В математике гиперкомплексный анализ - это расширение реального анализа и комплексного анализа на изучение функций, в которых аргументом является гиперкомплексное число . Первый экземпляр - это функции переменной кватерниона , где аргумент - кватернион . Второй пример включает функции моторной переменной, где аргументами являются комплексные числа, разделенные на части .
В математической физике существуют гиперкомплексные системы, называемые алгебрами Клиффорда . Изучение функций с аргументами из алгебры Клиффорда называется анализом Клиффорда .
Матрица может рассматриваться как гиперкомплексное число. Например, исследование функций 2 × 2 вещественных матриц показывает , что топология в пространстве гиперкомплексных чисел определяет теорию функций. Такие функции, как квадратный корень из матрицы , матричная экспонента и логарифм матрицы, являются основными примерами гиперкомплексного анализа. [1] Функциональная теория диагонализуемых матриц особенно прозрачна, поскольку они имеют собственные разложения . [2] Предположимгде E i - проекции . Тогда для любого полинома
Современная терминология для «системы гиперкомплексных чисел» - это алгебра над действительными числами , а алгебры, используемые в приложениях, часто являются банаховыми алгебрами, поскольку последовательности Коши можно считать сходящимися. Затем теория функций обогащается последовательностями и рядами . В этом контексте расширение голоморфных функций комплексного переменного развивается как голоморфное функциональное исчисление . Гиперкомплексный анализ на банаховых алгебрах называется функциональным анализом .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Феликс Гантмахер (1959) Теория матриц , два тома, переводчик: Курт Хирш , Chelsea Publishing , глава 5: функции матриц, глава 8: корни и логарифмы матриц
- ^ Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп , т. 1, § 2.3, Диагонализируемые линейные операторы, страницы 78–81, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 .
Источники
- Дэниел Алпей (редактор) (2006) Вейвлеты, многомасштабные системы и гиперкомплексный анализ , Springer, ISBN 9783764375881 .
- Энрике Рамирес де Арелланон (1998) Теория операторов для комплексного и гиперкомплексного анализа , Американское математическое общество (Материалы конференции со встречи в Мехико в декабре 1994 г.).
- Сорин Д. Гал (2004) Введение в геометрическую теорию функций гиперкомплексных переменных , издательство Nova Science, ISBN 1-59033-398-5 .
- Р. Лавика и А.Г. О 'Фаррелл и И. Шорт (2007) «Обратимые отображения в группе кватернионных преобразований Мёбиуса», Математические слушания Кембриджского философского общества 143: 57–69.
- Ирен Сабадини и Франциск Соммен (ред.) (2011) Гиперсомплексный анализ и приложения , Математика Биркхаузера.
- Ирен Сабадини и Майкл В. Шапиро и Ф. Соммен (редакторы) (2009) Hypercomplex Analysis , Birkhauser ISBN 978-3-7643-9892-7 .
- Sabadini, Sommen, Struppa (eds.) (2012) Достижения в области гиперкомплексного анализа , Springer.