Ось винта

Спирали по винтовой оси

Ось винта ( ось спирали или ось скручивания ) является линией , которая одновременно является ось вращения , и линия , вдоль которой перевод происходит из тела. Теорема Часлеса показывает, что каждое евклидово смещение в трехмерном пространстве имеет винтовую ось, и смещение может быть разложено на вращение вокруг и скольжение вдоль этой винтовой оси. ^{[1] [2]}

Координаты Плюккера используются для определения оси винта в пространстве и состоят из пары трехмерных векторов. Первый вектор определяет направление оси, а второй определяет ее положение. Особый случай, когда первый вектор равен нулю, интерпретируется как чистый перенос в направлении второго вектора. Ось винта связана с каждой парой векторов в алгебре винтов, также известной как теория винтов . ^[3]

Пространственное движение тела может быть представлено непрерывным набором перемещений. Поскольку каждое из этих перемещений имеет ось винта, перемещение имеет связанную линейчатую поверхность, известную как поверхность винта . Эта поверхность не совпадает с аксодой , которая отслеживается мгновенными осями винта движения тела. Мгновенная ось винта или «мгновенная винтовая ось» (IHA) - это ось геликоидального поля, создаваемого скоростями каждой точки движущегося тела.

Когда пространственное смещение специализируется на плоском смещении, ось винта становится полюсом смещения , а мгновенная ось винта становится полюсом скорости или мгновенным центром вращения , также называемым мгновенным центром . Термин центро также используется для полюса скорости, а геометрическое место этих точек для плоского движения называется центродой . ^[4]

История [ править ]

Доказательство того, что пространственное смещение может быть разложено на вращение и скольжение вокруг и вдоль линии в пространстве, приписывается Мишелю Часлесу в 1830 году. ^[5] Недавно работа Гулио Моцци была идентифицирована как представляющая аналогичный результат в 1763 году. ^{[ 6] [7]}

Симметрия оси винта [ править ]

Спираль Boerdijk-Косетер представляет собой пример оси симметрии винта , который является непериодическим.

Винт смещение (также винт операция или роторный перевод ) является композицией поворота на угол ф вокруг оси (называемой осью винта ) с переводом на расстоянии D вдоль этой оси. Положительное направление вращения обычно означает направление, которое соответствует направлению перемещения по правилу правой руки . За исключением φ = 180 °, смещение винта нужно отличать от его зеркального отображения . В отличие от вращения, винтовые операции с правым и левым винтом создают разные группы.

Комбинация вращения вокруг оси и перемещения в перпендикулярном направлении представляет собой вращение вокруг параллельной оси. Однако винтовая операция с ненулевым вектором трансляции по оси не может быть уменьшена таким образом. Таким образом, эффект вращения в сочетании с любым перемещением - это винтовая операция в общем смысле, с как частными случаями чистый перенос, чистое вращение и тождество. Вместе это все прямые изометрии в 3D .

3 ₁ ось винта в кристаллической структуре теллура

В кристаллографии , А ось симметрия винта представляет собой сочетание вращения вокруг оси и перевод , параллельный эту ось , которая оставляет кристалл без изменений. Если φ = 360 ° / n для некоторого положительного целого числа n , то симметрия винтовой оси подразумевает трансляционную симметрию с вектором трансляции, который в n раз больше, чем у винтовой дизимметрии. Итак, 6 ₃ - это поворот на 60 ° в сочетании со смещением 1/2 вектора решетки, подразумевая, что также существует 3-кратная симметрия вращения относительно этой оси. Возможные варианты: 2 ₁ , 3 ₁ , 4 ₁ , 4₂ , 6 ₁ , 6 ₂ и 6 ₃ , а также энантиоморфные 3 ₂ , 4 ₃ , 6 ₄ и 6 ₅ . ^[8]

Группа изометрии недискретной оси винта содержит все комбинации вращения вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси (при нарезании нарезов постоянная пропорциональности называется скоростью кручения ); в общем, это сочетается с k- кратными изометриями вращения вокруг одной и той же оси ( k ≥ 1); множество изображений точки под изометриями представляет собой k -кратную спираль ; кроме того, возможен двукратный поворот вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k- кратная спираль таких осей.

Винтовая ось пространственного перемещения [ править ]

Геометрический аргумент [ править ]

Пусть D  : R ³ → R ³ - жесткое движение R ^3, сохраняющее ориентацию . Набор этих преобразований представляет собой подгруппу евклидовых движений, известную как специальная евклидова группа SE (3). Эти жесткие движения определяются преобразованиями x в R ^3, задаваемыми формулой

${\ Displaystyle D (\ mathbf {x}) = A (\ mathbf {x}) + \ mathbf {d}}$

состоящий из трехмерного вращения A с последующим переносом на вектор d .

Трехмерное вращение имеет уникальную ось , которая определяет линию L . Пусть единичный вектор вдоль этой линии равен S, так что вектор трансляции d может быть разложен на сумму двух векторов, одного параллельного и одного перпендикулярного оси L , то есть

${\ Displaystyle \ mathbf {d} = \ mathbf {d} _ {L} + \ mathbf {d} _ {\ perp}, \ quad \ mathbf {d} _ {L} = (\ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {S}) \ mathbf {S}, \ quad \ mathbf {d} _ {\ perp} = \ mathbf {d} - \ mathbf {d} _ {L}.}$

В этом случае жесткое движение принимает вид

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.}$

Теперь, сохраняющее ориентацию жесткое движение D * = ( х ) + d _⊥ преобразует все точки R ³ , так что они остаются в плоскостях , перпендикулярных L . Для жесткого движения этого типа существует единственная точка c на плоскости P, перпендикулярная L через 0 , такая, что

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Точку C можно рассчитать как

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-A]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}$

потому что д _⊥ не имеет компонент в направлении оси А .

Жесткое движение D * с фиксированной точкой должно быть вращением вокруг оси L _c через точку c . Следовательно, жесткое движение

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}$

состоит из поворота вокруг прямой L _{c с} последующим переносом вектора d _L в направлении прямой L _c .

Вывод: каждое жесткое движение R ³ является результатом вращения R ³ вокруг линии L _{c с} последующим перемещением в направлении этой линии. Комбинация вращения вокруг прямой и поступательного движения по прямой называется винтовым движением.

Вычисление точки на оси винта [ править ]

Точка C на оси винта удовлетворяет уравнению: ^[9]

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Решите это уравнение относительно C, используя формулу Кэли для матрицы вращения

${\displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

где [B] - кососимметричная матрица, построенная по вектору Родригеса

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}$

такой, что

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

Используйте эту форму вращения A, чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [I-B]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[I-B]\mathbf {d} _{\perp },}$

который становится

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[I-B]\mathbf {d} _{\perp }.}$

Это уравнение можно решить относительно C на оси винта P (t), чтобы получить,

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}$

Ось винта P (t) = C + t S этого пространственного смещения имеет координаты Плюккера S = ( S , C × S ) . ^[9]

Двойной кватернион [ править ]

Ось винта появляется в формулировке двойного кватерниона пространственного смещения D = ([A], d ) . Двойной кватернион построен из двойственного вектора S = ( S , V ), определяющего ось винта и двойного угла ( φ , d ) , где φ - вращение вокруг, а d - ползун вдоль этой оси, который определяет смещение D к получать,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Пространственное смещение точек q, представленных как векторный кватернион, может быть определено с использованием кватернионов в качестве отображения

${\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }$

где d - кватернион вектора трансляции, а S - единичный кватернион, также называемый версором , задаваемый формулой

${\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}$

который определяет вращение на 2 & thetas вокруг оси S .

В собственно евклидовой группе E ⁺ (3) вращение может быть сопряжено со сдвигом, чтобы переместить его к параллельной оси вращения. Такое сопряжение с использованием гомографии кватернионов дает соответствующую ось винта, чтобы выразить данное пространственное смещение как смещение винта в соответствии с теоремой Часлеса .

Механика [ править ]

Движение твердого тела может быть комбинацией вращения вокруг оси (оси винта) и поступательного движения вдоль этой оси. Это движение винта характеризуется вектором скорости поступательного движения и вектором угловой скорости в том же или противоположном направлении. Если эти два вектора постоянны и направлены вдоль одной из главных осей тела, для этого движения (движения и вращения ) не требуются никакие внешние силы . Например, если не учитывать гравитацию и сопротивление, это движение пули, выпущенной из нарезного ружья .

Биомеханика [ править ]

Этот параметр часто используется в биомеханике при описании движения суставов тела. В течение любого периода времени совместное движение можно рассматривать как движение одной точки на одной шарнирной поверхности по отношению к прилегающей поверхности (обычно дистальной по отношению к проксимальной ). Суммарное поступательное движение и повороты по траектории движения можно определить как временные интегралы мгновенных скоростей поступательного перемещения и вращения в IHA для заданного эталонного времени. ^[10]

В любой отдельной плоскости траектория, образованная местоположениями движущейся мгновенной оси вращения (IAR), известна как «центроид» и используется при описании совместного движения.

См. Также [ править ]

• Штопор (элемент американских горок)
• Теорема Эйлера о вращении - вращения без сдвига
• Скользящее отражение
• Спиральная симметрия
• Группа линий
• Теория винта
• Космическая группа

Ссылки [ править ]