3  21 многогранник

3 21		2 31		1 32
Ректифицированный 3 21			двунаправленный 3 21
Ректифицированный 2 31			Ректифицированный 1 32
Ортогональные проекции на плоскость Кокстера E 7

В 7-мерной геометрии , то 3 ₂₁ многогранник является однородным 7-многогранник , построенный в симметрии Е ₇ группы. Он был открыт Торольдом Госсетом , опубликованным в его статье 1900 года. Он назвал это семисекундной полурегулярной фигурой . ^[1]

Его символ Кокстера - 3 ₂₁ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце одной из последовательностей с 3 узлами.

Выпрямляются 3 ₂₁ построены по точкам в середине краях - ₂₁ . Birectified 3 ₂₁ строится по точкам на треугольник лицевых центров 3 ₂₁ . Trirectified 3 ₂₁ строится по точкам на тетраэдрических центрах - ₂₁ , и является таким же , как выпрямленным 1 ₃₂ .

Эти многогранники являются частью семейства из 127 (2 ⁷ -1) выпуклых однородных многогранников в 7-мерном пространстве , состоящих из граней однородных 6-многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

3 ₂₁ многогранник [ править ]

3 21 многогранник
Тип	Равномерный 7-многогранник
Семья	k 21 многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера	3 21
Диаграмма Кокстера
6 лиц	702 всего: 126 3 11 576 {3 5 }
5 лиц	6048: 4032 {3 4 } 2016 {3 4 }
4 лица	12096 {3 3 }
Клетки	10080 {3,3}
Лица	4032 {3}
Края	756
Вершины	56
Фигура вершины	2 21 многогранник
Многоугольник Петри	восьмиугольник
Группа Кокстера	E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040
Характеристики	выпуклый

В 7-мерной геометрии , то 3 ₂₁ является однородным многогранник . Он имеет 56 вершин и 702 фасета: 126 3 11 и 576 6-симплексов .

Для визуализации этот 7-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортогональном направлении проекции, которое соответствует его 56 вершинам внутри 18-угольного правильного многоугольника (называемого многоугольником Петри ). Его 756 ребер нарисованы между 3 кольцами по 18 вершин и 2 вершинами в центре. Определенные более высокие элементы (грани, ячейки и т. Д.) Также могут быть извлечены и нарисованы на этой проекции.

1- скелет из 3 ₂₁ многогранника является Госсеты графа .

Этот многогранник, наряду с 7-симплексом , может разбивать на мозаику 7-мерное пространство, представленное 3 31 и диаграммой Кокстера-Дынкина:.

Альтернативные имена [ править ]

• Его также называют многогранником Гесса по имени Эдмунда Гесса, который его первым открыл.
• Это было перечислено Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал это семисекундной полурегулярной фигурой . ^[1]
• EL Elte назвал его V ₅₆ (из-за его 56 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[2]
• HSM Coxeter назвал его 3 ₂₁ из-за его бифуркационной диаграммы Кокстера-Дынкина , имеющей 3 ветви длиной 3, 2 и 1, и имеющую единственное кольцо на последнем узле 3 ветви.
• Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (Acronym Naq) - многогранный полиексон 126-576 (Jonathan Bowers) ^[3]

Координаты [ править ]

56 вершин проще всего представить в 8-мерном пространстве, полученном 28 перестановками координат и их противоположностями:

± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

Строительство [ править ]

Его конструкция основана на группе E7 . Коксетер назвал его 3 ₂₁ по его раздваивающейся диаграмме Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце последовательности из 3 узлов.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 6-ортоплекс в его альтернативной форме: 3 ₁₁ ,.

Каждая симплексная грань касается 6-ортоплексной грани, в то время как альтернативные грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это составляет 2 21 многогранник,.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . ^[4]

E 7		k -face	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3	ж 4	ж 5		ж 6		k -фигуры	Примечания
E 6		()	f 0	56	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 21	E 7 / E 6 = 72x8! / 72x6! = 56
D 5 A 1		{}	f 1	2	756	16	80	160	80	40	16	10	5-полукуб	E 7 / D 5 A 1 = 72x8! / 16/5! / 2 = 756
А 4 А 2		{3}	ж 2	3	3	4032	10	30	20	10	5	5	выпрямленный 5-элементный	E 7 / A 4 A 2 = 72x8! / 5! / 2 = 4032
А 3 А 2 А 1		{3,3}	ж 3	4	6	4	10080	6	6	3	2	3	треугольная призма	E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080
А 4 А 1		{3,3,3}	ж 4	5	10	10	5	12096	2	1	1	2	равнобедренный треугольник	E 7 / A 4 A 1 = 72x8! / 5! / 2 = 12096
А 5 А 1		{3,3,3,3}	ж 5	6	15	20	15	6	4032	*	1	1	{}	E 7 / A 5 A 1 = 72x8! / 6! / 2 = 4032
А 5				6	15	20	15	6	*	2016 г.	0	2		E 7 / A 5 = 72x8! / 6! = 2016
А 6		{3,3,3,3,3}	ж 6	7	21 год	35 год	35 год	21 год	10	0	576	*	()	E 7 / A 6 = 72x8! / 7! = 576
D 6		{3,3,3,3,4}		12	60	160	240	192	32	32	*	126		E 7 / D 6 = 72x8! / 32/6! = 126

Изображения [ править ]

Связанные многогранники [ править ]

3 ₂₁ - пятое в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный равномерный многогранник строится вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильных многогранников , содержащие все симплексы и ортоплексы .

k 21 фигурка в n мерном
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
E n	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Кокстера	Е 3 = А 2 А 1	E 4 = A 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Заказ	12	120	1,920	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	−1 21	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21

Он находится в размерном ряду однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как ряд 3 _k1 . (Вырожденный 4-мерный случай существует как разбиение на 3 сферы, тетраэдрический осоэдр .)

3 фигурки _k1

Космос	Конечный				Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8	9
Группа Кокстера	А 3 А 1	А 5	D 6	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$= E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= E 7 ++
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
Заказ	48	720	46 080	2 903 040	∞
График					-	-
Имя	3 1, -1	3 10	3 11	3 21	3 31	3 41

Выпрямленный многогранник 3 ₂₁ [ править ]

Выпрямленный многогранник 3 21
Тип	Равномерный 7-многогранник
Символ Шлефли	т 1 {3,3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера	т 1 (3 21 )
Диаграмма Кокстера
6 лиц	758
5 лиц	44352
4 лица	70560
Клетки	48384
Лица	11592
Края	12096
Вершины	756
Фигура вершины	Призма с 5 полукубами
Многоугольник Петри	восьмиугольник
Группа Кокстера	E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040
Характеристики	выпуклый

Альтернативные имена [ править ]

• Ректифицированный гекатоникозигекса-пентакозигептаконтигекса-экзон как ректифицированный многогранный полиексон 126–576 (аббревиатура ranq) (Джонатан Бауэрс) ^[5]

Строительство [ править ]

Его конструкция основана на группе E7 . Кокстер назвал его 3 ₂₁ по его раздваивающейся диаграмме Кокстера-Дынкина с единственным узлом на конце последовательности из трех узлов.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет выпрямленный 6-ортоплекс в его альтернированной форме: t ₁ 3 ₁₁ ,.

Удаление узла на конце 3-х длинной ветви оставляет 2 21 ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает призму с 5 полукубами ,.

Изображения [ править ]

Биректифицированный 3 ₂₁ многогранник [ править ]

Двиректифицированный 3 21 многогранник
Тип	Равномерный 7-многогранник
Символ Шлефли	т 2 {3,3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера	т 2 (3 21 )
Диаграмма Кокстера
6 лиц	758
5 лиц	12348
4 лица	68040
Клетки	161280
Лица	161280
Края	60480
Вершины	4032
Фигура вершины	5-ти ячеечная треугольная дуопризма
Многоугольник Петри	восьмиугольник
Группа Кокстера	E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040
Характеристики	выпуклый

Альтернативные имена [ править ]

• Биректифицированный гекатоникозигекса-пентакозигептаконтигекса-экзон в виде биректифицированного 126–576-фасетного полиексона (аббревиатура branq) (Джонатан Бауэрс) ^[6]

Строительство [ править ]

Его конструкция основана на группе E7 . Кокстер назвал его 3 ₂₁ по его раздваивающейся диаграмме Кокстера-Дынкина с единственным узлом на конце последовательности из трех узлов.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на короткой ветке оставляет биректифицированный 6-симплекс ,.

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет биректифицированный 6-ортоплекс в его альтернированной форме: t ₂ (3 ₁₁ ) ,.

Удаление узла на конце 3-длины ветви оставляет выпрямленный многогранник 2 21 в его альтернативной форме: t ₁ (2 ₂₁ ) ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает выпрямленную 5-элементную треугольную дуопризму,.

Изображения [ править ]

См. Также [ править ]

• Список многогранников E7

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
• Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
• HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] См. Стр. 342 (рисунок 3.7c) Питера МакМаллена: (18-угольный граф узлов и ребер из 3 ₂₁ )
• Клитцинг, Ричард. «7D однородные многогранники (polyexa)» . o3o3o3o * c3o3o3x - naq, o3o3o3o * c3o3x3o - ranq, o3o3o3o * c3x3o3o - branq

Внешние ссылки [ править ]

• Многогранники Госсета в vZome