В математике , и особенно в дисциплине теории представлений , индикатор Шура , названный в честь Иссая Шура , или индикатор Фробениуса – Шура, описывает, какие инвариантные билинейные формы имеет данное неприводимое представление компактной группы на комплексном векторном пространстве. Его можно использовать для классификации неприводимых представлений компактных групп в вещественных векторных пространствах.
Определение
Если конечномерное непрерывное комплексное представление о компактной группы G имеет характер х его показатель Фробениуса-Шура определяется как
для меры Хаара μ с μ ( G ) = 1. Когда G конечна, она задается формулой
Если χ неприводимо, то его индикатор Фробениуса – Шура равен 1, 0 или -1. Это дает критерий для принятия решения о ли неприводимые представления о G является реальным, сложным или кватернионно-, в некотором смысле конкретной , определенной ниже. Большая часть содержания ниже обсуждает случай конечных групп , но общий компактный случай аналогичен.
Реальные неприводимые представления
Существует три типа неприводимых вещественных представлений конечной группы в вещественном векторном пространстве V , поскольку из леммы Шура следует, что кольцо эндоморфизмов, коммутирующее с действием группы, является вещественной ассоциативной алгеброй с делением и по теореме Фробениуса может быть только изоморфно либо действительные числа, комплексные числа или кватернионы.
- Если кольцо - это действительные числа, то V ⊗ C - неприводимое комплексное представление с индикатором Шура 1, также называемое вещественным представлением.
- Если кольцо - это комплексные числа, то V имеет две разные сопряженные комплексные структуры, дающие два неприводимых комплексных представления с индикатором Шура 0, иногда называемые комплексными представлениями .
- Если кольцо является кватернионами , то выбор подкольца кватернионов, изоморфных комплексным числам, превращает V в неприводимое комплексное представление G с индикатором Шура -1, называемое кватернионным представлением .
Более того, каждое неприводимое представление в комплексном векторном пространстве может быть построено из уникального неприводимого представления в вещественном векторном пространстве одним из трех способов, описанных выше. Таким образом, знание неприводимых представлений на комплексных пространствах и их индикаторов Шура позволяет считывать неприводимые представления на реальных пространствах.
Реальные представления можно усложнить, чтобы получить комплексное представление одного и того же измерения, а сложные представления можно преобразовать в реальное представление, в два раза превышающее размерность, если рассматривать действительные и мнимые компоненты по отдельности. Кроме того, поскольку все конечномерные комплексные представления могут быть превращены в унитарное представление , для унитарных представлений двойственное представление также является (комплексным) сопряженным представлением, потому что норма гильбертова пространства дает антилинейное биективное отображение из представления в его двойственное представление.
Самодвойственное комплексное неприводимое представление соответствует либо действительному неприводимому представлению той же размерности, либо действительным неприводимым представлениям удвоенной размерности, называемым кватернионными представлениями (но не обоими одновременно), а несамодвойственное комплексное неприводимое представление соответствует реальному неприводимому представлению удвоенного размера. измерение. Обратите внимание, что для последнего случая и комплексное неприводимое представление, и двойственное к нему порождают одно и то же действительное неприводимое представление. Примером кватернионного представления может быть четырехмерное действительное неприводимое представление кватернионной группы Q 8 .
Определение в терминах симметричного и переменного квадрата
Если V является основным векторным пространством представления группы G , то представление тензорного произведения можно разложить как прямую сумму двух подпредставлений , симметричный квадрат , обозначаемый или же и знакопеременный квадрат , обозначенный или же . [1] В терминах этих квадратных представлений индикатор имеет следующее альтернативное определение:
где - тривиальное представление.
Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что термин естественно возникает в персонажах этих представлений; а именно, у нас есть
а также
. [2]
Подставляя любую из этих формул, индикатор Фробениуса – Шура принимает структуру естественного G -инвариантного скалярного произведения на функциях классов :
Внутреннее произведение подсчитывает кратности прямых слагаемых ; тогда сразу следует эквивалентность определений.
Приложения
Пусть V - неприводимое комплексное представление группы G (или, что то же самое, неприводимое- модуль , гдеобозначает групповое кольцо ). потом
- Там существует ненулевой G -инвариантного билинейной формы на V , если и только если
- Там существует ненулевой G -инвариантную симметричной билинейной формы на V , если и только если
- Там существует ненулевой G -инвариантной кососимметрическая билинейной формы на V , если и только если. [3]
Выше , является следствием универсальных свойств в симметричной алгебре и внешней алгебре , которые являются векторными пространствами , лежащими в основе симметричного и переменный квадрат.
Кроме того,
- если и только если не является действительным знаком (это комплексные представления),
- если и только если может быть реализовано (это реальные представления), и
- если и только если реально, но не может быть реализовано (это кватернионные представления). [4]
Более высокие показатели Фробениуса-Шура
Как и для любого комплексного представления ρ,
является самопереплетающимся, для любого целого n ,
также является сплетником самостоятельно . По лемме Шура это будет кратное единице для неприводимых представлений. След этого самопереплетающегося сплетения называется n- м индикатором Фробениуса-Шура .
Первоначальный случай индикатора Фробениуса – Шура - это когда n = 2. Нулевой индикатор - это размерность неприводимого представления, первым индикатором будет 1 для тривиального представления и ноль для других неприводимых представлений.
Он напоминает инварианты Казимира для неприводимых представлений алгебры Ли . На самом деле, так как любое представление G можно рассматривать как модуль для C [ G ] и наоборот, мы можем смотреть на центр из C [ G ]. Это аналогично рассмотрению центра универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли. Несложно проверить, что
принадлежит к центру C [ G ], которая просто подпространство класса функций на G .
Рекомендации
- Перейти ↑ Serre 1977 , pp. 9.
- ^ Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Axler, S .; Геринг, FW; Рибет, К. (ред.). Теория представлений: первый курс . Тексты для выпускников Springer по математике 129. Нью-Йорк: Springer. С. 13 . ISBN 3-540-97527-6.
- ^ Джеймс 2001 , стр. 274, теорема 23.16.
- Перейти ↑ James 2001 , pp. 277, Corollary 23.17.
- Г. Фробениус и И. Шур, Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen (1906), Frobenius Gesammelte Abhandlungen, том III, 354-377.
- Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6. OCLC 2202385 .
- Джеймс, Гордон Дуглас (2001). Представления и персонажи групп . Либек, Martin W . (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 272 -278. ISBN 052100392X. OCLC 52220683 .