Равномерный 8-многогранник

Графы трех правильных и связанных однородных многогранников .
8-симплекс	Ректифицированный 8-симплексный		Усеченный 8-симплексный
Сквозной 8-симплексный	Ранцинированный 8-симплексный		Стерилизованный 8-симплексный
Пятисторонний 8-симплексный	Hexicated 8-симплекс		Семеричный 8-симплексный
8-ортоплекс	Ректифицированный 8-ортоплекс		Усеченный 8-ортоплекс
Кантеллированный 8-ортоплекс		Ранцинированный 8-ортоплекс
Гексикат 8-ортоплекс		Скошенный 8-куб
Runcinated 8-кубик	Стерилизованный 8 куб.		Пятиугольный 8-куб
Проклятый 8-куб		Семеричный 8-куб
8-куб	Ректифицированный 8-куб.		Усеченный 8-куб
8-полукруглый	Усеченный 8-полукуб		Сквозной 8-полукуб
Runcinated 8-demicube		Стерилизованный 8-сегментный демикуб
Пятиугольник 8-полукуб		Проклятый 8-demicube
4 21	1 42		2 41

В восемь-мерной геометрии , восемь-мерный многогранник или 8-многогранник является многогранник , содержащихся 7-многогранника гранями. Каждый гребень 6-многогранника разделяет ровно две грани 7-многогранника .

Равномерный 8-многогранник является одним , который является вершина-симметрическим и построен из однородных 7-многогранника граней.

Правильные 8-многогранники [ править ]

Правильные 8-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p, q, r, s, t, u, v} с гранями 7-многогранников v {p, q, r, s, t, u} вокруг каждой вершины .

Таких выпуклых правильных 8-многогранников ровно три :

{3,3,3,3,3,3,3} - 8-симплексный
{4,3,3,3,3,3,3} - 8-куб.
{3,3,3,3,3,3,4} - 8-ортоплекс

Не существует невыпуклых правильных 8-многогранников.

Характеристики [ править ]

Топология любого данного 8-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[1]

Значение характеристики Эйлера, используемой для характеристики многогранников, бесполезно обобщается на более высокие измерения и равно нулю для всех 8-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[1]

Точно так же понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[1]

Равномерные 8-многогранники фундаментальными группами Кокстера [ править ]

Равномерные 8-многогранники с отражающей симметрией могут быть порождены этими четырьмя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина :

#	Группа Коксетера		Формы
1	А ₈	[3 ⁷ ]	135
2	BC ₈	[4,3 ⁶ ]	255
3	D ₈	[3 ^5,1,1 ]	191 (64 уникальных)
4	E 8	[3 ^4,2,1 ]	255

Выбранные регулярные и равномерные 8-многогранники из каждого семейства включают:

Семейство симплексных : A ₈ [3 ⁷ ] -
- 135 однородных 8-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, включая один регулярный:
  1. {3 ⁷ } - 8-симплекс или эннеа-9-топ или эннеазеттон -
Семейство гиперкубов / ортоплексов : B ₈ [4,3 ⁶ ] -
- 255 равномерных 8-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, включая два регулярных:
  1. {4,3 ⁶ } - куб 8 или октеракт -
  2. {3 ⁶ , 4} - 8-ортоплекс или октакросс -
Семейство Demihypercube D ₈ : [3 ^5,1,1 ] -
- 191 равномерный 8-многогранник как перестановка колец в групповой диаграмме, в том числе:
  1. {3,3 ^5,1 } - 8-полукуб или демиокуб , 1 ₅₁ -; также как h {4,3 ⁶ }.
  2. {3,3,3,3,3,3 ^1,1 } - 8-ортоплекс , 5 ₁₁ -
Семейство E-многогранников Семейство E ₈ : [3 ^4,1,1 ] -
- 255 однородных 8-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, в том числе:
  1. {3,3,3,3,3 ^2,1 } - полурегулярное правило Торольда Госсета 4 21 ,
  2. {3,3 ^4,2 } - форменная 1 42 ,,
  3. {3,3,3 ^4,1 } - форменная 2 41 ,

Однородные призматические формы [ править ]

Есть много однородных призматических семейств, в том числе:

Однородные семейства призм из 8-ми многогранников
#	Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
7 + 1
1	А ₇ А ₁	[3,3,3,3,3,3] × []
2	В ₇ А ₁	[4,3,3,3,3,3] × []
3	Д ₇ А ₁	[3 ^4,1,1 ] × []
4	E 7 A ₁	[3 ^3,2,1 ] × []
6 + 2
1	A ₆ I ₂ (p)	[3,3,3,3,3] × [p]
2	В ₆ И ₂ (п)	[4,3,3,3,3] × [p]
3	D ₆ I ₂ (p)	[3 ^3,1,1 ] × [p]
4	E ₆ I ₂ (p)	[3,3,3,3,3] × [p]
6 + 1 + 1
1	А ₆ А ₁ А ₁	[3,3,3,3,3] × [] x []
2	В ₆ А ₁ А ₁	[4,3,3,3,3] × [] x []
3	D ₆ A ₁ A ₁	[3 ^3,1,1 ] × [] x []
4	E ₆ A ₁ A ₁	[3,3,3,3,3] × [] x []
5 + 3
1	А ₅ А ₃	[3 ⁴ ] × [3,3]
2	В ₅ А ₃	[4,3 ³ ] × [3,3]
3	Д ₅ А ₃	[3 ^2,1,1 ] × [3,3]
4	А ₅ В ₃	[3 ⁴ ] × [4,3]
5	В ₅ В ₃	[4,3 ³ ] × [4,3]
6	Д ₅ В ₃	[3 ^2,1,1 ] × [4,3]
7	А ₅ Н ₃	[3 ⁴ ] × [5,3]
8	В ₅ Н ₃	[4,3 ³ ] × [5,3]
9	Д ₅ Н ₃	[3 ^2,1,1 ] × [5,3]
5 + 2 + 1
1	A ₅ I ₂ (p) A ₁	[3,3,3] × [p] × []
2	В ₅ И ₂ (п) А ₁	[4,3,3] × [p] × []
3	D ₅ I ₂ (p) A ₁	[3 ^2,1,1 ] × [p] × []
5 + 1 + 1 + 1
1	А ₅ А ₁ А ₁ А ₁	[3,3,3] × [] × [] × []
2	В ₅ А ₁ А ₁ А ₁	[4,3,3] × [] × [] × []
3	D ₅ A ₁ A ₁ A ₁	[3 ^2,1,1 ] × [] × [] × []
4 + 4
1	А ₄ А ₄	[3,3,3] × [3,3,3]
2	В ₄ А ₄	[4,3,3] × [3,3,3]
3	D ₄ A ₄	[3 ^1,1,1 ] × [3,3,3]
4	F ₄ A ₄	[3,4,3] × [3,3,3]
5	H ₄ A ₄	[5,3,3] × [3,3,3]
6	В ₄ В ₄	[4,3,3] × [4,3,3]
7	Д ₄ В ₄	[3 ^1,1,1 ] × [4,3,3]
8	F ₄ B ₄	[3,4,3] × [4,3,3]
9	H ₄ B ₄	[5,3,3] × [4,3,3]
10	Д ₄ Д ₄	[3 ^1,1,1 ] × [3 ^1,1,1 ]
11	П ₄ Д ₄	[3,4,3] × [3 ^1,1,1 ]
12	В ₄ Д ₄	[5,3,3] × [3 ^1,1,1 ]
13	F ₄ × F ₄	[3,4,3] × [3,4,3]
14	В ₄ × Ж ₄	[5,3,3] × [3,4,3]
15	H ₄ H ₄	[5,3,3] × [5,3,3]
4 + 3 + 1
1	А ₄ А ₃ А ₁	[3,3,3] × [3,3] × []
2	А ₄ В ₃ А ₁	[3,3,3] × [4,3] × []
3	А ₄ Н ₃ А ₁	[3,3,3] × [5,3] × []
4	В ₄ А ₃ А ₁	[4,3,3] × [3,3] × []
5	В ₄ В ₃ А ₁	[4,3,3] × [4,3] × []
6	В ₄ Н ₃ А ₁	[4,3,3] × [5,3] × []
7	H ₄ A ₃ A ₁	[5,3,3] × [3,3] × []
8	H ₄ B ₃ A ₁	[5,3,3] × [4,3] × []
9	H ₄ H ₃ A ₁	[5,3,3] × [5,3] × []
10	F ₄ A ₃ A ₁	[3,4,3] × [3,3] × []
11	F ₄ B ₃ A ₁	[3,4,3] × [4,3] × []
12	F ₄ H ₃ A ₁	[3,4,3] × [5,3] × []
13	D ₄ A ₃ A ₁	[3 ^1,1,1 ] × [3,3] × []
14	D ₄ B ₃ A ₁	[3 ^1,1,1 ] × [4,3] × []
15	D ₄ H ₃ A ₁	[3 ^1,1,1 ] × [5,3] × []
4 + 2 + 2
...
4 + 2 + 1 + 1
...
4 + 1 + 1 + 1 + 1
...
3 + 3 + 2
1	A ₃ A ₃ I ₂ (p)	[3,3] × [3,3] × [p]
2	B ₃ A ₃ I ₂ (p)	[4,3] × [3,3] × [p]
3	H ₃ A ₃ I ₂ (p)	[5,3] × [3,3] × [p]
4	B ₃ B ₃ I ₂ (p)	[4,3] × [4,3] × [p]
5	H ₃ B ₃ I ₂ (p)	[5,3] × [4,3] × [p]
6	H ₃ H ₃ I ₂ (p)	[5,3] × [5,3] × [p]
3 + 3 + 1 + 1
1	А ₃² А ₁²	[3,3] × [3,3] × [] × []
2	В ₃ А ₃ А ₁²	[4,3] × [3,3] × [] × []
3	H ₃ A ₃ A ₁²	[5,3] × [3,3] × [] × []
4	В ₃ В ₃ А ₁²	[4,3] × [4,3] × [] × []
5	H ₃ B ₃ A ₁²	[5,3] × [4,3] × [] × []
6	H ₃ H ₃ A ₁²	[5,3] × [5,3] × [] × []
3 + 2 + 2 + 1
1	A ₃ I ₂ (p) I ₂ (q) A ₁	[3,3] × [p] × [q] × []
2	B ₃ I ₂ (p) I ₂ (q) A ₁	[4,3] × [p] × [q] × []
3	H ₃ I ₂ (p) I ₂ (q) A ₁	[5,3] × [p] × [q] × []
3 + 2 + 1 + 1 + 1
1	A ₃ I ₂ (p) A ₁³	[3,3] × [p] × [] x [] × []
2	В ₃ И ₂ (п) А ₁³	[4,3] × [p] × [] x [] × []
3	H ₃ I ₂ (p) A ₁³	[5,3] × [p] × [] x [] × []
3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1	А ₃ А ₁⁵	[3,3] × [] x [] × [] x [] × []
2	В ₃ А ₁⁵	[4,3] × [] x [] × [] x [] × []
3	H ₃ A ₁⁵	[5,3] × [] x [] × [] x [] × []
2 + 2 + 2 + 2
1	I ₂ (p) I ₂ (q) I ₂ (r) I ₂ (s)	[p] × [q] × [r] × [s]
2 + 2 + 2 + 1 + 1
1	I ₂ (p) I ₂ (q) I ₂ (r) A ₁²	[p] × [q] × [r] × [] × []
2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
2	I ₂ (p) I ₂ (q) A ₁⁴	[p] × [q] × [] × [] × [] × []
2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1	И ₂ (п) А ₁⁶	[p] × [] × [] × [] × [] × [] × []
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1	А ₁⁸	[] × [] × [] × [] × [] × [] × [] × []

Аналого ₈ семья [ править ]

Семейство A ₈ имеет симметрию порядка 362880 (9 факториал ).

Существует 135 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. (128 + 8-1 случаев) Все они перечислены ниже. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.

См. Также список 8-симплексных многогранников для симметричных плоских графов Кокстера этих многогранников.

A ₈ равномерные многогранники
#	Диаграмма Кокстера-Дынкина	Индексы усечения	Имя Джонсон	Базовая точка	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера-Дынкина	Индексы усечения	Имя Джонсон	Базовая точка	7	6	5	4	3	2	1	0
1		т ₀	8-симплекс (ene)	(0,0,0,0,0,0,0,0,1)	9	36	84	126	126	84	36	9
2		т ₁	Ректифицированный 8-симплексный (rene)	(0,0,0,0,0,0,0,1,1)	18	108	336	630	576	588	252	36
3		т ₂	Биректифицированный 8-симплексный (бене)	(0,0,0,0,0,0,1,1,1)	18	144	588	1386	2016 г.	1764	756	84
4		т ₃	Триректифицированный 8-симплексный (trene)	(0,0,0,0,0,1,1,1,1)							1260	126
5		т _0,1	Усеченный 8-симплекс (тен)	(0,0,0,0,0,0,0,1,2)							288	72
6		т _0,2	Сквозной 8-симплексный	(0,0,0,0,0,0,1,1,2)							1764	252
7		т _1,2	Bitruncated 8-симплексный	(0,0,0,0,0,0,1,2,2)							1008	252
8		т _0,3	Ранцинированный 8-симплексный	(0,0,0,0,0,1,1,1,2)							4536	504
9		т _1,3	Бикантеллированный 8-симплексный	(0,0,0,0,0,1,1,2,2)							5292	756
10		т _2,3	Усеченный 8-симплекс	(0,0,0,0,0,1,2,2,2)							2016 г.	504
11		т _0,4	Стерилизованный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,1,1,1,2)							6300	630
12		т _1,4	Бирунцинированный 8-симплекс	(0,0,0,0,1,1,1,2,2)							11340	1260
13		т _2,4	Треугольник 8-симплекс	(0,0,0,0,1,1,2,2,2)							8820	1260
14		т _3,4	Квадроусеченный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,2,2,2,2)							2520	630
15		т _0,5	Пятисторонний 8-симплексный	(0,0,0,1,1,1,1,1,2)							5040	504
16		т _1,5	Бистерифицированный 8-симплексный	(0,0,0,1,1,1,1,2,2)							12600	1260
17		т _2,5	Усеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,1,1,2,2,2)							15120	1680
18		т _0,6	Hexicated 8-симплекс	(0,0,1,1,1,1,1,1,2)							2268	252
19		т _1,6	Двузубчатый 8-симплексный	(0,0,1,1,1,1,1,2,2)							7560	756
20		т _0,7	Семеричный 8-симплексный	(0,1,1,1,1,1,1,1,2)							504	72
21 год		т _0,1,2	Cantitruncated 8-симплекс	(0,0,0,0,0,0,1,2,3)							2016 г.	504
22		т _0,1,3	Runcitruncated 8-симплекс	(0,0,0,0,0,1,1,2,3)							9828	1512
23		т _0,2,3	Runcicantellated 8-симплекс	(0,0,0,0,0,1,2,2,3)							6804	1512
24		т _1,2,3	Бикантитоусеченный 8-симплекс	(0,0,0,0,0,1,2,3,3)							6048	1512
25		т _0,1,4	Стеритоусеченный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,1,1,2,3)							20160	2520
26 год		т _0,2,4	Стерикантеллированный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,1,2,2,3)							26460	3780
27		т _1,2,4	Biruncitruncated 8-симплекс	(0,0,0,0,1,1,2,3,3)							22680	3780
28 год		т _0,3,4	Стерирунированный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,2,2,2,3)							12600	2520
29		т _1,3,4	Biruncicantellated 8-симплекс	(0,0,0,0,1,2,2,3,3)							18900	3780
30		т _2,3,4	Трикантитусеченный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,2,3,3,3)							10080	2520
31 год		т _0,1,5	Пятиусеченный 8-симплекс	(0,0,0,1,1,1,1,2,3)							21420	2520
32		т _0,2,5	Пятисветвленный 8-симплекс	(0,0,0,1,1,1,2,2,3)							42840	5040
33		т _1,2,5	Бистеритусеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,1,1,2,3,3)							35280	5040
34		т _0,3,5	Пятиусеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,1,2,2,2,3)							37800	5040
35 год		т _1,3,5	Бистерикантеллированный 8-симплексный	(0,0,0,1,1,2,2,3,3)							52920	7560
36		т _2,3,5	Усеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,1,2,3,3,3)							27720	5040
37		т _0,4,5	Пентистерифицированный 8-симплексный	(0,0,0,1,2,2,2,2,3)							13860	2520
38		т _1,4,5	Бистеринцинированный 8-симплекс	(0,0,0,1,2,2,2,3,3)							30240	5040
39		т _0,1,6	Гекситусеченный 8-симплекс	(0,0,1,1,1,1,1,2,3)							12096	1512
40		т _0,2,6	Гексикантеллированный 8-симплексный	(0,0,1,1,1,1,2,2,3)							34020	3780
41 год		т _1,2,6	Двузубчатоусеченный 8-симплексный	(0,0,1,1,1,1,2,3,3)							26460	3780
42		т _0,3,6	Гексирунцинированный 8-симплекс	(0,0,1,1,1,2,2,2,3)							45360	5040
43 год		т _1,3,6	Бипентикантеллированный 8-симплексный	(0,0,1,1,1,2,2,3,3)							60480	7560
44 год		т _0,4,6	Гексистерифицированный 8-симплексный	(0,0,1,1,2,2,2,2,3)							30240	3780
45		т _0,5,6	Гексипентеллитный 8-симплексный	(0,0,1,2,2,2,2,2,3)							9072	1512
46		т _0,1,7	Гептоусеченный 8-симплексный	(0,1,1,1,1,1,1,2,3)							3276	504
47		т _0,2,7	Гептикантеллированный 8-симплексный	(0,1,1,1,1,1,2,2,3)							12852	1512
48		т _0,3,7	Гептирунцинированный 8-симплекс	(0,1,1,1,1,2,2,2,3)							23940	2520
49		т _0,1,2,3	Runcicantitruncated 8-симплекс	(0,0,0,0,0,1,2,3,4)							12096	3024
50		т _0,1,2,4	Стериканитусеченный 8-симплекс	(0,0,0,0,1,1,2,3,4)							45360	7560
51		т _0,1,3,4	Стерино-усеченный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,2,2,3,4)							34020	7560
52		т _0,2,3,4	Стерируксантеллированный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,2,3,3,4)							34020	7560
53		т _1,2,3,4	Biruncicantitruncated 8-симплекс	(0,0,0,0,1,2,3,4,4)							30240	7560
54		т _0,1,2,5	Пентиканусоусеченный 8-симплекс	(0,0,0,1,1,1,2,3,4)							70560	10080
55		т _0,1,3,5	Пятиусеченное усеченное 8-симплексное	(0,0,0,1,1,2,2,3,4)							98280	15120
56		т _0,2,3,5	Пятисуставные 8-симплексные	(0,0,0,1,1,2,3,3,4)							90720	15120
57		т _1,2,3,5	Бистерикантоусеченный 8-симплекс	(0,0,0,1,1,2,3,4,4)							83160	15120
58		т _0,1,4,5	Пентистеритусеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,2,2,2,3,4)							50400	10080
59		т _0,2,4,5	Пентистерический 8-симплексный	(0,0,0,1,2,2,3,3,4)							83160	15120
60		т _1,2,4,5	Бистерин-усеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,2,2,3,4,4)							68040	15120
61		т _0,3,4,5	Пентистерирунцинированный 8-симплекс	(0,0,0,1,2,3,3,3,4)							50400	10080
62		т _1,3,4,5	Bisteriruncicantellated 8-симплекс	(0,0,0,1,2,3,3,4,4)							75600	15120
63		т _2,3,4,5	Усеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,2,3,4,4,4)							40320	10080
64		т _0,1,2,6	Гексикант усеченный 8-симплекс	(0,0,1,1,1,1,2,3,4)							52920	7560
65		т _0,1,3,6	Гексирунциркулированный 8-симплексный	(0,0,1,1,1,2,2,3,4)							113400	15120
66		т _0,2,3,6	Шестигранникантеллированный 8-симплексный	(0,0,1,1,1,2,3,3,4)							98280	15120
67		т _1,2,3,6	Бипентикоусеченное усеченное 8-симплексное	(0,0,1,1,1,2,3,4,4)							90720	15120
68		т _0,1,4,6	Гексистерия усеченная 8-симплексная	(0,0,1,1,2,2,2,3,4)							105840	15120
69		т _0,2,4,6	Гексистерический 8-симплексный	(0,0,1,1,2,2,3,3,4)							158760	22680
70		т _1,2,4,6	Бипентирунцирующее усеченное 8-симплексное	(0,0,1,1,2,2,3,4,4)							136080	22680
71		т _0,3,4,6	Гексистеринцинированный 8-симплекс	(0,0,1,1,2,3,3,3,4)							90720	15120
72		т _1,3,4,6	Двустворчатый 8-симплексный	(0,0,1,1,2,3,3,4,4)							136080	22680
73		т _0,1,5,6	Гексипентитусеченный 8-симплекс	(0,0,1,2,2,2,2,3,4)							41580	7560
74		т _0,2,5,6	Гексипентичный 8-симплексный	(0,0,1,2,2,2,3,3,4)							98280	15120
75		т _1,2,5,6	Бипентистерит усеченный 8-симплексный	(0,0,1,2,2,2,3,4,4)							75600	15120
76		т _0,3,5,6	Гексипентирунцинированный 8-симплекс	(0,0,1,2,2,3,3,3,4)							98280	15120
77		т _0,4,5,6	Гексипентистерифицированный 8-симплексный	(0,0,1,2,3,3,3,3,4)							41580	7560
78		т _0,1,2,7	Гептикотитусеченный 8-симплекс	(0,1,1,1,1,1,2,3,4)							18144	3024
79		т _0,1,3,7	Гептирунцитусеченный 8-симплексный	(0,1,1,1,1,2,2,3,4)							56700	7560
80		т _0,2,3,7	Гептирунцикантеллированный 8-симплексный	(0,1,1,1,1,2,3,3,4)							45360	7560
81 год		т _0,1,4,7	Гептистерит усеченный 8-симплексный	(0,1,1,1,2,2,2,3,4)							80640	10080
82		т _0,2,4,7	Гептистерический 8-симплексный	(0,1,1,1,2,2,3,3,4)							113400	15120
83		т _0,3,4,7	Гептистерирунцинированный 8-симплекс	(0,1,1,1,2,3,3,3,4)							60480	10080
84		т _0,1,5,7	Гептипентусеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,2,2,2,3,4)							56700	7560
85		т _0,2,5,7	Гептипентикантеллированный 8-симплексный	(0,1,1,2,2,2,3,3,4)							120960	15120
86		т _0,1,6,7	Гептигекситусеченный 8-симплексный	(0,1,2,2,2,2,2,3,4)							18144	3024
87		т _0,1,2,3,4	Стерируксусный усеченный 8-симплексный	(0,0,0,0,1,2,3,4,5)							60480	15120
88		т _0,1,2,3,5	Пятиусеченный усеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,1,2,3,4,5)							166320	30240
89		т _0,1,2,4,5	Пентистериканитусеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,2,2,3,4,5)							136080	30240
90		т _0,1,3,4,5	Пентистерирункоусеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,2,3,3,4,5)							136080	30240
91		т _0,2,3,4,5	Pentisteriruncicantellated 8-симплекс	(0,0,0,1,2,3,4,4,5)							136080	30240
92		т _1,2,3,4,5	Бистерирункитусеченный 8-симплексный	(0,0,0,1,2,3,4,5,5)							120960	30240
93		т _0,1,2,3,6	Гексирунициантитусеченный 8-симплексный	(0,0,1,1,1,2,3,4,5)							181440	30240
94		т _0,1,2,4,6	Гексистерикантитусеченный 8-симплексный	(0,0,1,1,2,2,3,4,5)							272160	45360
95		т _0,1,3,4,6	Гексистерин-усеченный 8-симплексный	(0,0,1,1,2,3,3,4,5)							249480	45360
96		т _0,2,3,4,6	Hexisteriruncicantellated 8-симплекс	(0,0,1,1,2,3,4,4,5)							249480	45360
97		т _1,2,3,4,6	Бипентирунцирующее усеченное 8-симплексное	(0,0,1,1,2,3,4,5,5)							226800	45360
98		т _0,1,2,5,6	Гексипентикантитусеченный 8-симплекс	(0,0,1,2,2,2,3,4,5)							151200	30240
99		т _0,1,3,5,6	Гексипентирноусеченный 8-симплексный	(0,0,1,2,2,3,3,4,5)							249480	45360
100		т _0,2,3,5,6	Шестигранникантеллированный 8-симплексный	(0,0,1,2,2,3,4,4,5)							226800	45360
101		т _1,2,3,5,6	Бипентистерический усеченный 8-симплексный	(0,0,1,2,2,3,4,5,5)							204120	45360
102		т _0,1,4,5,6	Гексипентистерит усеченный 8-симплексный	(0,0,1,2,3,3,3,4,5)							151200	30240
103		т _0,2,4,5,6	Гексипентистерический 8-симплексный	(0,0,1,2,3,3,4,4,5)							249480	45360
104		т _0,3,4,5,6	Гексипентистерирунцинированный 8-симплекс	(0,0,1,2,3,4,4,4,5)							151200	30240
105		т _0,1,2,3,7	Гептирунциентитусеченный 8-симплексный	(0,1,1,1,1,2,3,4,5)							83160	15120
106		т _0,1,2,4,7	Гептистерикантитусеченный 8-симплексный	(0,1,1,1,2,2,3,4,5)							196560	30240
107		т _0,1,3,4,7	Гептистерирунциркулированный 8-симплексный	(0,1,1,1,2,3,3,4,5)							166320	30240
108		т _0,2,3,4,7	Гептистерирунксикантеллированный 8-симплексный	(0,1,1,1,2,3,4,4,5)							166320	30240
109		т _0,1,2,5,7	Гептипентикантитусеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,2,2,3,4,5)							196560	30240
110		т _0,1,3,5,7	Гептипентирункусеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,2,3,3,4,5)							294840	45360
111		т _0,2,3,5,7	Гептипентирунцикантеллированный 8-симплексный	(0,1,1,2,2,3,4,4,5)							272160	45360
112		т _0,1,4,5,7	Гептипентистерит усеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,3,3,3,4,5)							166320	30240
113		т _0,1,2,6,7	Гептигексикант усеченный 8-симплекс	(0,1,2,2,2,2,3,4,5)							83160	15120
114		т _0,1,3,6,7	Гептигексирунциркулированный 8-симплексный	(0,1,2,2,2,3,3,4,5)							196560	30240
115		т _0,1,2,3,4,5	Pentisteriruncicantitruncated 8-simplex	(0,0,0,1,2,3,4,5,6)							241920	60480
116		т _0,1,2,3,4,6	Гексистерирункитусеченный 8-симплексный	(0,0,1,1,2,3,4,5,6)							453600	90720
117		т _0,1,2,3,5,6	Гексипентирунциентусеченный 8-симплекс	(0,0,1,2,2,3,4,5,6)							408240	90720
118		т _0,1,2,4,5,6	Гексипентистерикантитроусеченный 8-симплекс	(0,0,1,2,3,3,4,5,6)							408240	90720
119		т _0,1,3,4,5,6	Гексипентистер, усеченный 8-симплексный	(0,0,1,2,3,4,4,5,6)							408240	90720
120		т _0,2,3,4,5,6	Гексипентистер - трехсторонний 8-симплексный	(0,0,1,2,3,4,5,5,6)							408240	90720
121		т _1,2,3,4,5,6	Бипентистерирунксикантусеченный 8-симплексный	(0,0,1,2,3,4,5,6,6)							362880	90720
122		т _0,1,2,3,4,7	Гептистерирункитусеченный 8-симплексный	(0,1,1,1,2,3,4,5,6)							302400	60480
123		т _0,1,2,3,5,7	Гептипентирусусеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,2,3,4,5,6)							498960	90720
124		т _0,1,2,4,5,7	Гептипентистерикантитроусеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,3,3,4,5,6)							453600	90720
125		т _0,1,3,4,5,7	Гептипентистер, усеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,3,4,4,5,6)							453600	90720
126		т _0,2,3,4,5,7	Гептипентистер - трехсторонний 8-симплексный	(0,1,1,2,3,4,5,5,6)							453600	90720
127		т _0,1,2,3,6,7	Гептигексируницинтусеченный 8-симплексный	(0,1,2,2,2,3,4,5,6)							302400	60480
128		т _0,1,2,4,6,7	Гептигексистерикантитроусеченный 8-симплексный	(0,1,2,2,3,3,4,5,6)							498960	90720
129		т _0,1,3,4,6,7	Гептигексистерирунция усеченный 8-симплексный	(0,1,2,2,3,4,4,5,6)							453600	90720
130		т _0,1,2,5,6,7	Гептигексипентикантусеченный 8-симплекс	(0,1,2,3,3,3,4,5,6)							302400	60480
131		т _{0,1,2,3,4,5,6}	Hexipentisteriruncicantitruncated 8-simplex	(0,0,1,2,3,4,5,6,7)							725760	181440
132		т _{0,1,2,3,4,5,7}	Гептипентистер, усеченный 8-симплексный	(0,1,1,2,3,4,5,6,7)							816480	181440
133		т _{0,1,2,3,4,6,7}	Гептигексистерирункитусеченный 8-симплексный	(0,1,2,2,3,4,5,6,7)							816480	181440
134		т _{0,1,2,3,5,6,7}	Гептигексипентируницинтусеченный 8-симплекс	(0,1,2,3,3,4,5,6,7)							816480	181440
135		т _{0,1,2,3,4,5,6,7}	Омнитусеченный 8-симплексный	(0,1,2,3,4,5,6,7,8)							1451520	362880

B ₈ семьи [ править ]

Семейство B ₈ имеет симметрию порядка 10321920 (8 факториалов x 2 ⁸ ). Существует 255 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.

См. Также список многогранников B8 для симметричных плоских графов Кокстера этих многогранников.

B ₈ однородных многогранников
#	Диаграмма Кокстера-Дынкина	Символ Шлефли	Имя	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера-Дынкина	Символ Шлефли	Имя	7	6	5	4	3	2	1	0
1		t ₀ {3 ⁶ , 4}	8-ортоплекс Diacosipentacontahexazetton (ek)	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16
2		т ₁ {3 ⁶ , 4}	Ректифицированный 8-ортоплекс Ректифицированный диакосипентаконтагексазеттон (рек)	272	3072	8960	12544	10080	4928	1344	112
3		t ₂ {3 ⁶ , 4}	Биректифицированный 8-ортоплекс Биректифицированный диакосипентаконтагексазеттон (кора)	272	3184	16128	34048	36960	22400	6720	448
4		t ₃ {3 ⁶ , 4}	Триректифицированный 8-ортоплекс Триректифицированный диакосипентаконтагексазеттон (тарк)	272	3184	16576	48384	71680	53760	17920	1120
5		т ₃ {4,3 ⁶ }	Триректифицированный 8-кубический триректифицированный октеракт (тро)	272	3184	16576	47712	80640	71680	26880	1792
6		т ₂ {4,3 ⁶ }	Биректифицированный 8-кубический Биректифицированный октеракт (братан)	272	3184	14784	36960	55552	50176	21504	1792
7		т ₁ {4,3 ⁶ }	Ректифицированный 8-кубовый Ректифицированный октеракт (лицевой панели)	272	2160	7616	15456	19712	16128	7168	1024
8		т ₀ {4,3 ⁶ }	8-кубический октеракт (окто)	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256
9		t _0,1 {3 ⁶ , 4}	Усеченный 8-ортоплекс Усеченный diacosipentacontahexazetton (tek)							1456	224
10		т _0,2 {3 ⁶ , 4}	Кантеллированный 8-ортоплекс Малый ромбовидный диакосипентаконтагексазеттон (срек)							14784	1344
11		т _1,2 {3 ⁶ , 4}	Bitruncated 8-ортоплекс Bitruncated diacosipentacontahexazetton (batek)							8064	1344
12		т _0,3 {3 ⁶ , 4}	Ранцинированный 8-ортоплекс Малый призматический диакозипентаконтагексазеттон (спек)							60480	4480
13		т _1,3 {3 ⁶ , 4}	Бикантеллированный 8-ортоплекс Малый биомбированный диакосипентаконтагексазеттон (саборк)							67200	6720
14		т _2,3 {3 ⁶ , 4}	Тритусеченный 8-ортоплекс Тритусеченный диакосипентаконтагексазеттон (татек)							24640	4480
15		т _0,4 {3 ⁶ , 4}	Стерилизованный 8-ортоплекс Малоклеточный диакосипентаконтагексазеттон (скак)							125440	8960
16		т _1,4 {3 ⁶ , 4}	Бирунцинированный 8-ортоплекс Малый бипризмированный диакосипентаконтагексазеттон (сабпек)							215040	17920
17		т _2,4 {3 ⁶ , 4}	Треугольник 8-ортоплекс Малый трехгранный диакосипентаконтагексазеттон (сатрек)							161280	17920
18		т _3,4 {4,3 ⁶ }	Квадроусеченный 8-кубический октерактидиакозипентаконтагексазеттон (ок)							44800	8960
19		т _0,5 {3 ⁶ , 4}	Пентеллированный 8-ортоплекс Малый тератированный диакосипентаконтагексазеттон (сетек)							134400	10752
20		т _1,5 {3 ⁶ , 4}	Бистерифицированный 8-ортоплекс Малый двояковыпуклый диакосипентаконтагексазеттон (сибчак)							322560	26880
21 год		т _2,5 {4,3 ⁶ }	Усеченный 8-кубик Малый трипризмато-октерактидиакосипентаконтагексазеттон (ситпоке)							376320	35840
22		т _2,4 {4,3 ⁶ }	Треугольник 8-кубический Малый трехгранный октеракт (сатро)							215040	26880
23		т _2,3 {4,3 ⁶ }	Триусеченный 8-кубический трехусеченный октеракт (тато)							48384	10752
24		т _0,6 {3 ⁶ , 4}	Hexicated 8- orthoplex Small petated diacosipentacontahexazetton (супек)							64512	7168
25		т _1,6 {4,3 ⁶ }	Двузубчатый 8-кубик Малый битери-октерактидиакосипентаконтагексазеттон (сабток)							215040	21504
26 год		т _1,5 {4,3 ⁶ }	Бистерифицированный 8-кубовый Малый двояковыпуклый октеракт (sobco)							358400	35840
27		т _1,4 {4,3 ⁶ }	Бирунцинированный 8-кубический Малый двупризматический октеракт (сабепо)							322560	35840
28 год		т _1,3 {4,3 ⁶ }	Двухслойный 8-кубический Малый биомбированный октеракт (субро)							150528	21504
29		т _1,2 {4,3 ⁶ }	Bitruncated 8-cube Bitruncated octeract (bato)							28672	7168
30		т _0,7 {4,3 ⁶ }	Семеричный 8-кубик Малый эксиоктератидиакозипентаконтагексазеттон (саксок)							14336	2048
31 год		т _0,6 {4,3 ⁶ }	Hexicated 8-cube Маленький петатированный октеракт (supo)							64512	7168
32		т _0,5 {4,3 ⁶ }	Пятиугольный 8-кубический Малый теративный октеракт (сото)							143360	14336
33		т _0,4 {4,3 ⁶ }	Стерифицированный 8-кубовый октеракт с малой ячейкой (soco)							179200	17920
34		т _0,3 {4,3 ⁶ }	Ранцинированный 8-кубический Малый призматический октеракт (сопо)							129024	14336
35 год		т _0,2 {4,3 ⁶ }	Скошенный 8-кубический малый ромбовидный октеракт (соро)							50176	7168
36		т _0,1 {4,3 ⁶ }	Усеченный 8-кубический усеченный октеракт (tocto)							8192	2048
37		т _0,1,2 {3 ⁶ , 4}	Cantitruncated 8- orthoplex Большой ромбовидный diacosipentacontahexazetton							16128	2688
38		т _0,1,3 {3 ⁶ , 4}	Runcitruncated 8- orthoplex Prismatotruncated diacosipentacontahexazetton							127680	13440
39		т _0,2,3 {3 ⁶ , 4}	Runcicantellated 8- orthoplex Prismatorhombated diacosipentacontahexazetton							80640	13440
40		т _1,2,3 {3 ⁶ , 4}	Бикантитроусеченный 8-ортоплекс Большой биомбированный диакосипентаконтагексазеттон							73920	13440
41 год		т _0,1,4 {3 ⁶ , 4}	Стеритоусеченный 8-ортоплекс Cellitruncated diacosipentacontahexazetton							394240	35840
42		т _0,2,4 {3 ⁶ , 4}	Стерикантеллированный 8-ортоплекс Cellirhombated diacosipentacontahexazetton							483840	53760
43 год		т _1,2,4 {3 ⁶ , 4}	Бирунциркулированный 8-ортоплекс Бипризматотрезанный диакосипентаконтагексазеттон							430080	53760
44 год		т _0,3,4 {3 ⁶ , 4}	Стерирунцинированный 8-ортоплекс Celliprismated diacosipentacontahexazetton							215040	35840
45		т _1,3,4 {3 ⁶ , 4}	Biruncicantellated 8- orthoplex Biprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							322560	53760
46		т _2,3,4 {3 ⁶ , 4}	Трикантитроусеченный 8-ортоплекс Большой трехкомпонентный диакосипентаконтагексазеттон							179200	35840
47		т _0,1,5 {3 ⁶ , 4}	Пентусеченный 8-ортоплекс Teritruncated diacosipentacontahexazetton							564480	53760
48		т _0,2,5 {3 ⁶ , 4}	Пентикантеллированный 8-ортоплекс Terirhombated diacosipentacontahexazetton							1075200	107520
49		т _1,2,5 {3 ⁶ , 4}	Бистеритусеченный 8-ортоплекс Бицеллитусеченный диакосипентаконтагексазеттон							913920	107520
50		т _0,3,5 {3 ⁶ , 4}	Пентирунцинированный 8-ортоплекс Teriprismated diacosipentacontahexazetton							913920	107520
51		т _1,3,5 {3 ⁶ , 4}	Бистерикантеллированный 8-ортоплекс Bicellirhombated diacosipentacontahexazetton							1290240	161280
52		т _2,3,5 {3 ⁶ , 4}	Усеченный 8-ортоплекс Трипризматический усеченный диакосипентаконтагексазеттон							698880	107520
53		т _0,4,5 {3 ⁶ , 4}	Пентистерифицированный 8-ортоплекс Терицеллатный диакосипентаконтагексазеттон							322560	53760
54		т _1,4,5 {3 ⁶ , 4}	Бистерирунцинированный 8-ортоплекс Бицеллипризированный диакосипентаконтагексазеттон							698880	107520
55		т _2,3,5 {4,3 ⁶ }	Усеченный 8-кубический трипризматический октеракт							645120	107520
56		т _2,3,4 {4,3 ⁶ }	Трехгранный 8-кубический Большой трехгранный октеракт							241920	53760
57		т _0,1,6 {3 ⁶ , 4}	Hexitruncated 8-orthoplex Petitruncated diacosipentacontahexazetton							344064	43008
58		t_0,2,6{3⁶,4}	Hexicantellated 8-orthoplex Petirhombated diacosipentacontahexazetton							967680	107520
59		t_1,2,6{3⁶,4}	Bipentitruncated 8-orthoplex Biteritruncated diacosipentacontahexazetton							752640	107520
60		t_0,3,6{3⁶,4}	Hexiruncinated 8-orthoplex Petiprismated diacosipentacontahexazetton							1290240	143360
61		t_1,3,6{3⁶,4}	Bipenticantellated 8-orthoplex Biterirhombated diacosipentacontahexazetton							1720320	215040
62		t_1,4,5{4,3⁶}	Bisteriruncinated 8-cube Bicelliprismated octeract							860160	143360
63		t_0,4,6{3⁶,4}	Hexistericated 8-orthoplex Peticellated diacosipentacontahexazetton							860160	107520
64		t_1,3,6{4,3⁶}	Bipenticantellated 8-cube Biterirhombated octeract							1720320	215040
65		t_1,3,5{4,3⁶}	Bistericantellated 8-cube Bicellirhombated octeract							1505280	215040
66		t_1,3,4{4,3⁶}	Biruncicantellated 8-cube Biprismatorhombated octeract							537600	107520
67		t_0,5,6{3⁶,4}	Hexipentellated 8-orthoplex Petiterated diacosipentacontahexazetton							258048	43008
68		t_1,2,6{4,3⁶}	Bipentitruncated 8-cube Biteritruncated octeract							752640	107520
69		t_1,2,5{4,3⁶}	Bisteritruncated 8-cube Bicellitruncated octeract							1003520	143360
70		t_1,2,4{4,3⁶}	Biruncitruncated 8-cube Biprismatotruncated octeract							645120	107520
71		t_1,2,3{4,3⁶}	Bicantitruncated 8-cube Great birhombated octeract							172032	43008
72		t_0,1,7{3⁶,4}	Heptitruncated 8-orthoplex Exitruncated diacosipentacontahexazetton							93184	14336
73		t_0,2,7{3⁶,4}	Hepticantellated 8-orthoplex Exirhombated diacosipentacontahexazetton							365568	43008
74		t_0,5,6{4,3⁶}	Hexipentellated 8-cube Petiterated octeract							258048	43008
75		t_0,3,7{3⁶,4}	Heptiruncinated 8-orthoplex Exiprismated diacosipentacontahexazetton							680960	71680
76		t_0,4,6{4,3⁶}	Hexistericated 8-cube Peticellated octeract							860160	107520
77		t_0,4,5{4,3⁶}	Pentistericated 8-cube Tericellated octeract							394240	71680
78		t_0,3,7{4,3⁶}	Heptiruncinated 8-cube Exiprismated octeract							680960	71680
79		t_0,3,6{4,3⁶}	Hexiruncinated 8-cube Petiprismated octeract							1290240	143360
80		t_0,3,5{4,3⁶}	Pentiruncinated 8-cube Teriprismated octeract							1075200	143360
81		t_0,3,4{4,3⁶}	Steriruncinated 8-cube Celliprismated octeract							358400	71680
82		t_0,2,7{4,3⁶}	Hepticantellated 8-cube Exirhombated octeract							365568	43008
83		t_0,2,6{4,3⁶}	Hexicantellated 8-cube Petirhombated octeract							967680	107520
84		t_0,2,5{4,3⁶}	Penticantellated 8-cube Terirhombated octeract							1218560	143360
85		t_0,2,4{4,3⁶}	Stericantellated 8-cube Cellirhombated octeract							752640	107520
86		t_0,2,3{4,3⁶}	Runcicantellated 8-cube Prismatorhombated octeract							193536	43008
87		t_0,1,7{4,3⁶}	Heptitruncated 8-cube Exitruncated octeract							93184	14336
88		t_0,1,6{4,3⁶}	Hexitruncated 8-cube Petitruncated octeract							344064	43008
89		t_0,1,5{4,3⁶}	Pentitruncated 8-cube Teritruncated octeract							609280	71680
90		t_0,1,4{4,3⁶}	Steritruncated 8-cube Cellitruncated octeract							573440	71680
91		t_0,1,3{4,3⁶}	Runcitruncated 8-cube Prismatotruncated octeract							279552	43008
92		t_0,1,2{4,3⁶}	Cantitruncated 8-cube Great rhombated octeract							57344	14336
93		t_0,1,2,3{3⁶,4}	Runcicantitruncated 8-orthoplex Great prismated diacosipentacontahexazetton							147840	26880
94		t_0,1,2,4{3⁶,4}	Stericantitruncated 8-orthoplex Celligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							860160	107520
95		t_0,1,3,4{3⁶,4}	Steriruncitruncated 8-orthoplex Celliprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							591360	107520
96		t_0,2,3,4{3⁶,4}	Steriruncicantellated 8-orthoplex Celliprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							591360	107520
97		t_1,2,3,4{3⁶,4}	Biruncicantitruncated 8-orthoplex Great biprismated diacosipentacontahexazetton							537600	107520
98		t_0,1,2,5{3⁶,4}	Penticantitruncated 8-orthoplex Terigreatorhombated diacosipentacontahexazetton							1827840	215040
99		t_0,1,3,5{3⁶,4}	Pentiruncitruncated 8-orthoplex Teriprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							2419200	322560
100		t_0,2,3,5{3⁶,4}	Pentiruncicantellated 8-orthoplex Teriprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							2257920	322560
101		t_1,2,3,5{3⁶,4}	Bistericantitruncated 8-orthoplex Bicelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							2096640	322560
102		t_0,1,4,5{3⁶,4}	Pentisteritruncated 8-orthoplex Tericellitruncated diacosipentacontahexazetton							1182720	215040
103		t_0,2,4,5{3⁶,4}	Pentistericantellated 8-orthoplex Tericellirhombated diacosipentacontahexazetton							1935360	322560
104		t_1,2,4,5{3⁶,4}	Bisteriruncitruncated 8-orthoplex Bicelliprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							1612800	322560
105		t_0,3,4,5{3⁶,4}	Pentisteriruncinated 8-orthoplex Tericelliprismated diacosipentacontahexazetton							1182720	215040
106		t_1,3,4,5{3⁶,4}	Bisteriruncicantellated 8-orthoplex Bicelliprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							1774080	322560
107		t_2,3,4,5{4,3⁶}	Triruncicantitruncated 8-cube Great triprismato-octeractidiacosipentacontahexazetton							967680	215040
108		t_0,1,2,6{3⁶,4}	Hexicantitruncated 8-orthoplex Petigreatorhombated diacosipentacontahexazetton							1505280	215040
109		t_0,1,3,6{3⁶,4}	Hexiruncitruncated 8-orthoplex Petiprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							3225600	430080
110		t_0,2,3,6{3⁶,4}	Hexiruncicantellated 8-orthoplex Petiprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							2795520	430080
111		t_1,2,3,6{3⁶,4}	Bipenticantitruncated 8-orthoplex Biterigreatorhombated diacosipentacontahexazetton							2580480	430080
112		t_0,1,4,6{3⁶,4}	Hexisteritruncated 8-orthoplex Peticellitruncated diacosipentacontahexazetton							3010560	430080
113		t_0,2,4,6{3⁶,4}	Hexistericantellated 8-orthoplex Peticellirhombated diacosipentacontahexazetton							4515840	645120
114		t_1,2,4,6{3⁶,4}	Bipentiruncitruncated 8-orthoplex Biteriprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							3870720	645120
115		t_0,3,4,6{3⁶,4}	Hexisteriruncinated 8-orthoplex Peticelliprismated diacosipentacontahexazetton							2580480	430080
116		t_1,3,4,6{4,3⁶}	Bipentiruncicantellated 8-cube Biteriprismatorhombi-octeractidiacosipentacontahexazetton							3870720	645120
117		t_1,3,4,5{4,3⁶}	Bisteriruncicantellated 8-cube Bicelliprismatorhombated octeract							2150400	430080
118		t_0,1,5,6{3⁶,4}	Hexipentitruncated 8-orthoplex Petiteritruncated diacosipentacontahexazetton							1182720	215040
119		t_0,2,5,6{3⁶,4}	Hexipenticantellated 8-orthoplex Petiterirhombated diacosipentacontahexazetton							2795520	430080
120		t_1,2,5,6{4,3⁶}	Bipentisteritruncated 8-cube Bitericellitrunki-octeractidiacosipentacontahexazetton							2150400	430080
121		t_0,3,5,6{3⁶,4}	Hexipentiruncinated 8-orthoplex Petiteriprismated diacosipentacontahexazetton							2795520	430080
122		t_1,2,4,6{4,3⁶}	Bipentiruncitruncated 8-cube Biteriprismatotruncated octeract							3870720	645120
123		t_1,2,4,5{4,3⁶}	Bisteriruncitruncated 8-cube Bicelliprismatotruncated octeract							1935360	430080
124		t_0,4,5,6{3⁶,4}	Hexipentistericated 8-orthoplex Petitericellated diacosipentacontahexazetton							1182720	215040
125		t_1,2,3,6{4,3⁶}	Bipenticantitruncated 8-cube Biterigreatorhombated octeract							2580480	430080
126		t_1,2,3,5{4,3⁶}	Bistericantitruncated 8-cube Bicelligreatorhombated octeract							2365440	430080
127		t_1,2,3,4{4,3⁶}	Biruncicantitruncated 8-cube Great biprismated octeract							860160	215040
128		t_0,1,2,7{3⁶,4}	Hepticantitruncated 8-orthoplex Exigreatorhombated diacosipentacontahexazetton							516096	86016
129		t_0,1,3,7{3⁶,4}	Heptiruncitruncated 8-orthoplex Exiprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							1612800	215040
130		t_0,2,3,7{3⁶,4}	Heptiruncicantellated 8-orthoplex Exiprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							1290240	215040
131		t_0,4,5,6{4,3⁶}	Hexipentistericated 8-cube Petitericellated octeract							1182720	215040
132		t_0,1,4,7{3⁶,4}	Heptisteritruncated 8-orthoplex Exicellitruncated diacosipentacontahexazetton							2293760	286720
133		t_0,2,4,7{3⁶,4}	Heptistericantellated 8-orthoplex Exicellirhombated diacosipentacontahexazetton							3225600	430080
134		t_0,3,5,6{4,3⁶}	Hexipentiruncinated 8-cube Petiteriprismated octeract							2795520	430080
135		t_0,3,4,7{4,3⁶}	Heptisteriruncinated 8-cube Exicelliprismato-octeractidiacosipentacontahexazetton							1720320	286720
136		t_0,3,4,6{4,3⁶}	Hexisteriruncinated 8-cube Peticelliprismated octeract							2580480	430080
137		t_0,3,4,5{4,3⁶}	Pentisteriruncinated 8-cube Tericelliprismated octeract							1433600	286720
138		t_0,1,5,7{3⁶,4}	Heptipentitruncated 8-orthoplex Exiteritruncated diacosipentacontahexazetton							1612800	215040
139		t_0,2,5,7{4,3⁶}	Heptipenticantellated 8-cube Exiterirhombi-octeractidiacosipentacontahexazetton							3440640	430080
140		t_0,2,5,6{4,3⁶}	Hexipenticantellated 8-cube Petiterirhombated octeract							2795520	430080
141		t_0,2,4,7{4,3⁶}	Heptistericantellated 8-cube Exicellirhombated octeract							3225600	430080
142		t_0,2,4,6{4,3⁶}	Hexistericantellated 8-cube Peticellirhombated octeract							4515840	645120
143		t_0,2,4,5{4,3⁶}	Pentistericantellated 8-cube Tericellirhombated octeract							2365440	430080
144		t_0,2,3,7{4,3⁶}	Heptiruncicantellated 8-cube Exiprismatorhombated octeract							1290240	215040
145		t_0,2,3,6{4,3⁶}	Hexiruncicantellated 8-cube Petiprismatorhombated octeract							2795520	430080
146		t_0,2,3,5{4,3⁶}	Pentiruncicantellated 8-cube Teriprismatorhombated octeract							2580480	430080
147		t_0,2,3,4{4,3⁶}	Steriruncicantellated 8-cube Celliprismatorhombated octeract							967680	215040
148		t_0,1,6,7{4,3⁶}	Heptihexitruncated 8-cube Exipetitrunki-octeractidiacosipentacontahexazetton							516096	86016
149		t_0,1,5,7{4,3⁶}	Heptipentitruncated 8-cube Exiteritruncated octeract							1612800	215040
150		t_0,1,5,6{4,3⁶}	Hexipentitruncated 8-cube Petiteritruncated octeract							1182720	215040
151		t_0,1,4,7{4,3⁶}	Heptisteritruncated 8-cube Exicellitruncated octeract							2293760	286720
152		t_0,1,4,6{4,3⁶}	Hexisteritruncated 8-cube Peticellitruncated octeract							3010560	430080
153		t_0,1,4,5{4,3⁶}	Pentisteritruncated 8-cube Tericellitruncated octeract							1433600	286720
154		t_0,1,3,7{4,3⁶}	Heptiruncitruncated 8-cube Exiprismatotruncated octeract							1612800	215040
155		t_0,1,3,6{4,3⁶}	Hexiruncitruncated 8-cube Petiprismatotruncated octeract							3225600	430080
156		t_0,1,3,5{4,3⁶}	Pentiruncitruncated 8-cube Teriprismatotruncated octeract							2795520	430080
157		t_0,1,3,4{4,3⁶}	Steriruncitruncated 8-cube Celliprismatotruncated octeract							967680	215040
158		t_0,1,2,7{4,3⁶}	Hepticantitruncated 8-cube Exigreatorhombated octeract							516096	86016
159		t_0,1,2,6{4,3⁶}	Hexicantitruncated 8-cube Petigreatorhombated octeract							1505280	215040
160		t_0,1,2,5{4,3⁶}	Penticantitruncated 8-cube Terigreatorhombated octeract							2007040	286720
161		t_0,1,2,4{4,3⁶}	Stericantitruncated 8-cube Celligreatorhombated octeract							1290240	215040
162		t_0,1,2,3{4,3⁶}	Runcicantitruncated 8-cube Great prismated octeract							344064	86016
163		t_0,1,2,3,4{3⁶,4}	Steriruncicantitruncated 8-orthoplex Great cellated diacosipentacontahexazetton							1075200	215040
164		t_0,1,2,3,5{3⁶,4}	Pentiruncicantitruncated 8-orthoplex Terigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							4193280	645120
165		t_0,1,2,4,5{3⁶,4}	Pentistericantitruncated 8-orthoplex Tericelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							3225600	645120
166		t_0,1,3,4,5{3⁶,4}	Pentisteriruncitruncated 8-orthoplex Tericelliprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							3225600	645120
167		t_0,2,3,4,5{3⁶,4}	Pentisteriruncicantellated 8-orthoplex Tericelliprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							3225600	645120
168		t_1,2,3,4,5{3⁶,4}	Bisteriruncicantitruncated 8-orthoplex Great bicellated diacosipentacontahexazetton							2903040	645120
169		t_0,1,2,3,6{3⁶,4}	Hexiruncicantitruncated 8-orthoplex Petigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							5160960	860160
170		t_0,1,2,4,6{3⁶,4}	Hexistericantitruncated 8-orthoplex Peticelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							7741440	1290240
171		t_0,1,3,4,6{3⁶,4}	Hexisteriruncitruncated 8-orthoplex Peticelliprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							7096320	1290240
172		t_0,2,3,4,6{3⁶,4}	Hexisteriruncicantellated 8-orthoplex Peticelliprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							7096320	1290240
173		t_1,2,3,4,6{3⁶,4}	Bipentiruncicantitruncated 8-orthoplex Biterigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							6451200	1290240
174		t_0,1,2,5,6{3⁶,4}	Hexipenticantitruncated 8-orthoplex Petiterigreatorhombated diacosipentacontahexazetton							4300800	860160
175		t_0,1,3,5,6{3⁶,4}	Hexipentiruncitruncated 8-orthoplex Petiteriprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							7096320	1290240
176		t_0,2,3,5,6{3⁶,4}	Hexipentiruncicantellated 8-orthoplex Petiteriprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							6451200	1290240
177		t_1,2,3,5,6{3⁶,4}	Bipentistericantitruncated 8-orthoplex Bitericelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							5806080	1290240
178		t_0,1,4,5,6{3⁶,4}	Hexipentisteritruncated 8-orthoplex Petitericellitruncated diacosipentacontahexazetton							4300800	860160
179		t_0,2,4,5,6{3⁶,4}	Hexipentistericantellated 8-orthoplex Petitericellirhombated diacosipentacontahexazetton							7096320	1290240
180		t_1,2,3,5,6{4,3⁶}	Bipentistericantitruncated 8-cube Bitericelligreatorhombated octeract							5806080	1290240
181		t_0,3,4,5,6{3⁶,4}	Hexipentisteriruncinated 8-orthoplex Petitericelliprismated diacosipentacontahexazetton							4300800	860160
182		t_1,2,3,4,6{4,3⁶}	Bipentiruncicantitruncated 8-cube Biterigreatoprismated octeract							6451200	1290240
183		t_1,2,3,4,5{4,3⁶}	Bisteriruncicantitruncated 8-cube Great bicellated octeract							3440640	860160
184		t_0,1,2,3,7{3⁶,4}	Heptiruncicantitruncated 8-orthoplex Exigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							2365440	430080
185		t_0,1,2,4,7{3⁶,4}	Heptistericantitruncated 8-orthoplex Exicelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							5591040	860160
186		t_0,1,3,4,7{3⁶,4}	Heptisteriruncitruncated 8-orthoplex Exicelliprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							4730880	860160
187		t_0,2,3,4,7{3⁶,4}	Heptisteriruncicantellated 8-orthoplex Exicelliprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							4730880	860160
188		t_0,3,4,5,6{4,3⁶}	Hexipentisteriruncinated 8-cube Petitericelliprismated octeract							4300800	860160
189		t_0,1,2,5,7{3⁶,4}	Heptipenticantitruncated 8-orthoplex Exiterigreatorhombated diacosipentacontahexazetton							5591040	860160
190		t_0,1,3,5,7{3⁶,4}	Heptipentiruncitruncated 8-orthoplex Exiteriprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							8386560	1290240
191		t_0,2,3,5,7{3⁶,4}	Heptipentiruncicantellated 8-orthoplex Exiteriprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							7741440	1290240
192		t_0,2,4,5,6{4,3⁶}	Hexipentistericantellated 8-cube Petitericellirhombated octeract							7096320	1290240
193		t_0,1,4,5,7{3⁶,4}	Heptipentisteritruncated 8-orthoplex Exitericellitruncated diacosipentacontahexazetton							4730880	860160
194		t_0,2,3,5,7{4,3⁶}	Heptipentiruncicantellated 8-cube Exiteriprismatorhombated octeract							7741440	1290240
195		t_0,2,3,5,6{4,3⁶}	Hexipentiruncicantellated 8-cube Petiteriprismatorhombated octeract							6451200	1290240
196		t_0,2,3,4,7{4,3⁶}	Heptisteriruncicantellated 8-cube Exicelliprismatorhombated octeract							4730880	860160
197		t_0,2,3,4,6{4,3⁶}	Hexisteriruncicantellated 8-cube Peticelliprismatorhombated octeract							7096320	1290240
198		t_0,2,3,4,5{4,3⁶}	Pentisteriruncicantellated 8-cube Tericelliprismatorhombated octeract							3870720	860160
199		t_0,1,2,6,7{3⁶,4}	Heptihexicantitruncated 8-orthoplex Exipetigreatorhombated diacosipentacontahexazetton							2365440	430080
200		t_0,1,3,6,7{3⁶,4}	Heptihexiruncitruncated 8-orthoplex Exipetiprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							5591040	860160
201		t_0,1,4,5,7{4,3⁶}	Heptipentisteritruncated 8-cube Exitericellitruncated octeract							4730880	860160
202		t_0,1,4,5,6{4,3⁶}	Hexipentisteritruncated 8-cube Petitericellitruncated octeract							4300800	860160
203		t_0,1,3,6,7{4,3⁶}	Heptihexiruncitruncated 8-cube Exipetiprismatotruncated octeract							5591040	860160
204		t_0,1,3,5,7{4,3⁶}	Heptipentiruncitruncated 8-cube Exiteriprismatotruncated octeract							8386560	1290240
205		t_0,1,3,5,6{4,3⁶}	Hexipentiruncitruncated 8-cube Petiteriprismatotruncated octeract							7096320	1290240
206		t_0,1,3,4,7{4,3⁶}	Heptisteriruncitruncated 8-cube Exicelliprismatotruncated octeract							4730880	860160
207		t_0,1,3,4,6{4,3⁶}	Hexisteriruncitruncated 8-cube Peticelliprismatotruncated octeract							7096320	1290240
208		t_0,1,3,4,5{4,3⁶}	Pentisteriruncitruncated 8-cube Tericelliprismatotruncated octeract							3870720	860160
209		t_0,1,2,6,7{4,3⁶}	Heptihexicantitruncated 8-cube Exipetigreatorhombated octeract							2365440	430080
210		t_0,1,2,5,7{4,3⁶}	Heptipenticantitruncated 8-cube Exiterigreatorhombated octeract							5591040	860160
211		t_0,1,2,5,6{4,3⁶}	Hexipenticantitruncated 8-cube Petiterigreatorhombated octeract							4300800	860160
212		t_0,1,2,4,7{4,3⁶}	Heptistericantitruncated 8-cube Exicelligreatorhombated octeract							5591040	860160
213		t_0,1,2,4,6{4,3⁶}	Hexistericantitruncated 8-cube Peticelligreatorhombated octeract							7741440	1290240
214		t_0,1,2,4,5{4,3⁶}	Pentistericantitruncated 8-cube Tericelligreatorhombated octeract							3870720	860160
215		t_0,1,2,3,7{4,3⁶}	Heptiruncicantitruncated 8-cube Exigreatoprismated octeract							2365440	430080
216		t_0,1,2,3,6{4,3⁶}	Hexiruncicantitruncated 8-cube Petigreatoprismated octeract							5160960	860160
217		t_0,1,2,3,5{4,3⁶}	Pentiruncicantitruncated 8-cube Terigreatoprismated octeract							4730880	860160
218		t_0,1,2,3,4{4,3⁶}	Steriruncicantitruncated 8-cube Great cellated octeract							1720320	430080
219		t_0,1,2,3,4,5{3⁶,4}	Pentisteriruncicantitruncated 8-orthoplex Great terated diacosipentacontahexazetton							5806080	1290240
220		t_0,1,2,3,4,6{3⁶,4}	Hexisteriruncicantitruncated 8-orthoplex Petigreatocellated diacosipentacontahexazetton							12902400	2580480
221		t_0,1,2,3,5,6{3⁶,4}	Hexipentiruncicantitruncated 8-orthoplex Petiterigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							11612160	2580480
222		t_0,1,2,4,5,6{3⁶,4}	Hexipentistericantitruncated 8-orthoplex Petitericelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							11612160	2580480
223		t_0,1,3,4,5,6{3⁶,4}	Hexipentisteriruncitruncated 8-orthoplex Petitericelliprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							11612160	2580480
224		t_0,2,3,4,5,6{3⁶,4}	Hexipentisteriruncicantellated 8-orthoplex Petitericelliprismatorhombated diacosipentacontahexazetton							11612160	2580480
225		t_1,2,3,4,5,6{4,3⁶}	Bipentisteriruncicantitruncated 8-cube Great biteri-octeractidiacosipentacontahexazetton							10321920	2580480
226		t_0,1,2,3,4,7{3⁶,4}	Heptisteriruncicantitruncated 8-orthoplex Exigreatocellated diacosipentacontahexazetton							8601600	1720320
227		t_0,1,2,3,5,7{3⁶,4}	Heptipentiruncicantitruncated 8-orthoplex Exiterigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							14192640	2580480
228		t_0,1,2,4,5,7{3⁶,4}	Heptipentistericantitruncated 8-orthoplex Exitericelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							12902400	2580480
229		t_0,1,3,4,5,7{3⁶,4}	Heptipentisteriruncitruncated 8-orthoplex Exitericelliprismatotruncated diacosipentacontahexazetton							12902400	2580480
230		t_0,2,3,4,5,7{4,3⁶}	Heptipentisteriruncicantellated 8-cube Exitericelliprismatorhombi-octeractidiacosipentacontahexazetton							12902400	2580480
231		t_0,2,3,4,5,6{4,3⁶}	Hexipentisteriruncicantellated 8-cube Petitericelliprismatorhombated octeract							11612160	2580480
232		t_0,1,2,3,6,7{3⁶,4}	Heptihexiruncicantitruncated 8-orthoplex Exipetigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							8601600	1720320
233		t_0,1,2,4,6,7{3⁶,4}	Heptihexistericantitruncated 8-orthoplex Exipeticelligreatorhombated diacosipentacontahexazetton							14192640	2580480
234		t_0,1,3,4,6,7{4,3⁶}	Heptihexisteriruncitruncated 8-cube Exipeticelliprismatotrunki-octeractidiacosipentacontahexazetton							12902400	2580480
235		t_0,1,3,4,5,7{4,3⁶}	Heptipentisteriruncitruncated 8-cube Exitericelliprismatotruncated octeract							12902400	2580480
236		t_0,1,3,4,5,6{4,3⁶}	Hexipentisteriruncitruncated 8-cube Petitericelliprismatotruncated octeract							11612160	2580480
237		t_0,1,2,5,6,7{4,3⁶}	Heptihexipenticantitruncated 8-cube Exipetiterigreatorhombi-octeractidiacosipentacontahexazetton							8601600	1720320
238		t_0,1,2,4,6,7{4,3⁶}	Heptihexistericantitruncated 8-cube Exipeticelligreatorhombated octeract							14192640	2580480
239		t_0,1,2,4,5,7{4,3⁶}	Heptipentistericantitruncated 8-cube Exitericelligreatorhombated octeract							12902400	2580480
240		t_0,1,2,4,5,6{4,3⁶}	Hexipentistericantitruncated 8-cube Petitericelligreatorhombated octeract							11612160	2580480
241		t_0,1,2,3,6,7{4,3⁶}	Heptihexiruncicantitruncated 8-cube Exipetigreatoprismated octeract							8601600	1720320
242		t_0,1,2,3,5,7{4,3⁶}	Heptipentiruncicantitruncated 8-cube Exiterigreatoprismated octeract							14192640	2580480
243		t_0,1,2,3,5,6{4,3⁶}	Hexipentiruncicantitruncated 8-cube Petiterigreatoprismated octeract							11612160	2580480
244		t_0,1,2,3,4,7{4,3⁶}	Heptisteriruncicantitruncated 8-cube Exigreatocellated octeract							8601600	1720320
245		t_0,1,2,3,4,6{4,3⁶}	Hexisteriruncicantitruncated 8-cube Petigreatocellated octeract							12902400	2580480
246		t_0,1,2,3,4,5{4,3⁶}	Pentisteriruncicantitruncated 8-cube Great terated octeract							6881280	1720320
247		t_{0,1,2,3,4,5,6}{3⁶,4}	Hexipentisteriruncicantitruncated 8-orthoplex Great petated diacosipentacontahexazetton							20643840	5160960
248		t_{0,1,2,3,4,5,7}{3⁶,4}	Heptipentisteriruncicantitruncated 8-orthoplex Exigreatoterated diacosipentacontahexazetton							23224320	5160960
249		t_{0,1,2,3,4,6,7}{3⁶,4}	Heptihexisteriruncicantitruncated 8-orthoplex Exipetigreatocellated diacosipentacontahexazetton							23224320	5160960
250		t_{0,1,2,3,5,6,7}{3⁶,4}	Heptihexipentiruncicantitruncated 8-orthoplex Exipetiterigreatoprismated diacosipentacontahexazetton							23224320	5160960
251		t_{0,1,2,3,5,6,7}{4,3⁶}	Heptihexipentiruncicantitruncated 8-cube Exipetiterigreatoprismated octeract							23224320	5160960
252		t_{0,1,2,3,4,6,7}{4,3⁶}	Heptihexisteriruncicantitruncated 8-cube Exipetigreatocellated octeract							23224320	5160960
253		t_{0,1,2,3,4,5,7}{4,3⁶}	Heptipentisteriruncicantitruncated 8-cube Exigreatoterated octeract							23224320	5160960
254		t_{0,1,2,3,4,5,6}{4,3⁶}	Hexipentisteriruncicantitruncated 8-cube Great petated octeract							20643840	5160960
255		t_{0,1,2,3,4,5,6,7}{4,3⁶}	Omnitruncated 8-cube Great exi-octeractidiacosipentacontahexazetton							41287680	10321920

The D₈ family[edit]

The D₈ family has symmetry of order 5,160,960 (8 factorial x 2⁷).

This family has 191 Wythoffian uniform polytopes, from 3x64-1 permutations of the D₈ Coxeter-Dynkin diagram with one or more rings. 127 (2x64-1) are repeated from the B₈ family and 64 are unique to this family, all listed below.

See list of D8 polytopes for Coxeter plane graphs of these polytopes.

D₈ uniform polytopes
#	Coxeter-Dynkin diagram	Name	Base point (Alternately signed)	Element counts								Circumrad
#	Coxeter-Dynkin diagram	Name	Base point (Alternately signed)	7	6	5	4	3	2	1	0	Circumrad
1	=	8-demicube h{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,1,1,1,1)	144	1136	4032	8288	10752	7168	1792	128	1.0000000
2	=	cantic 8-cube h₂{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,3,3,3,3,3,3)							23296	3584	2.6457512
3	=	runcic 8-cube h₃{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,3,3,3,3,3)							64512	7168	2.4494896
4	=	steric 8-cube h₄{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,3,3,3,3)							98560	8960	2.2360678
5	=	pentic 8-cube h₅{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,1,3,3,3)							89600	7168	1.9999999
6	=	hexic 8-cube h₆{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,1,1,3,3)							48384	3584	1.7320508
7	=	heptic 8-cube h₇{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,1,1,1,3)							14336	1024	1.4142135
8	=	runcicantic 8-cube h_2,3{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,3,5,5,5,5,5)							86016	21504	4.1231055
9	=	stericantic 8-cube h_2,4{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,3,3,5,5,5,5)							349440	53760	3.8729835
10	=	steriruncic 8-cube h_3,4{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,3,5,5,5,5)							179200	35840	3.7416575
11	=	penticantic 8-cube h_2,5{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,3,3,3,5,5,5)							573440	71680	3.6055512
12	=	pentiruncic 8-cube h_3,5{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,3,3,5,5,5)							537600	71680	3.4641016
13	=	pentisteric 8-cube h_4,5{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,3,5,5,5)							232960	35840	3.3166249
14	=	hexicantic 8-cube h_2,6{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,3,3,3,3,5,5)							456960	53760	3.3166249
15	=	hexicruncic 8-cube h_3,6{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,3,3,3,5,5)							645120	71680	3.1622777
16	=	hexisteric 8-cube h_4,6{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,3,3,5,5)							483840	53760	3
17	=	hexipentic 8-cube h_5,6{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,1,3,5,5)							182784	21504	2.8284271
18	=	hepticantic 8-cube h_2,7{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,3,3,3,3,3,5)							172032	21504	3
19	=	heptiruncic 8-cube h_3,7{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,3,3,3,3,5)							340480	35840	2.8284271
20	=	heptsteric 8-cube h_4,7{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,3,3,3,5)							376320	35840	2.6457512
21	=	heptipentic 8-cube h_5,7{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,1,3,3,5)							236544	21504	2.4494898
22	=	heptihexic 8-cube h_6,7{4,3,3,3,3,3,3}	(1,1,1,1,1,1,3,5)							78848	7168	2.236068
23	=	steriruncicantic 8-cube h_2,3,4{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,7,7,7)							430080	107520	5.3851647
24	=	pentiruncicantic 8-cube h_2,3,5{4,3⁶}	(1,1,3,5,5,7,7,7)							1182720	215040	5.0990195
25	=	pentistericantic 8-cube h_2,4,5{4,3⁶}	(1,1,3,3,5,7,7,7)							1075200	215040	4.8989797
26	=	pentisterirunic 8-cube h_3,4,5{4,3⁶}	(1,1,1,3,5,7,7,7)							716800	143360	4.7958317
27	=	hexiruncicantic 8-cube h_2,3,6{4,3⁶}	(1,1,3,5,5,5,7,7)							1290240	215040	4.7958317
28	=	hexistericantic 8-cube h_2,4,6{4,3⁶}	(1,1,3,3,5,5,7,7)							2096640	322560	4.5825758
29	=	hexisterirunic 8-cube h_3,4,6{4,3⁶}	(1,1,1,3,5,5,7,7)							1290240	215040	4.472136
30	=	hexipenticantic 8-cube h_2,5,6{4,3⁶}	(1,1,3,3,3,5,7,7)							1290240	215040	4.3588991
31	=	hexipentirunic 8-cube h_3,5,6{4,3⁶}	(1,1,1,3,3,5,7,7)							1397760	215040	4.2426405
32	=	hexipentisteric 8-cube h_4,5,6{4,3⁶}	(1,1,1,1,3,5,7,7)							698880	107520	4.1231055
33	=	heptiruncicantic 8-cube h_2,3,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,5,5,5,7)							591360	107520	4.472136
34	=	heptistericantic 8-cube h_2,4,7{4,3⁶}	(1,1,3,3,5,5,5,7)							1505280	215040	4.2426405
35	=	heptisterruncic 8-cube h_3,4,7{4,3⁶}	(1,1,1,3,5,5,5,7)							860160	143360	4.1231055
36	=	heptipenticantic 8-cube h_2,5,7{4,3⁶}	(1,1,3,3,3,5,5,7)							1612800	215040	4
37	=	heptipentiruncic 8-cube h_3,5,7{4,3⁶}	(1,1,1,3,3,5,5,7)							1612800	215040	3.8729835
38	=	heptipentisteric 8-cube h_4,5,7{4,3⁶}	(1,1,1,1,3,5,5,7)							752640	107520	3.7416575
39	=	heptihexicantic 8-cube h_2,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,3,3,3,5,7)							752640	107520	3.7416575
40	=	heptihexiruncic 8-cube h_3,6,7{4,3⁶}	(1,1,1,3,3,3,5,7)							1146880	143360	3.6055512
41	=	heptihexisteric 8-cube h_4,6,7{4,3⁶}	(1,1,1,1,3,3,5,7)							913920	107520	3.4641016
42	=	heptihexipentic 8-cube h_5,6,7{4,3⁶}	(1,1,1,1,1,3,5,7)							365568	43008	3.3166249
43	=	pentisteriruncicantic 8-cube h_2,3,4,5{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,9,9,9)							1720320	430080	6.4031243
44	=	hexisteriruncicantic 8-cube h_2,3,4,6{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,7,9,9)							3225600	645120	6.0827627
45	=	hexipentiruncicantic 8-cube h_2,3,5,6{4,3⁶}	(1,1,3,5,5,7,9,9)							2903040	645120	5.8309517
46	=	hexipentistericantic 8-cube h_2,4,5,6{4,3⁶}	(1,1,3,3,5,7,9,9)							3225600	645120	5.6568542
47	=	hexipentisteriruncic 8-cube h_3,4,5,6{4,3⁶}	(1,1,1,3,5,7,9,9)							2150400	430080	5.5677648
48	=	heptsteriruncicantic 8-cube h_2,3,4,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,7,7,9)							2150400	430080	5.7445626
49	=	heptipentiruncicantic 8-cube h_2,3,5,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,5,7,7,9)							3548160	645120	5.4772258
50	=	heptipentistericantic 8-cube h_2,4,5,7{4,3⁶}	(1,1,3,3,5,7,7,9)							3548160	645120	5.291503
51	=	heptipentisteriruncic 8-cube h_3,4,5,7{4,3⁶}	(1,1,1,3,5,7,7,9)							2365440	430080	5.1961527
52	=	heptihexiruncicantic 8-cube h_2,3,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,5,5,7,9)							2150400	430080	5.1961527
53	=	heptihexistericantic 8-cube h_2,4,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,3,5,5,7,9)							3870720	645120	5
54	=	heptihexisteriruncic 8-cube h_3,4,6,7{4,3⁶}	(1,1,1,3,5,5,7,9)							2365440	430080	4.8989797
55	=	heptihexipenticantic 8-cube h_2,5,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,3,3,5,7,9)							2580480	430080	4.7958317
56	=	heptihexipentiruncic 8-cube h_3,5,6,7{4,3⁶}	(1,1,1,3,3,5,7,9)							2795520	430080	4.6904159
57	=	heptihexipentisteric 8-cube h_4,5,6,7{4,3⁶}	(1,1,1,1,3,5,7,9)							1397760	215040	4.5825758
58	=	hexipentisteriruncicantic 8-cube h_2,3,4,5,6{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,9,11,11)							5160960	1290240	7.1414285
59	=	heptipentisteriruncicantic 8-cube h_2,3,4,5,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,9,9,11)							5806080	1290240	6.78233
60	=	heptihexisteriruncicantic 8-cube h_2,3,4,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,7,9,11)							5806080	1290240	6.480741
61	=	heptihexipentiruncicantic 8-cube h_2,3,5,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,5,7,9,11)							5806080	1290240	6.244998
62	=	heptihexipentistericantic 8-cube h_2,4,5,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,3,5,7,9,11)							6451200	1290240	6.0827627
63	=	heptihexipentisteriruncic 8-cube h_3,4,5,6,7{4,3⁶}	(1,1,1,3,5,7,9,11)							4300800	860160	6.0000000
64	=	heptihexipentisteriruncicantic 8-cube h_2,3,4,5,6,7{4,3⁶}	(1,1,3,5,7,9,11,13)							2580480	10321920	7.5498347

The E₈ family[edit]

The E₈ family has symmetry order 696,729,600.

There are 255 forms based on all permutations of the Coxeter-Dynkin diagrams with one or more rings. Eight forms are shown below, 4 single-ringed, 3 truncations (2 rings), and the final omnitruncation are given below. Bowers-style acronym names are given for cross-referencing.

See also list of E8 polytopes for Coxeter plane graphs of this family.

E₈ uniform polytopes
#	Coxeter-Dynkin diagram	Names	Element counts
#	Coxeter-Dynkin diagram	Names	7-faces	6-faces	5-faces	4-faces	Cells	Faces	Edges	Vertices
1		421 (fy)	19440	207360	483840	483840	241920	60480	6720	240
2		Truncated 421 (tiffy)							188160	13440
3		Rectified 421 (riffy)	19680	375840	1935360	3386880	2661120	1028160	181440	6720
4		Birectified 421 (borfy)	19680	382560	2600640	7741440	9918720	5806080	1451520	60480
5		Trirectified 421 (torfy)	19680	382560	2661120	9313920	16934400	14515200	4838400	241920
6		Rectified 142 (buffy)	19680	382560	2661120	9072000	16934400	16934400	7257600	483840
7		Rectified 241 (robay)	19680	313440	1693440	4717440	7257600	5322240	1451520	69120
8		241 (bay)	17520	144960	544320	1209600	1209600	483840	69120	2160
9		Truncated 241								138240
10		142 (bif)	2400	106080	725760	2298240	3628800	2419200	483840	17280
11		Truncated 142								967680
12		Omnitruncated 421								696729600

Regular and uniform honeycombs[edit]

Coxeter-Dynkin diagram correspondences between families and higher symmetry within diagrams. Nodes of the same color in each row represent identical mirrors. Black nodes are not active in the correspondence.

There are five fundamental affine Coxeter groups that generate regular and uniform tessellations in 7-space:

#	Coxeter group		Forms
1	${\tilde {A}}_{7}$	[3^[8]]	29
2	${\tilde {C}}_{7}$	[4,3⁵,4]	135
3	${\tilde {B}}_{7}$	[4,3⁴,3^1,1]	191 (64 new)
4	${\tilde {D}}_{7}$	[3^1,1,3³,3^1,1]	77 (10 new)
5	${\tilde {E}}_{7}$	[3^3,3,1]	143

Regular and uniform tessellations include:

${\tilde {A}}_{7}$ 29 uniquely ringed forms, including:
- 7-simplex honeycomb: {3^[8]}
${\tilde {C}}_{7}$ 135 uniquely ringed forms, including:
- Regular 7-cube honeycomb: {4,3⁴,4} = {4,3⁴,3^1,1}, =
${\tilde {B}}_{7}$ 191 uniquely ringed forms, 127 shared with ${\tilde {C}}_{7}$ , and 64 new, including:
- 7-demicube honeycomb: h{4,3⁴,4} = {3^1,1,3⁴,4}, =
${\tilde {D}}_{7}$ , [3^1,1,3³,3^1,1]: 77 unique ring permutations, and 10 are new, the first Coxeter called a quarter 7-cubic honeycomb.
- , , , , , , , , ,
${\tilde {E}}_{7}$ 143 uniquely ringed forms, including:
- 133 honeycomb: {3,3^3,3},
- 331 honeycomb: {3,3,3,3^3,1},

Regular and uniform hyperbolic honeycombs[edit]

There are no compact hyperbolic Coxeter groups of rank 8, groups that can generate honeycombs with all finite facets, and a finite vertex figure. However, there are 4 paracompact hyperbolic Coxeter groups of rank 8, each generating uniform honeycombs in 7-space as permutations of rings of the Coxeter diagrams.

{\bar {P}}_{7}

= [3,3^[7]]:

{\bar {Q}}_{7}

= [3^1,1,3²,3^2,1]:

{\bar {S}}_{7}

= [4,3³,3^2,1]:

{\bar {T}}_{7}

= [3^3,2,2]:

References[edit]

^ a b c Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Wiley::Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
Klitzing, Richard. "8D uniform polytopes (polyzetta)".

External links[edit]

Polytope names
Polytopes of Various Dimensions
Multi-dimensional Glossary
Glossary for hyperspace, George Olshevsky.

v t e Fundamental convex regular and uniform polytopes in dimensions 2–10
Family	An	Bn	I₂(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Regular polygon	Triangle	Square	p-gon	Hexagon	Pentagon
Uniform polyhedron	Tetrahedron	Octahedron • Cube	Demicube		Dodecahedron • Icosahedron
Uniform 4-polytope	5-cell	16-cell • Tesseract	Demitesseract	24-cell	120-cell • 600-cell
Uniform 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Uniform 6-polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	122 • 221
Uniform 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	132 • 231 • 321
Uniform 8-polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8-demicube	142 • 241 • 421
Uniform 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniform 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniform n-polytope	n-simplex	n-orthoplex • n-cube	n-demicube	1k2 • 2k1 • k21	n-pentagonal polytope
Topics: Polytope families • Regular polytope • List of regular polytopes and compounds

[richeson-1] Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.