Конформная карта

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой (внизу). Видно, что пары линий, пересекающихся под углом 90 ° , сопоставляются с парами кривых, все еще пересекающихся под углом 90 °.

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f}

В математике , конформное отображение является функция , которая локально сохраняет углы , но не обязательно длина.

Более формально, пусть и будут открытыми подмножествами . Функция называется конформным (или угол , сохраняющих ) в точке , если оно сохраняет углы между направленными кривыми через , а также сохранение ориентации. Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle f: U \ to V}$ ${\ displaystyle u_ {0} \ in U}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$

Конформное свойство может быть описано в терминах матрицы производной Якоби преобразования координат . Преобразование конформно, если якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на матрицу вращения ( ортогональную с определителем). Некоторые авторы определяют конформность, чтобы включить отображения с изменением ориентации, якобианы которых могут быть записаны как любое скалярное умножение на любую ортогональную матрицу. ^[1]

Для двумерных отображений конформные отображения (сохраняющие ориентацию) - это в точности локально обратимые комплексные аналитические функции. В трех и более высоких измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения римановых или полуримановых многообразий .

Конформные карты в двух измерениях [ править ]

Если - открытое подмножество комплексной плоскости , то функция конформна тогда и только тогда, когда она голоморфна и ее производная везде ненулевая на . Если он антиголоморфен ( сопряжен с голоморфной функцией), он сохраняет углы, но меняет их ориентацию. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f}$

В литературе есть другое определение конформности: отображение, которое взаимно однозначно и голоморфно на открытом множестве на плоскости. Теорема об открытом отображении заставляет обратную функцию (определенную на образе ) быть голоморфной. Таким образом, согласно этому определению отображение конформно тогда и только тогда, когда оно биголоморфно. Два определения конформных отображений не эквивалентны. Взаимно однозначность и голоморфность подразумевают наличие ненулевой производной. Однако экспоненциальная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не взаимно однозначна, поскольку она периодична. ^[2] ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

Теорема об отображении Римана , один из глубоких результатов комплексного анализа , утверждает, что любое непустое открытое односвязное собственное подмножество допускает биективное конформное отображение в открытый единичный круг в . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Глобальные конформные отображения на сфере Римана [ править ]

Отображение сферы Римана на себя конформно тогда и только тогда, когда это преобразование Мёбиуса .

Комплексно сопряженное преобразование Мебиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, перевороты кругов .

Конформные карты в трех или более измерениях [ править ]

Риманова геометрия [ править ]

В римановой геометрии две римановы метрики и на гладком многообразии называются конформно эквивалентными, если для некоторой положительной функции на . Функция называется конформным фактором . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g = uh}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle u}$

Диффеоморфизм между двумя риманова многообразия называется конформным отображением , если отстранился метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция из сферы на плоскость дополненной с точкой на бесконечности является конформным отображением.

Можно также определить конформную структуру на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных римановых метрик .

Евклидово пространство [ править ]

Классическая теорема о Лиувилль показывает , что гораздо меньше , конформные отображения в более высоких размерах , чем в двух измерениях. Любая конформная карта на части евклидова пространства размерности три или больше может быть составлена из трех типов преобразований: гомотетии , изометрии и специального конформного преобразования .

Приложения [ править ]

Картография [ править ]

В картографии несколько именованных картографических проекций , включая проекцию Меркатора и стереографическую проекцию, являются конформными. Они обладают тем свойством, что искажение форм можно сделать сколь угодно малым, сделав диаметр отображаемой области достаточно малым.

Физика и техника [ править ]

Конформные отображения неоценимы для решения инженерных и физических задач, которые могут быть выражены в терминах функций комплексной переменной, но демонстрируют неудобную геометрию. Выбрав подходящее отображение, аналитик может преобразовать неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, можно рассчитать электрическое поле, возникающее от точечного заряда, расположенного вблизи угла двух проводящих плоскостей, разделенных определенным углом (где - комплексная координата точки в 2-м пространстве). Сама по себе эта задача довольно коряво решать в закрытом виде. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол преобразуется в один из точных ${\ displaystyle E (z)}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ pi}$ радианы, что означает, что угол двух плоскостей преобразуется в прямую линию. В этой новой области довольно легко решить задачу (задачу расчета электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным возле проводящей стенки). Раствор , полученный в этой области, и затем отображается обратно в исходной области, отметив , что был получен в виде функции ( а именно ., То композиция из и ) из , откуда можно рассматривать как , который является функцией ${\ Displaystyle E (ш)}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ Displaystyle E (ш)}$ $E(w(z))$ $z$ , исходный координатный базис. Обратите внимание, что это приложение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, они делают это только для точек внутри своей области, а не на границе. Другой пример - применение техники конформного отображения для решения краевой задачи о плескании жидкости в резервуарах. ^[3]

Если функция является гармонической (то есть удовлетворяет уравнению Лапласа ) в плоской области (которая является двумерной) и преобразуется через конформное отображение в другую плоскую область, преобразование также является гармоническим. По этой причине любая функция, которая определяется потенциалом, может быть преобразована конформным отображением и по-прежнему управляться потенциалом. Примеры в физике уравнений, определяемых потенциалом, включают электромагнитное поле , гравитационное поле и, в гидродинамике , потенциальный поток , который является приближением к потоку жидкости, предполагая постоянную плотность , нулевую вязкость. $\nabla ^{2}f=0$ , и безвихревой поток . Одним из примеров применения конформной карты в гидродинамике является преобразование Жуковского .

Конформные отображения также полезны при решении нелинейных уравнений в частных производных в некоторых конкретных геометриях. Такие аналитические решения обеспечивают полезную проверку точности численного моделирования основного уравнения. Например, в случае обтекания полубесконечной стенки очень вязкой свободной поверхности, область может быть отображена в полуплоскость, в которой решение является одномерным и легко вычисляется. ^[4]

Для дискретных систем Нури и Янг представили способ преобразования корневого множества дискретных систем в непрерывное корневое множество с помощью хорошо известного конформного отображения в геометрии (также известного как отображение инверсии ). ^[5]

Уравнения Максвелла [ править ]

Большая группа конформных отображений для связи решений уравнений Максвелла была идентифицирована Эбенезером Каннингемом (1908 г.) и Гарри Бейтманом (1910 г.). Их обучение в Кембриджском университете дало им возможность освоить метод заряда изображения и связанные с ним методы изображения сфер и инверсии. Как рассказал Эндрю Уорвик (2003), магистры теории : ^[6]

Каждое четырехмерное решение можно было инвертировать в четырехмерную гиперсферу псевдорадиуса , чтобы получить новое решение.

K

Уорвик выделяет эту «новую теорему относительности» как кембриджский ответ Эйнштейну, основанный на упражнениях с использованием метода инверсии, например, в учебнике Джеймса Хопвуда Джинса « Математическая теория электричества и магнетизма» .

Общая теория относительности [ править ]

В общей теории относительности конформные отображения являются самым простым и, следовательно, наиболее распространенным типом причинных преобразований. Физически они описывают разные вселенные, в которых все одни и те же события и взаимодействия все еще (причинно) возможны, но для этого необходима новая дополнительная сила (т. Е. Репликация всех тех же траекторий потребует отклонения от геодезического движения, поскольку метрика тензор другой). Его часто используют, чтобы попытаться сделать модели поддающимися расширению за пределы сингулярностей кривизны , например, чтобы позволить описание Вселенной еще до Большого взрыва .

См. Также [ править ]

Теорема Каратеодори - конформное отображение непрерывно продолжается до границы
Диаграмма Пенроуза
Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости внутрь простого многоугольника.
Специальная линейная группа - преобразования, сохраняющие объем (в отличие от углов) и ориентацию

Ссылки [ править ]

^ Блер, Дэвид (2000-08-17). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. 9 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. DOI : 10.1090 / stml / 009 . ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074 .
^ Ричард М. Тимони (2004), теорема отображения Римана из Тринити-колледжа, Дублин
^ Kolaei, Amir; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2014-01-06). «Диапазон применимости линейной теории выплескивания жидкости для прогнозирования переходного бокового выплескивания и устойчивости автоцистерн к качению». Журнал звука и вибрации . 333 (1): 263–282. Bibcode : 2014JSV ... 333..263K . DOI : 10.1016 / j.jsv.2013.09.002 .
^ Хинтон, Эдвард; Хогг, Эндрю; Хупперт, Герберт (2020). «Неглубокие потоки Стокса на свободной поверхности обтекают угол». Философские труды Королевского общества А . 378 (2174). DOI : 10,1098 / rsta.2019.0515 . PMC 7287310. PMID 32507085 .
^ Нури, Кейван; Ян, Бинген (2020). "Псевдо S-plane Отображение корневого годографа Z-плоскости" . Международный конгресс и выставка машиностроения ASME 2020 . Американское общество инженеров-механиков. DOI : 10.1115 / IMECE2020-23096 . ISBN 978-0-7918-8454-6.
^ Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и подъем математической физики . Издательство Чикагского университета . С. 404–424 . ISBN 978-0226873756.

Дальнейшее чтение [ править ]

Альфорс, Ларс В. (1973), Конформные инварианты: вопросы геометрической теории функций , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., MR 0357743
Константин Каратеодори (1932) Конформное представление , Кембриджские трактаты по математике и физике
Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости , CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
Черчилль, Руэль В. (1974), Комплексные переменные и приложения , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
Е.П. Долженко (2001) [1994], "Конформное отображение" , Энциклопедия математики , EMS Press
Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту 0924157
Вайсштейн, Эрик В. «Конформное отображение» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с конформным отображением .

Интерактивная визуализация множества конформных карт
Конформные карты Майкла Тротта, Демонстрационный проект Вольфрама .
Конформное картирование изображений течения в различных геометрических формах без магнитного поля и с магнитным полем. Автор Герхард Брунталер.
Конформное преобразование: от круга к квадрату .
Графический редактор конформных карт онлайн .
Joukowski Transform Interactive WebApp
Конформное отображение, нарисованное М.К. Эшером

[1] Блер, Дэвид (2000-08-17). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. 9 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. DOI : 10.1090 / stml / 009 . ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074 .

[2] Ричард М. Тимони (2004), теорема отображения Римана из Тринити-колледжа, Дублин

[3] Kolaei, Amir; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2014-01-06). «Диапазон применимости линейной теории выплескивания жидкости для прогнозирования переходного бокового выплескивания и устойчивости автоцистерн к качению». Журнал звука и вибрации . 333 (1): 263–282. Bibcode : 2014JSV ... 333..263K . DOI : 10.1016 / j.jsv.2013.09.002 .

[4] Хинтон, Эдвард; Хогг, Эндрю; Хупперт, Герберт (2020). «Неглубокие потоки Стокса на свободной поверхности обтекают угол». Философские труды Королевского общества А . 378 (2174). DOI : 10,1098 / rsta.2019.0515 . PMC 7287310. PMID 32507085 .

[5] Нури, Кейван; Ян, Бинген (2020). "Псевдо S-plane Отображение корневого годографа Z-плоскости" . Международный конгресс и выставка машиностроения ASME 2020 . Американское общество инженеров-механиков. DOI : 10.1115 / IMECE2020-23096 . ISBN 978-0-7918-8454-6.

[6] Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и подъем математической физики . Издательство Чикагского университета . С. 404–424 . ISBN 978-0226873756.

[1]