Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
В математике , то категория колец , обозначается кольцом , является категорией , объекты которой является кольцо (с единицей) и чьи морфизмы являются кольцевыми гомоморфизмами (которые сохраняют идентичность). Как и многие категории в математике, категория колец велика , а это означает, что класс всех колец правильный .
Как конкретная категория [ править ]
Категория Кольцо - это конкретная категория, означающая, что объекты представляют собой множества с дополнительной структурой (сложение и умножение), а морфизмы - это функции, которые сохраняют эту структуру. Есть естественный забывчивый функтор
- U : Кольцо → Установить
для категории колец в категорию наборов, которые отправляют каждое кольцо в его базовый набор (таким образом «забывая» операции сложения и умножения). У этого функтора есть сопряженный слева
- F : Установить → Кольцо
который присваивает каждое множество X в свободном кольцо , порожденном X .
Можно также рассматривать категорию колец как конкретную категорию над Ab ( категория абелевых групп ) или над Mon ( категория моноидов ). В частности, есть забывчивые функторы
- A : кольцо → Ab
- M : кольцо → пн
которые «забывают» умножение и сложение соответственно. Оба этих функтора имеют сопряженные слева. Левые сопряженный А есть функтор , который присваивает к каждой абелевой группе X (рассматривать как Z - модуль ) тензор кольцо Т ( Х ). Левый сопряженный к M функтор ставит в соответствие каждому моноиду X целое кольцо моноидов Z [ X ].
Свойства [ править ]
Пределы и коллимиты [ править ]
Категория « Кольцо» одновременно является полной и совмещенной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в кольце . Как и многие другие алгебраические категории, забывчивый функтор U : Ring → Set создает (и сохраняет) пределы и отфильтрованные копределы , но не сохраняет ни копроизведения, ни коэквалайзеры . Забывчивые функторы к Ab и Mon также создают и сохраняют пределы.
Примеры пределов и копределов в Ring включают:
- Кольцо целых чисел Z - начальный объект в Ring .
- Нулевое кольцо является терминалом объекта в кольце .
- Продукт в кольце даются прямым произведением колец . Это просто декартово произведение базовых множеств с покомпонентным определением сложения и умножения.
- Копроизведение семейства колец существует и дается конструкция , аналогичной к свободному произведению групп. Копроизведение ненулевых колец может быть нулевым кольцом; в частности, это происходит всякий раз, когда множители имеют относительно простые характеристики (поскольку характеристика копроизведения ( R i ) i ∈ I должна делить характеристики каждого из колец R i ).
- Эквалайзер в кольце просто теоретико-множественная эквалайзера (эквалайзер из двух кольцевых гомоморфизмов всегда Подкольцо ).
- Коуравнитель из двух кольцевых гомоморфизмов F и г от R до S является фактор из S по идеалу , порожденной всеми элементами вида F ( г ) - г ( г ) для г ∈ R .
- Учитывая кольцевой гомоморфизм F : R → S в ядро пары из F (это только откат от е с самим собой) является отношение конгруэнтности на R . Идеал, определяемый этим соотношением конгруэнтности, является в точности (теоретико-кольцевым) ядром функции f . Обратите внимание, что теоретико-категориальные ядра не имеют смысла в Ring, так как здесь нет нулевых морфизмов (см. Ниже).
Морфизмы [ править ]
В отличие от многих категорий, изучаемых в математике, не всегда существуют морфизмы между парами объектов в кольце . Это следствие того факта, что гомоморфизмы колец должны сохранять тождество. Например, нет морфизмов из нулевого кольца 0 в любое ненулевое кольцо. Необходимым условием там быть морфизмы из R к S является то , что характерно для S разрыва , что из R .
Обратите внимание, что даже несмотря на то, что некоторые из hom-множеств пусты, категория Ring по-прежнему связана, поскольку у нее есть начальный объект.
Некоторые специальные классы морфизмов в Ring включают:
- Изоморфизмы в кольце - это биективные гомоморфизмы колец.
- Мономорфизмы в кольце - это инъективные гомоморфизмы. Однако не всякий мономорфизм регулярен .
- Любой сюръективный гомоморфизм является эпиморфизмом в кольце , но обратное неверно. Включение Z → Q - несюръективный эпиморфизм. Естественный гомоморфизм колец из любого коммутативного кольца R в любую из его локализаций является эпиморфизмом, который не обязательно сюръективен.
- Сюръективные гомоморфизмы можно охарактеризовать как регулярные или экстремальные эпиморфизмы в кольце (эти два класса совпадают).
- Биморфизмы в кольце - это инъективные эпиморфизмы. Включение Z → Q является примером биморфизма, который не является изоморфизмом.
Другие свойства [ править ]
- Единственный инъективный объект в кольце с точностью до изоморфизма - нулевое кольцо (т.е. конечный объект).
- Без нулевых морфизмов категория колец не может быть преаддитивной категорией . (Однако каждое кольцо, рассматриваемое как небольшая категория с одним объектом, является предаддитивной категорией).
- Категория колец - это симметричная моноидальная категория с тензорным произведением колец ⊗ Z как моноидальным произведением и кольцом целых чисел Z как единичным объектом. Из теоремы Экмана – Хилтона следует , что моноид в кольце - это просто коммутативное кольцо . Действие моноида (= коммутативное кольцо) R на объекте (= кольцо) из кольца является только R - алгеброй .
Подкатегории [ править ]
Категория колец имеет ряд важных подкатегорий . Они включают в себя полные подкатегорий из коммутативных колец , интегральных областей , областей главных идеалов и поле .
Категория коммутативных колец [ править ]
Категория коммутативных колец , обозначенный CRING , является полной подкатегорией Ring , объекты которой являются все коммутативными кольцами . Эта категория является одним из центральных объектов изучения предмета коммутативной алгебры .
Любое кольцо можно сделать коммутативным, если взять фактор по идеалу, порожденному всеми элементами вида ( xy - yx ). Это определяет функтор Ring → CRing, который сопряжен слева с функтором включения, так что CRing является рефлексивной подкатегорией в Ring . Свободное коммутативное кольцо на множестве генераторов Е является кольцо многочленов Z [ Е ], переменный которого берется из Е . Это дает левый сопряженный функтор забывчивому функтору из CRing вУстановить .
CRing закрыт по пределу в Ring , что означает, что ограничения в CRing такие же, как и в Ring . Однако коллимиты обычно разные. Их можно сформировать, взяв коммутативное частное копределов в кольце . Копроизведение двух коммутативных колец дается тензорным произведением колец . Опять же, копроизведение двух ненулевых коммутативных колец может быть нулевым.
Напротив категории из CRING является эквивалентом к категории аффинных схем . Эквивалентность задается контравариантным функтором Spec, который переводит коммутативное кольцо в свой спектр - аффинную схему .
Категория полей [ править ]
Категория пола , обозначенное поле , является полной подкатегорией CRING , объекты которой является полем . Категория полей не так хорошо развита, как другие алгебраические категории. В частности, свободных полей не существует (т.е. нет левого сопряженного к забывчивому функтору Поле → Set ). Отсюда следует , что поле является не рефлексивной подкатегорией CRING .
Категория полей не является ни конечно полной, ни конечно кокополной. В частности, у Field нет ни продуктов, ни побочных продуктов.
Еще один любопытный аспект категории полей состоит в том, что каждый морфизм является мономорфизмом . Это следует из того факта, что единственными идеалами в поле F являются нулевой идеал и сам F. Затем можно рассматривать морфизмы в Поле как расширения поля .
Категория полей не связана . Между полями разной характеристики нет морфизмов . Компоненты связности поля - это полные подкатегории характеристики p , где p = 0 или простое число . Каждая такая подкатегория имеет начальный объект : простое поле характеристики p (которое является Q, если p = 0, в противном случае - конечным полем F p ).
Связанные категории и функторы [ править ]
Категория групп [ править ]
Существует естественный функтор из кольца к категории групп , Grp , который посылает каждое кольцо R к его группе единиц U ( R ) и в каждом кольцевом гомоморфизм к ограничению на U ( R ). У этого функтора есть левый сопряженный элемент, который переводит каждую группу G в целое групповое кольцо Z [ G ].
Другой функтор между этими категориями переводит каждое кольцо R в группу единиц кольца матриц M 2 ( R ), которая действует на проективной прямой над кольцом P ( R ).
R -алгебры [ править ]
Для коммутативного кольца R можно определить категорию R -Alg , все объекты которой являются R -алгебрами, а морфизмы - гомоморфизмами R -алгебр.
Категорию колец можно считать частным случаем. Каждое кольцо можно однозначно рассматривать как Z -алгебру. Гомоморфизмы колец - это в точности гомоморфизмы Z -алгебр. Следовательно, категория колец изоморфна категории Z-Alg . [1] Многие утверждения о категории колец можно обобщить до утверждений о категории R -алгебр.
Для каждого коммутативного кольца R существует функтор R -Alg → Ring, который забывает структуру R -модуля. У этого функтора есть левый сопряженный элемент, который переводит каждое кольцо A в тензорное произведение R ⊗ Z A , которое можно представить как R -алгебру, положив r · ( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .
Кольца без личности [ править ]
Многие авторы не требуют, чтобы кольца имели мультипликативный тождественный элемент и, соответственно, не требуют гомоморфизма колец для сохранения тождества (если он существует). Это приводит к совершенно другой категории. Для различия мы называем такие алгебраические структуры rng и их морфизмы rng гомоморфизмами . Категория всех рангов обозначим через Rng .
Категория колец Ring является неполной подкатегорией в Rng . Он неполный, потому что между кольцами существуют гомоморфизмы rng, которые не сохраняют тождество и поэтому не являются морфизмами в кольце . Функтор включения Ring → Rng имеет левый сопряженный элемент, который формально присоединяет единицу к любому rng. Функтор включения Ring → Rng учитывает пределы, но не копределы.
Нулевое кольцо служит как начальный и терминальный объект в Rng (то есть, это нулевой объект ). Отсюда следует, что Rng , как и Grp, но в отличие от Ring , не имеет морфизмов . Это просто гомоморфизмы rng, которые переводят все в 0. Несмотря на существование нулевых морфизмов, Rng по-прежнему не является предаддитивной категорией . Точечная сумма двух rng-гомоморфизмов, вообще говоря, не является rng-гомоморфизмом.
Существует полностью точный функтор из категории абелевых групп в Rng, переводящий абелеву группу в ассоциированный Rng с квадратом нуля .
Бесплатные конструкции менее естественны в Rng, чем в Ring . Например, свободное кольцо, порожденное набором { x }, является кольцом всех целочисленных многочленов над x без постоянного члена, а свободное кольцо, порожденное { x }, - это просто кольцо многочленов Z [ x ].
Ссылки [ править ]
- ^ Теннисон, Б. Р. (1975), Теория снопов , Серия лекций Лондонского математического общества, том 20, Cambridge University Press, стр. 74, ISBN 9780521207843.
- Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
- Мак Лейн, Сондерс ; Гаррет Биркгоф (1999). Алгебра ((3-е изд.) Изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1646-2.
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 ((2-е изд.) Изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.