3 21 | 2 31 | 1 32 | |||
Ректифицированный 3 21 | двунаправленный 3 21 | ||||
Ректифицированный 2 31 | Ректифицированный 1 32 | ||||
Ортогональные проекции в плоскости Кокстера E 7 |
---|
В 7-мерной геометрии , 1 32 является однородным многогранник , построенный из Е7 группы.
Его символ Кокстера - 1 32 , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце одной из последовательностей с 1 узлом.
Выпрямляются 1 32 построены по точкам в середине краях - 32 .
Эти многогранники являются частью семейства из 127 (2 7 -1) выпуклых однородных многогранников в семи измерениях , состоящих из граней однородных многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.
1_32 многогранник [ править ]
1 32 | |
---|---|
Тип | Равномерный 7-многогранник |
Семья | 1 многогранник k2 |
Символ Шлефли | {3,3 3,2 } |
Символ Кокстера | 1 32 |
Диаграмма Кокстера | |
6 лиц | 182: 56 1 22 126 1 31 |
5 лиц | 4284: 756 1 21 1512 1 21 2016 {3 4 } |
4-гранный | 23688: 4032 {3 3 } 7560 1 11 12096 {3 3 } |
Клетки | 50400: 20160 {3 2 } 30240 {3 2 } |
Лица | 40320 {3} |
Края | 10080 |
Вершины | 576 |
Фигура вершины | т 2 {3 5 } |
Многоугольник Петри | Восьмиугольник |
Группа Коксетера | E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040 |
Характеристики | выпуклый |
Этот многогранник может разбивать на мозаику 7-мерное пространство с символом 1 33 и диаграммой Кокстера-Дынкина,. Это ячейка Вороного дуальной решетки E 7 * . [1]
Альтернативные имена [ править ]
- Эмануэль Лодевийк Элте назвал его V 576 (из-за 576 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. [2]
- Кокстер назвал его 1 32 из- за его раздвоенной диаграммы Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце одноузловой ветви.
- Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exon ( Acronym lin) - 56-126 фасетный полиексон (Джонатан Бауэрс) [3]
Изображения [ редактировать ]
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Строительство [ править ]
Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 7 гиперплоскостных зеркал в 7-мерном пространстве.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,
При удалении узла на конце 2-длины ветви остается 6-полукуб , 1 31 ,
Удаление узла на конце 3-х длинного ответвления оставляет 1 22 ,
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает двунаправленный 6-симплекс , 0 32 ,
В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . [4]
E 7 | k -face | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | ж 4 | ж 5 | ж 6 | k -фигуры | заметки | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 6 | () | f 0 | 576 | 35 год | 210 | 140 | 210 | 35 год | 105 | 105 | 21 год | 42 | 21 год | 7 | 7 | 2r {3,3,3,3,3} | E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576 | |
А 3 А 2 А 1 | {} | f 1 | 2 | 10080 | 12 | 12 | 18 | 4 | 12 | 12 | 6 | 12 | 3 | 4 | 3 | {3,3} x {3} | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
А 2 А 2 А 1 | {3} | ж 2 | 3 | 3 | 40320 | 2 | 3 | 1 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 | 3 | 2 | {} ∨ {3} | E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320 | |
А 3 А 2 | {3,3} | ж 3 | 4 | 6 | 4 | 20160 | * | 1 | 3 | 0 | 3 | 3 | 0 | 3 | 1 | {3} ∨ () | E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160 | |
А 3 А 1 А 1 | 4 | 6 | 4 | * | 30240 | 0 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | Филлический дисфеноид | E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240 | |||
А 4 А 2 | {3,3,3} | ж 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 0 | 4032 | * | * | 3 | 0 | 0 | 3 | 0 | {3} | E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032 | |
D 4 A 1 | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 8 | 8 | * | 7560 | * | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | {} ∨ () | E 7 / D 4 A 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560 | ||
А 4 А 1 | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 0 | 5 | * | * | 12096 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | E 7 / A 4 A 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096 | |||
D 5 A 1 | ч {4,3,3,3} | ж 5 | 16 | 80 | 160 | 80 | 40 | 16 | 10 | 0 | 756 | * | * | 2 | 0 | {} | E 7 / D 5 A 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756 | |
D 5 | 16 | 80 | 160 | 40 | 80 | 0 | 10 | 16 | * | 1512 | * | 1 | 1 | E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512 | ||||
А 5 А 1 | {3,3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 0 | 15 | 0 | 0 | 6 | * | * | 2016 г. | 0 | 2 | E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016 | |||
E 6 | {3,3 2,2 } | ж 6 | 72 | 720 | 2160 | 1080 | 1080 | 216 | 270 | 216 | 27 | 27 | 0 | 56 | * | () | E 7 / E 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56 | |
D 6 | ч {4,3,3,3,3} | 32 | 240 | 640 | 160 | 480 | 0 | 60 | 192 | 0 | 12 | 32 | * | 126 | E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126 |
Связанные многогранники и соты [ править ]
Число 1 32 является третьим в ряду размерностей однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как ряды 1 3k . Следующий рисунок - это евклидовы соты 1 33, а последний - некомпактные гиперболические соты, 1 34 .
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | |||
---|---|---|---|---|---|---|
п | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Группа Коксетера | А 3 А 1 | А 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Диаграмма Кокстера | ||||||
Симметрия | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [3 1,3,1 ] | [3 2,3,1 ] | [[3 3,3,1 ]] | [3 4,3,1 ] |
Заказ | 48 | 720 | 23 040 | 2 903 040 | ∞ | |
График | - | - | ||||
Имя | 1 3, -1 | 1 30 | 1 31 | 1 32 | 1 33 | 1 34 |
1 k2 фигур в размерах n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Коксетера | Е 3 = А 2 А 1 | Е 4 = А 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 = = E 8 + | E 10 = = E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия (порядок) | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [[3 2,2,1 ]] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 1,920 | 103 680 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | 1 −1,2 | 1 02 | 1 12 | 1 22 | 1 32 | 1 42 | 1 52 | 1 62 |
Выпрямленный многогранник 1_32 [ править ]
Ректифицированный 1 32 | |
---|---|
Тип | Равномерный 7-многогранник |
Символ Шлефли | т 1 {3,3 3,2 } |
Символ Кокстера | 0 321 |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | |
6 лиц | 758 |
5 лиц | 12348 |
4-гранный | 72072 |
Клетки | 191520 |
Лица | 241920 |
Края | 120960 |
Вершины | 10080 |
Фигура вершины | {3,3} × {3} × {} |
Группа Коксетера | E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040 |
Характеристики | выпуклый |
Выпрямляется 1 32 (также называемые 0 321 ) является устранением из 1 32 многогранника, создавая новые вершины на центре края- 32 . Его вершина представляет собой призму-дуопризму, произведение правильного тетраэдра и треугольника, удвоенного в призму: {3,3} × {3} × {}.
Альтернативные имена [ править ]
- Ректифицированный пентаконтигекса-гекатоникозигекса-экзон для ректифицированного 56-126 фасетированного полиексона (акроним ролин) (Джонатан Бауэрс) [5]
Строительство [ править ]
Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 7 гиперплоскостных зеркал в 7-мерном пространстве. Эти зеркала представлены диаграммой Кокстера-Дынкина ,, а кольцо представляет положение активного зеркала (зеркал).
Удаление узла на конце 3 длины ветви покидает выпрямляется 1 22 многогранника,
При удалении узла на конце 2-х отрезной ветви остается полугексеракт , 1 31 ,
Удаление узла на конце 1-длины ветви оставляет биректифицированный 6-симплекс ,
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает призму дуопризмы тетраэдр-треугольник, {3,3} × {3} × {},
В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . [6]
E 7 | k -face | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | ж 4 | ж 5 | ж 6 | k -фигуры | заметки | ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 3 А 2 А 1 | () | f 0 | 10080 | 24 | 24 | 12 | 36 | 8 | 12 | 36 | 18 | 24 | 4 | 12 | 18 | 24 | 12 | 6 | 6 | 8 | 12 | 6 | 3 | 4 | 2 | 3 | {3,3} x {3} x {} | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
А 2 А 1 А 1 | {} | f 1 | 2 | 120960 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 6 | 3 | 3 | 1 | 3 | 6 | 6 | 3 | 1 | 3 | 3 | 6 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | () v {3} v {} | E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960 | |
А 2 А 2 | 0 1 | ж 2 | 3 | 3 | 80640 | * | * | 1 | 1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 3 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 1 | 0 | 3 | 1 | 1 | {3} v () v () | E 7 / A 2 A 2 = 72 * 8! / 3! / 3! = 80640 | |
А 2 А 2 А 1 | 3 | 3 | * | 40320 | * | 0 | 2 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 6 | 0 | 1 | 3 | 0 | 2 | {3} v {} | E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320 | |||
А 2 А 1 А 1 | 3 | 3 | * | * | 120960 | 0 | 0 | 2 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | {} v {} v () | E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960 | |||
А 3 А 2 | 0 2 | ж 3 | 4 | 6 | 4 | 0 | 0 | 20160 | * | * | * | * | 1 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 | {3} v () | E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160 | |
0 11 | 6 | 12 | 4 | 4 | 0 | * | 20160 | * | * | * | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | |||||
А 3 А 1 | 6 | 12 | 4 | 0 | 4 | * | * | 60480 | * | * | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | Клиновидная | E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480 | |||
А 3 А 1 А 1 | 6 | 12 | 0 | 4 | 4 | * | * | * | 30240 | * | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | {} v {} | E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240 | |||
А 3 А 1 | 0 2 | 4 | 6 | 0 | 0 | 4 | * | * | * | * | 60480 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | Клиновидная | E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480 | ||
А 4 А 2 | 0 21 | ж 4 | 10 | 30 | 20 | 10 | 0 | 5 | 5 | 0 | 0 | 0 | 4032 | * | * | * | * | * | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | {3} | E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032 | |
А 4 А 1 | 10 | 30 | 20 | 0 | 10 | 5 | 0 | 5 | 0 | 0 | * | 12096 | * | * | * | * | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | {} v () | E 7 / A 4 A 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096 | |||
D 4 A 1 | 0 111 | 24 | 96 | 32 | 32 | 32 | 0 | 8 | 8 | 8 | 0 | * | * | 7560 | * | * | * | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | E 7 / D 4 A 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560 | |||
А 4 | 0 21 | 10 | 30 | 10 | 0 | 20 | 0 | 0 | 5 | 0 | 5 | * | * | * | 24192 | * | * | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | () v () v () | E 7 / A 4 = 72 * 8! / 5! = 34192 | ||
А 4 А 1 | 10 | 30 | 0 | 10 | 20 | 0 | 0 | 0 | 5 | 5 | * | * | * | * | 12096 | * | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 2 | {} v () | E 7 / A 4 A 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096 | |||
0 3 | 5 | 10 | 0 | 0 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 | * | * | * | * | * | 12096 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | |||||
D 5 A 1 | 0 211 | ж 5 | 80 | 480 | 320 | 160 | 160 | 80 | 80 | 80 | 40 | 0 | 16 | 16 | 10 | 0 | 0 | 0 | 756 | * | * | * | * | 2 | 0 | 0 | {} | E 7 / D 5 A 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756 | |
А 5 | 0 22 | 20 | 90 | 60 | 0 | 60 | 15 | 0 | 30 | 0 | 15 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 0 | * | 4032 | * | * | * | 1 | 1 | 0 | E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032 | |||
D 5 | 0 211 | 80 | 480 | 160 | 160 | 320 | 0 | 40 | 80 | 80 | 80 | 0 | 0 | 10 | 16 | 16 | 0 | * | * | 1512 | * | * | 1 | 0 | 1 | E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512 | |||
А 5 | 0 31 | 15 | 60 | 20 | 0 | 60 | 0 | 0 | 15 | 0 | 30 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 6 | * | * | * | 4032 | * | 0 | 1 | 1 | E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032 | |||
А 5 А 1 | 15 | 60 | 0 | 20 | 60 | 0 | 0 | 0 | 15 | 30 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | * | * | * | * | 2016 г. | 0 | 0 | 2 | E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016 | ||||
E 6 | 0 221 | ж 6 | 720 | 6480 | 4320 | 2160 | 4320 | 1080 | 1080 | 2160 | 1080 | 1080 | 216 | 432 | 270 | 432 | 216 | 0 | 27 | 72 | 27 | 0 | 0 | 56 | * | * | () | E 7 / E 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56 | |
А 6 | 0 32 | 35 год | 210 | 140 | 0 | 210 | 35 год | 0 | 105 | 0 | 105 | 0 | 21 год | 0 | 42 | 0 | 21 год | 0 | 7 | 0 | 7 | 0 | * | 576 | * | E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576 | |||
D 6 | 0 311 | 240 | 1920 г. | 640 | 640 | 1920 г. | 0 | 160 | 480 | 480 | 960 | 0 | 0 | 60 | 192 | 192 | 192 | 0 | 0 | 12 | 32 | 32 | * | * | 126 | E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126 |
Изображения [ редактировать ]
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [14] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
См. Также [ править ]
- Список многогранников E7
Заметки [ править ]
- ^ Вороной Клетка Е 6 * и Х 7 * решетки , Эдвард Pervin
- ^ Elte, 1912
- ^ Клитцинг, (o3o3o3x * c3o3o3o - lin)
- ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсетта в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
- ^ Клитцинг, (o3o3x3o * c3o3o3o - ролин)
- ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсетта в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
Ссылки [ править ]
- Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Клитцинг, Ричард. «7D однородные многогранники (многогранники)» . o3o3o3x * c3o3o3o - lin, o3o3x3o * c3o3o3o - ролин
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |