В математике , кватернионно анализ является изучение функций с кватернионов , как домен и / или диапазона. Такие функции могут называться функциями кватернионной переменной так же, как вызываются функции действительной переменной или комплексной переменной .
Как и в случае комплексного и реального анализа , можно изучать концепции аналитичности , голоморфности , гармоничности и конформности в контексте кватернионов. В отличие от комплексных чисел и, как и действительных чисел , эти четыре понятия не совпадают.
Характеристики
В проекции на кватернион на его скалярную часть или на ее часть вектора, а также модуль и versor функций, являются примерами , которые являются основными для понимания структуры кватернионов.
Важным примером функции кватернионной переменной является
который поворачивает векторную часть q в два раза на угол, представленный u .
Мультипликативный обратный кватернион - еще одна фундаментальная функция, но, как и в других системах счисления, и связанные с этим проблемы обычно не учитываются из-за природы деления на ноль .
Аффинные преобразования кватернионов имеют вид
Дробно-линейные преобразования кватернионов можно представить элементами кольца матриц оперируя проективной линией над. Например, отображения где а также фиксированные версоры служат для создания движений эллиптического пространства .
Теория кватернионных переменных в некоторых отношениях отличается от теории комплексных переменных. Например: комплексно-сопряженное отображение комплексной плоскости является центральным инструментом, но требует введения неарифметической, неаналитической операции. Действительно, сопряжение меняет ориентацию плоских фигур, чего не меняют арифметические функции.
В отличие от комплексного сопряжения , кватернионное сопряжение можно выразить арифметически, как
Это уравнение можно доказать, исходя из базиса {1, i, j, k}:
- .
Следовательно, поскольку является линейным ,
Успех комплексного анализа в предоставлении богатого семейства голоморфных функций для научной работы побудил некоторых исследователей попытаться расширить планарную теорию, основанную на комплексных числах, на четырехмерное исследование с функциями кватернионной переменной. [1] Эти усилия были обобщены в Deavours (1973) . [а]
Хоть выглядит как объединение сложных плоскостей , следующее утверждение показывает, что расширение сложных функций требует особой осторожности:
Позволять быть функцией комплексной переменной, . Предположим также, чтоявляется четной функцией от и это является нечетной функцией от. потом является продолжением к кватернионной переменной где а также . Тогда пусть представляют собой конъюгат , чтобы . Расширение до будет завершено, когда будет показано, что . Действительно, по гипотезе
- можно получить
Омографии
Далее двоеточия и квадратные скобки используются для обозначения однородных векторов .
Вращения вокруг оси R является классическим применением кватернионов в пространстве отображения. [2] В терминах гомографии вращение выражается
где является версором . Если p * = - p , то перевод выражается
Вращение и поступление xr вдоль оси вращения определяется выражением
Такое отображение называется смещением винта . В классической кинематике , Шаль теорема утверждает , что любое жесткое движение тела может отображаться в виде перемещения винта. Подобно тому, как представление изометрии евклидовой плоскости в виде вращения - это вопрос арифметики комплексных чисел, так и теорема Часлеса и требуемая ось винта являются вопросом кватернионной арифметики с гомографиями: пусть s будет прямым версором или квадратным корнем минус один, перпендикулярно r , при t = rs .
Рассмотрим ось, проходящую через s и параллельную r . Вращение вокруг него выражено [3] гомографической композицией.
где
Теперь на плоскости ( s, t ) параметр θ очерчивает окружность в полуплоскости
Любой p в этой полуплоскости лежит на луче из начала координат, проходящем через окружность и может быть написано
Тогда up = az , гдекак омография, выражающая сопряжение вращения переводом p.
Производная для кватернионов
Со времен Гамильтона стало ясно, что требование независимости производной от пути, по которому дифференциал следует к нулю, является слишком ограничительным: оно исключает дажеот дифференциации. Следовательно, производная, зависящая от направления, необходима для функций кватернионной переменной. [4] [5] Рассмотрение приращения полиномиальной функции кватернионного аргумента показывает, что приращение - это линейная карта приращения аргумента. [ сомнительно ] Исходя из этого, можно сделать определение:
Непрерывная карта называется дифференцируемой на множестве , если в каждой точке , приращение карты можно представить как
где
является линейным отображением алгебры кватернионов а также такое непрерывное отображение, что
Линейная карта называется производной отображения .
На кватернионах производная может быть выражена как
Следовательно, дифференциал отображения может быть выражено следующим образом с помощью скобок с обеих сторон.
Количество слагаемых в сумме будет зависеть от функции f . Выражения называются компонентами производной.
Производная кватернионной функции имеет следующие равенства
Для функции f ( x ) = axb производная равна
Итак, компоненты:
Аналогично, для функции f ( x ) = x 2 производная равна
и компоненты:
Наконец, для функции f ( x ) = x −1 производная равна
и компоненты:
Смотрите также
- Преобразование Кэли
Заметки
- ^ Deavours (1973) вспоминает выпуск журнала Commentarii Mathematici Helvetici за 1935 год, вкотором Фютер (1936) инициировал альтернативную теорию «регулярных функций» наоснове идеи теоремы Мореры : кватернионная функция "оставлено обычным в "когда интеграл обращается в нуль над любой достаточно малой гиперповерхностью, содержащей. Тогда имеет место аналог теоремы Лиувилля : единственная регулярная кватернионная функция с ограниченной нормой вявляется константой. Один из подходов к построению регулярных функций состоит в использовании степенных рядов с действительными коэффициентами. Дивур также дает аналоги для интеграла Пуассона , интегральной формулы Коши и представления уравнений электромагнетизма Максвелла с кватернионными функциями.
Цитаты
- ^ ( Фютер 1936 )
- ^ ( Cayley 1848 , особенно страница 198)
- ^ ( Гамильтон 1853 , §287, с. 273,4)
- ^ ( Гамильтон 1866 , Глава II, О дифференциалах и развитии функций кватернионов, стр. 391–495)
- ^ ( Laisant 1881 , Глава 5: Différentiation des Quaternions, стр. 104–117)
Рекомендации
- Арнольд, Владимир (1995), переведенный Porteous, Ян Р. , "Геометрия сферических кривых и кватернионов", русский Mathematical Surveys , 50 (1): 1-68, DOI : 10,1070 / RM1995v050n01ABEH001662 , Zbl 0848,58005
- Кейли, Артур (1848), "О применении кватернионов к теории вращения" , Лондон и Эдинбург Philosophical Magazine , Series 3, 33 (221): 196-200, DOI : 10,1080 / 14786444808645844
- Deavours, CA (1973), "Кватернион исчисление", American Mathematical Monthly , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 80 (9): 995-1008, DOI : 10,2307 / 2318774 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2318774 , Zbl 0282.30040
- Дю Вал, Патрик (1964), омографии, кватернионы и вращения , Oxford Mathematical Monographs, Oxford: Clarendon Press, MR 0169108 , Zbl 0128.15403
- Фуэтер, Рудольф (1936), «Убер умирает аналитичность Дарстеллунг дер регулярен Функциональные возможности Quaternionenvariablen», Математические комментарии Helvetici (на немецком языке), 8 : 371–378, doi : 10.1007 / BF01199562 , Zbl 0014.16702
- Джентили, Грациано; Стоппато, Катерина; Struppa, Даниэле С. (2013), Регулярные функции кватернионной переменной , Берлин: Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-33871-7 , ISBN 978-3-642-33870-0, Zbl 1269,30001
- Гормли, П.Г. (1947), "Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов", Труды Королевской Ирландской Академии, Раздел A , 51 : 67–85, JSTOR 20488472
- Гюрлебек, Клаус; Sprößig, Вольфганг (1990), Кватернионный анализ и эллиптические краевые задачи , Базель: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-2382-0, Zbl 0850,35001
- Гамильтон, Уильям Роуэн (1853 г.), Лекции по кватернионам , Дублин: Ходжес и Смит, OL 23416635M
- Гамильтон, Уильям Роуэн (1866), Гамильтон, Уильям Эдвин (редактор), Элементы кватернионов , Лондон: Longmans, Green, & Company, Zbl 1204.01046
- Joly, Чарльз Джаспер (1903), "Кватернионы и проективная геометрия", Философские труды Королевского общества Лондона , 201 (331-345): 223-327, Bibcode : 1903RSPTA.201..223J , DOI : 10.1098 / RSTA. 1903.0018 , JFM 34.0092.01 , JSTOR 90902
- Laisant, Charles-Ange (1881), Введение ля Méthode де Кватернионы (на французском языке), Париж: Готье-Виллар, JFM 13.0524.02
- Портер, Р. Майкл (1998), "геометрия Мёбиуса инвариант кватернион" (PDF) , конформной геометрии и динамика , 2 (6): 89-196, DOI : 10,1090 / S1088-4173-98-00032-0 , Zbl 0910,53005
- Sudbery, A. (1979), "Кватернионный анализ", Математические Труды Кембриджского философского общества , 85 (2): 199-225, Bibcode : 1979MPCPS..85..199S , DOI : 10,1017 / S0305004100055638 , ЛВП : 10338. dmlcz / 101933 , Zbl 0399.30038