1  22 многогранник

1 22	Ректифицированный 1 22	Двунаправленный 1 22
2 21	Ректифицированный 2 21
ортогональные проекции в плоскости Кокстера E 6

В 6-мерной геометрии , то - ₂₂ многогранник является однородным многогранник , построенное из Й ₆ группы. Впервые он был опубликован в списке полуправильных многогранников EL Elte за 1912 год, названном V ₇₂ (из-за 72 вершин). ^[1]

Его символ Кокстера - 1 ₂₂ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности с 1 узлом. Есть два исправления 1 ₂₂ , построенные путем позиционирования точек на элементах 1 ₂₂ . Выпрямляются 1 ₂₂ построены по точкам в середине краях - ₂₂ . Birectified 1 ₂₂ строится по точкам на треугольник лицевых центров 1 ₂₂ .

Эти многогранники принадлежат к семейству из 39 выпуклых однородных многогранников в шести измерениях , состоящих из граней однородных многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

1_22 многогранник [ править ]

1 22 многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Семья	1 многогранник k2
Символ Шлефли	{3,3 2,2 }
Символ Кокстера	1 22
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	54: 27 1 21 27 1 21
4-гранный	702: 270 1 11 432 1 20
Клетки	2160: 1080 1 10 1080 {3,3}
Лица	2160 {3}
Края	720
Вершины	72
Фигура вершины	Биректифицированный 5-симплекс : 0 22
Многоугольник Петри	Додекагон
Группа Коксетера	E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики	выпуклый , изотопный

Многогранник 1_22 содержит 72 вершины и 54 5-полукубических грани. Он имеет двунаправленную 5-симплексную вершинную фигуру . Его 72 вершины представляют собой корневые векторы простой группы Ли E 6 .

Альтернативные имена [ править ]

• Пентаконтатетра-петон (Акроним Мо) - 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс) ^[2]

Изображения [ редактировать ]

Строительство [ править ]

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 6 гиперплоскостных зеркал в 6-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на любой из двух ветвей длины оставляет 5-полукуб , 1 ₃₁ ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает двунаправленный 5-симплекс , 0 ₂₂ ,.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . ^[3]

E 6		к-лицо	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3		ж 4			ж 5		k -фигура	заметки
А 5		()	f 0	72	20	90	60	60	15	15	30	6	6	г {3,3,3}	E 6 / A 5 = 72 * 6! / 6! = 72
А 2 А 2 А 1		{}	f 1	2	720	9	9	9	3	3	9	3	3	{3} x {3}	E 6 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 3! / 2 = 720
А 2 А 1 А 1		{3}	ж 2	3	3	2160	2	2	1	1	4	2	2	с {2,4}	E 6 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2/2 = 2160
А 3 А 1		{3,3}	ж 3	4	6	4	1080	*	1	0	2	2	1	{} v ()	E 6 / A 3 A 1 = 72 * 6! / 4! / 2 = 1080
				4	6	4	*	1080	0	1	2	1	2
А 4 А 1		{3,3,3}	ж 4	5	10	10	5	0	216	*	*	2	0	{}	E 6 / A 4 A 1 = 72 * 6! / 5! / 2 = 216
				5	10	10	0	5	*	216	*	0	2
D 4		ч {4,3,3}		8	24	32	8	8	*	*	270	1	1		E 6 / D 4 = 72 * 6! / 8/4! = 270
D 5		ч {4,3,3,3}	ж 5	16	80	160	80	40	16	0	10	27	*	()	E 6 / D 5 = 72 * 6! / 16/5! = 27
				16	80	160	40	80	0	16	10	*	27

Связанный сложный многогранник [ править ]

Регулярный комплекс многогранник ₃ {3} ₃ {4} ₂ ,, in имеет вещественное представление как многогранник 1 ₂₂ в 4-мерном пространстве. Он имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3 {3} 3 грани. Его комплексная группа отражений является ₃ [3] ₃ [4] ₂ , заказ 1296. Он имеет половину симметрии квазирегулярное конструкцию , как${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$, Как ректификации из гессенского многогранника ,. ^[4]

Связанные многогранники и соты [ править ]

Наряду с полуправильным многогранником 2 21 , он также является одним из семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном пространстве, состоящих из граней однородного многогранника и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

1 k2 фигур в размерах n
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е 3 = А 2 А 1	Е 4 = А 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия (порядок)	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Заказ	12	120	1,920	103 680	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

Геометрическое складывание [ править ]

1 ₂₂ связана с 24-клетки с помощью геометрической складывания Е6 → F4 из диаграмм Кокстера-Дынкина , E6 , соответствующей 1 ₂₂ в 6 размеров, F4 на 24-ячейки в 4 -х измерениях. Это видно в проекциях на плоскость Кокстера . 24 вершины 24-ячейки проецируются в те же два кольца, что и на рисунке 1 ₂₂ .

Тесселяции [ править ]

Этот многогранник является фигурой вершины для однородной мозаики 6-мерного пространства, 2 22 ,.

Выпрямленный многогранник 1_22 [ править ]

Ректифицированный 1 22
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	2r {3,3,3 2,1 } r {3,3 2,2 }
Символ Кокстера	0 221
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	126
4-гранный	1566
Клетки	6480
Лица	6480
Края	6480
Вершины	720
Фигура вершины	3-3 дуопризменная призма
Многоугольник Петри	Додекагон
Группа Коксетера	E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики	выпуклый

Выпрямляется 1 ₂₂ многогранник (также называемый 0 ₂₂₁ ) может Tessellate 6-мерное пространство в качестве ячейки Вороного в E6 * сотовой решетки (двойной Е6 решетки). ^[5]

Альтернативные имена [ править ]

• Двиректифицированный многогранник 2 ₂₁
• Ректифицированный пентаконтатетрапетон (аббревиатура Ram ) - ректифицированный 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс) ^[6]

Изображения [ редактировать ]

Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

Строительство [ править ]

Его построение основано на группе E 6, и информацию можно извлечь из окольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник:.

Удаление кольца на короткой ветке оставляет биректифицированный 5-симплекс ,.

Удаление кольца на любой из двух ветвей длины оставляет биректифицированный 5-ортоплекс в его альтернированной форме: t ₂ (2 ₁₁ ) ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звона соседнего кольца. Это делает призму дуопризмы 3–3 , {3} × {3} × {},.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . ^{[7] [8]}

E 6		к-лицо	f k	f 0	f 1	ж 2			ж 3					ж 4					ж 5			k -фигура	заметки
А 2 А 2 А 1		()	f 0	720	18	18	18	9	6	18	9	6	9	6	3	6	9	3	2	3	3	{3} x {3} x {}	E 6 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 3! / 2 = 720
А 1 А 1 А 1		{}	f 1	2	6480	2	2	1	1	4	2	1	2	2	1	2	4	1	1	2	2	{} v {} v ()	E 6 / A 1 A 1 A 1 = 72 * 6! / 2/2/2 = 6480
А 2 А 1		{3}	ж 2	3	3	4320	*	*	1	2	1	0	0	2	1	1	2	0	1	2	1	Клиновидная	E 6 / A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2 = 4320
				3	3	*	4320	*	0	2	0	1	1	1	0	2	2	1	1	1	2
А 2 А 1 А 1				3	3	*	*	2160	0	0	2	0	2	0	1	0	4	1	0	2	2	{} ∨ {}	E 6 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2/2 = 2160
А 2 А 1		{3,3}	ж 3	4	6	4	0	0	1080	*	*	*	*	2	1	0	0	0	1	2	0	{} v ()	E 6 / A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2 = 1080
А 3		г {3,3}		6	12	4	4	0	*	2160	*	*	*	1	0	1	1	0	1	1	1	{3}	E 6 / A 3 = 72 * 6! / 4! = 2160
А 3 А 1				6	12	4	0	4	*	*	1080	*	*	0	1	0	2	0	0	2	1	{} v ()	E 6 / A 3 A 1 = 72 * 6! / 4! / 2 = 1080
		{3,3}		4	6	0	4	0	*	*	*	1080	*	0	0	2	0	1	1	0	2
		г {3,3}		6	12	0	4	4	*	*	*	*	1080	0	0	0	2	1	0	1	2
А 4		г {3,3,3}	ж 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	432	*	*	*	*	1	1	0	{}	E 6 / A 4 = 72 * 6! / 5! = 432
А 4 А 1				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	216	*	*	*	0	2	0		E 6 / A 4 A 1 = 72 * 6! / 5! / 2 = 216
А 4				10	30	10	20	0	0	5	0	5	0	*	*	432	*	*	1	0	1		E 6 / A 4 = 72 * 6! / 5! = 432
D 4		ч {4,3,3}		24	96	32	32	32	0	8	8	0	8	*	*	*	270	*	0	1	1		E 6 / D 4 = 72 * 6! / 8/4! = 270
А 4 А 1		г {3,3,3}		10	30	0	20	10	0	0	0	5	5	*	*	*	*	216	0	0	2		E 6 / A 4 A 1 = 72 * 6! / 5! / 2 = 216
А 5		2r {3,3,3,3}	ж 5	20	90	60	60	0	15	30	0	15	0	6	0	6	0	0	72	*	*	()	E 6 / A 5 = 72 * 6! / 6! = 72
D 5		rh {4,3,3,3}		80	480	320	160	160	80	80	80	0	40	16	16	0	10	0	*	27	*		E 6 / D 5 = 72 * 6! / 16/5! = 27
				80	480	160	320	160	0	80	40	80	80	0	0	16	10	16	*	*	27

Усеченный многогранник 1_22 [ править ]

Усеченный 1 22
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	т {3,3 2,2 }
Символ Кокстера	т (1 22 )
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	72 + 27 + 27
4-гранный	32 + 216 + 432 + 270 + 216
Клетки	1080 + 2160 + 1080 + 1080 + 1080
Лица	4320 + 4320 + 2160
Края	6480 + 720
Вершины	1440
Фигура вершины	() v {3} x {3}
Многоугольник Петри	Додекагон
Группа Коксетера	E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики	выпуклый

Альтернативные имена [ править ]

• Усеченный 1 ₂₂ многогранник

Строительство [ править ]

Его построение основано на группе E 6, и информацию можно извлечь из окольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник:.

Изображения [ редактировать ]

Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

Двунаправленный многогранник 1_22 [ править ]

Двунаправленный 1 22 многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	2r {3,3 2,2 }
Символ Кокстера	2р (1 22 )
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	126
4-гранный	2286
Клетки	10800
Лица	19440
Края	12960
Вершины	2160
Фигура вершины
Группа Коксетера	E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики	выпуклый

Альтернативные имена [ править ]

• Двустворчатые 2 ₂₁
• Биректифицированный пентаконтитетрапетон (барм) (Джонатан Бауэрс) ^[9]

Изображения [ редактировать ]

Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

Триректифицированный многогранник 1_22 [ править ]

Триректифицированный 1 22 многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	3r {3,3 2,2 }
Символ Кокстера	3р (1 22 )
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или же
5 лиц	558
4-гранный	4608
Клетки	8640
Лица	6480
Края	2160
Вершины	270
Фигура вершины
Группа Коксетера	E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики	выпуклый

Альтернативные имена [ править ]

• Треугольник 2 ₂₁
• Триректифицированный пентаконтитетрапетон (обрезной) (Джонатан Бауэрс) ^[10]

См. Также [ править ]

• Список многогранников E6

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] См. Стр. 334 (рисунок 3.6a) Питера МакМаллена: (12-угольный граф узлов и ребер из 1 ₂₂ )
• Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . o3o3o3o3o * c3x - mo, o3o3x3o3o * c3o - баран, o3x3o3x3o * c3o - barm