak)						4320
125		Steritruncated 2 21 Cellitruncated icosiheptaheptacontidipeton (catjak)						2160
126		Демитусеченный икозигептахептаконтидипетон (хотжак)						2160
127		Runcicantellated 2 21 Demiprismator комбинированный икосигептагептаконтидипетон (хапрожак)						6480
128		Малый демиромбированный икосигептахептаконтидипетон (шоржак)						4320
129		Икозигептахептаконтидипетон призматический малый (спояк)						4320
130		Икозигептахептаконтидипетон (титаяк) усеченный						4320
131		Runcicantitruncated 2 21 Большой демипризматический икосигептагептаконтидипетон (гхопжак)						12960
132		Stericantitruncated 2 21 Celligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (cograjik)						12960
133		Большой демиромбированный икосигептахептаконтидипетон (горжак)						8640
134		Призмато-усеченный икозигептагептаконтидипетон (потяк)						12960
135		Демицеллит усеченный икозигептагептаконтидипетон (иктиджик)						8640
136		Икозигептагептаконтидипетон (прояк) с призмой						12960
137		Большой призматический икосигептахептаконтидипетон (гапжак)						25920
138		Демицеллигреат или гомомбированный икосигептагептаконтидипетон (хочгарджик)						25920

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
			5 лиц	4 лица	Клетки	Лица	Края	Вершины
139	знак равно	1 22 Пентаконтатетрапетон (мес.)	54	702	2160	2160	720	72
140	знак равно	Ректифицированный 1 22 Ректифицированный пентаконтатетрапетон (баран)	126	1566	6480	10800	6480	720
141	знак равно	Биректифицированный 1 22 Биректифицированный пентаконтатетрапетон (barm)	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	знак равно	Триректифицированный 1 22 Триректифицированный пентаконтатетрапетон (обрезной)	558	4608	8640	6480	2160	270
143	знак равно	Усеченный 1 22 Усеченный пентаконтатетрапетон (тим)					13680	1440
144	знак равно	Bitruncated 1 22 Bitruncated pentacontatetrapeton (битем)						6480
145	знак равно	Tritruncated 1 22 Tritruncated пентаконтатетрапетон (титам)						8640
146	знак равно	Cantellated 1 22 Маленький ромбовидный пентаконтатетрапетон (sram)						6480
147	знак равно	Cantitruncated 1 22 Большой ромбовидный пентаконтатетрапетон (грамм)						12960
148	знак равно	Runcinated 1 22 Маленький призматический пентаконтатетрапетон (спам)						2160
149	знак равно	Bicantellated 1 22 Малый birhombated pentacontatetrapeton (sabrim)						6480
150	знак равно	Bicantitruncated 1 22 Большой birhombated pentacontatetrapeton (gabrim)						12960
151	знак равно	Runcitruncated 1 22 Призматоусеченный пентаконтатетрапетон (патом)						12960
152	знак равно	Runcicantellated 1 22 Prismatorhombated pentacontatetrapeton (пром)						25920
153	знак равно	Усеченный 1 22 Большой призматический пентаконтатетрапетон (гопам)						51840

Невитхоффовские 6-многогранники [ править ]

В 6 размерах и выше, существует бесконечное количество не-Wythoffian выпуклых равномерных многогранников как декартово произведение в Гранд антипризмы в 4 -х размерах и правильный многоугольник в 2 -х измерениях. Еще не доказано, есть ли больше.

Обычные и однородные соты [ править ]

Есть четыре фундаментальных аффинных группы Кокстера и 27 призматических групп, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 5-пространстве:

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера	Формы
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$	[3 [6] ]		12
2	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$	[4,3 3 , 4]		35 год
3	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$	[4,3,3 1,1 ] [4,3 3 , 4,1 + ]		47 (16 новых)
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$	[3 1,1 , 3,3 1,1 ] [1 + , 4,3 3 , 4,1 + ]		20 (3 новых)

Обычные и однородные соты включают:

• ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$ Всего существует 12 уникальных однородных сот, в том числе:
  • 5-симплексные соты
  • Усеченные 5-симплексные соты
  • Омнитусеченные 5-симплексные соты
• ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$ Есть 35 однородных сот, в том числе:
  • Регулярные гиперкубические соты евклидова 5-пространства, 5-кубические соты с символами {4,3 ³ , 4}, знак равно
• ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$ В наличии 47 однородных сот, 16 новых, в том числе:
  • Однородные чередующиеся гиперкубические соты , 5-полукубические соты с символами h {4,3 ³ , 4}, знак равно знак равно
• ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$, [3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]: есть 20 уникальных окольцованных перестановок и 3 новых. Коксетер называет первую четверть 5-кубическими сотами с символами q {4,3 ³ , 4}, знак равно . Два других новых знак равно , знак равно .

Призматические группы

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [5] , 2, ∞]
2	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3 1,1 , 2, ∞]
3	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3,4,2, ∞]
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 1,1,1,1 , 2, ∞]
5	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3,4,3,3,2, ∞]
6	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2, ∞, 2, ∞]
7	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3 1,1 , 2, ∞, 2, ∞]
8	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [4] , 2, ∞, 2, ∞]
9	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$х х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
10	${\displaystyle {\tilde {H}}_{2}}$х х х${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[6,3,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
11	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$х х х${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[3 [3] , 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
12	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$х х х х${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
13	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$х х${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[3 [3] , 2,3 [3] , 2, ∞]
14	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$х х${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[3 [3] , 2,4,4,2, ∞]
15	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$х х${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[3 [3] , 2,6,3,2, ∞]
16	${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$х х${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[4,4,2,4,4,2, ∞]
17	${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$х х${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[4,4,2,6,3,2, ∞]
18	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$х х${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[6,3,2,6,3,2, ∞]
19	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[3 [4] , 2,3 [3] ]
20	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[4,3 1,1 , 2,3 [3] ]
21 год	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[4,3,4,2,3 [3] ]
22	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$	[3 [4] , 2,4,4]
23	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$	[4,3 1,1 , 2,4,4]
24	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	[3 [4] , 2,6,3]
26	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	[4,3 1,1 , 2,6,3]
27	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$Икс${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	[4,3,4,2,6,3]

Регулярные и однородные гиперболические соты [ править ]

Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечной фигуры вершины . Однако существует 12 некомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, каждая из которых порождает однородные соты в 5-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.

Гиперболические некомпактные группы

${\displaystyle {\bar {P}}_{5}}$= [3,3 [5] ]: ${\displaystyle {\widehat {AU}}_{5}}$ = [(3,3,3,3,3,4)]: ${\displaystyle {\widehat {AR}}_{5}}$ = [(3,3,4,3,3,4)]:

${\displaystyle {\bar {S}}_{5}}$= [4,3,3 2,1 ]: ${\displaystyle {\bar {O}}_{5}}$= [3,4,3 1,1 ]: ${\displaystyle {\bar {N}}_{5}}$= [3, (3,4) 1,1 ]:

${\displaystyle {\bar {U}}_{5}}$ = [3,3,3,4,3]: ${\displaystyle {\bar {X}}_{5}}$ = [3,3,4,3,3]: ${\displaystyle {\bar {R}}_{5}}$ = [3,4,3,3,4]:

${\displaystyle {\bar {Q}}_{5}}$= [3 2,1,1,1 ]: ${\displaystyle {\bar {M}}_{5}}$= [4,3,3 1,1,1 ]: ${\displaystyle {\bar {L}}_{5}}$= [3 1,1,1,1,1 ]:

Замечания о конструкции Витхоффа для равномерных 6-многогранников [ править ]

Построение отражающих 6-мерных однородных многогранников осуществляется с помощью процесса построения Wythoff и представляется через диаграмму Кокстера-Дынкина , где каждый узел представляет собой зеркало. Узлы обведены кружком, чтобы обозначить, какие зеркала активны. Сгенерированный полный набор однородных многогранников основан на уникальных перестановках кольцевых узлов. Равномерные 6-многогранники названы в соответствии с правильными многогранниками в каждом семействе. У некоторых семейств есть два обычных конструктора, поэтому их можно назвать двумя способами.

Вот основные операторы, доступные для построения и именования однородных 6-многогранников.

Призматические формы и бифуркационные графы могут использовать ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.

Операция	Расширенный символ Шлефли	Coxeter- Дынкин диаграмма	Описание
Родитель	t 0 {p, q, r, s, t}		Любой правильный 6-многогранник
Исправленный	t 1 {p, q, r, s, t}		Края полностью обрезаются на отдельные точки. Теперь у 6-многогранника совмещены грани родительского и двойственного.
Двунаправленный	t 2 {p, q, r, s, t}		Биректификация сокращает клетки до их двойников .
Усеченный	t 0,1 {p, q, r, s, t}		Каждая исходная вершина обрезается, и пробел заполняется новой гранью. Усечение имеет степень свободы, которая имеет одно решение, создающее однородный усеченный 6-многогранник. 6-многогранник имеет свои исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного.
Bitruncated	t 1,2 {p, q, r, s, t}		Bitrunction преобразует ячейки в их двойное усечение.
Усеченный	t 2, 3 {p, q, r, s, t}		Tritruncation преобразует 4-грани в их двойное усечение.
Собранный	t 0,2 {p, q, r, s, t}		В дополнение к усечению вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на его месте появляются новые прямоугольные грани. Единая песня находится на полпути между родительской и дуальной формами.
Двухслойный	t 1,3 {p, q, r, s, t}		В дополнение к усечению вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на его месте появляются новые прямоугольные грани. Единая песня находится на полпути между родительской и дуальной формами.
Runcinated	t 0,3 {p, q, r, s, t}		Runcination уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях.
Бирунцинированный	t 1,4 {p, q, r, s, t}		Runcination уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях.
Стерилизованный	t 0,4 {p, q, r, s, t}		Стерилизация уменьшает 4-грани и создает новые 4-грани на вершинах, ребрах и гранях в зазорах.
Пятиугольник	t 0,5 {p, q, r, s, t}		Pentellation уменьшает 5 граней и создает новые 5 граней в вершинах, ребрах, гранях и ячейках в зазорах. ( операция расширения полипета)
Усеченный	т 0,1,2,3,4,5 {p, q, r, s, t}		Применяются все пять операторов: усечение, кантелляция, ранцинирование, стерилизация и пентелляция.

См. Также [ править ]

• Список правильных многогранников # Более высокие измерения

Примечания [ править ]