Квазисфера

В математике и теоретической физике , квази-сфера является обобщением гиперсфере и гиперплоскость в контексте псевдо-евклидовом пространстве . Его можно описать как набор точек, для которых квадратичная форма пространства, примененная к вектору смещения от центральной точки, является постоянной величиной, с включением гиперплоскостей в качестве предельного случая.

Обозначения и терминология [ править ]

В этой статье используются следующие обозначения и терминология:

• Псевдоевклидово векторного пространство , обозначается R ^{сек , т} , является реальным векторным пространством с невырожденной квадратичной формой с подписью ( с , т ) . Квадратичная форма может быть определенной (где s = 0 или t = 0 ), что делает ее обобщением евклидова векторного пространства . ^[а]
• Псевдоевклидово пространства , обозначаемое Ē ^{сек , т} , является реальным аффинным пространством , в котором векторы смещения являются элементами пространства R ^{сек , т} . Его отличают от векторного пространства.
• Квадратичная форма Q , действующий на вектор х ∈ R ^{s , т} , обозначим Q ( х ) , является обобщением квадрата евклидова расстояния в евклидовом пространстве. Эли Картана называет Q ( х ) скалярный квадрат }} из х .
• Симметричная билинейная форма Б , действующая на двух векторов х , у ∈ R ^{s , т} обозначается B ( х , у ) или х ⋅ у . ^[Ь] Это связано с квадратичной формой Q . ^[c]
• Два вектора х , у ∈ R ^{s , т} является ортогональным , если X ⋅ у = 0 .
• Нормальный вектор в точке квази-сфере является ненулевой вектор, ортогональный к каждому вектору в касательном пространстве в этой точке.

Определение [ править ]

Квази-сфера является Подмногообразием из псевдо-евклидова пространства Е ^{с , т} , состоящим из точек у , для которых вектор смещения х = у - о от опорной точки Ø удовлетворяет уравнение

х ⋅ х + б ⋅ х + с = 0 ,

где a , c ∈ R и b , x ∈ R ^{s , t} . ^{[1] [д]}

Поскольку a = 0 в разрешенном, это определение включает гиперплоскости; таким образом, это обобщение обобщенных окружностей и их аналогов в любом количестве измерений. Это включение обеспечивает более регулярную структуру при конформных преобразованиях, чем если бы они были опущены.

Это определение было обобщено на аффинные пространства над комплексными числами и кватернионами путем замены квадратичной формы эрмитовой формой . ^[2]

Квазисфера P = { x ∈ X  : Q ( x ) = k } в квадратичном пространстве ( X , Q ) имеет контрсферу N = { x ∈ X  : Q ( x ) = - k } . ^[e] Кроме того, если k ≠ 0 и L - изотропная прямая в X через x = 0 , то L ∩ ( P∪ N ) = ∅ , пробивая объединение квазисферы и контрсферы. Одним из примеров является единичная гипербола, которая образует квазисферу гиперболической плоскости , и сопряженную с ней гиперболу, которая является ее контр-сферой.

Геометрические характеристики [ править ]

Центр и радиальный скалярный квадрат [ править ]

Центр квази-сфере является точка , которая имеет равную скалярный квадрат со всех точек квази-сферы, точка , в которой пучок линий , перпендикулярных к касательной гиперплоскости пересекаются. Если квазисфера - гиперплоскость, центр - это бесконечно удаленная точка, определяемая этим пучком.

Когда ≠ 0 , то вектор смещения р центра от опорной точки и радиального скалярного квадрата г может быть найден следующим образом . Положим Q ( x - p ) = r , и, сравнивая с определяющим уравнением выше для квазисферы, получаем

${\ displaystyle p = - {\ frac {b} {2a}},}$

${\ displaystyle r = p \ cdot p - {\ frac {c} {a}}.}$

Случай a = 0 можно интерпретировать как центр p, являющийся четко определенной точкой на бесконечности с бесконечным или нулевым радиальным скалярным квадратом (последнее в случае нулевой гиперплоскости). Знание p (и r ) в этом случае не определяет положение гиперплоскости, а только ее ориентацию в пространстве.

Радиальный скалярный квадрат может принимать положительное, нулевое или отрицательное значение. Когда квадратичная форма определена, даже если p и r могут быть определены из приведенных выше выражений, набор векторов x, удовлетворяющих определяющему уравнению, может быть пустым, как в случае евклидова пространства для отрицательного радиального скалярного квадрата.

Диаметр и радиус [ править ]

Любая пара точек, которые не обязательно должны быть различными (включая вариант, когда одна из них является бесконечно удаленной точкой) определяет диаметр квазисферы. Квазисфера - это набор точек, для которых два вектора смещения из этих двух точек ортогональны.

Любая точка может быть выбрана в качестве центра (включая точку на бесконечности), а любая другая точка на квазисфере (кроме точки на бесконечности) определяет радиус квазисферы и, таким образом, определяет квазисферу.

Разбиение на разделы [ править ]

Ссылаясь на квадратичную форму, примененную к вектору смещения точки на квазисфере от центра (т.е. Q ( x - p ) ) как радиальный скалярный квадрат , в любом псевдоевклидовом пространстве квазисферы могут быть разделены на три непересекающихся множества: с положительным радиальным скалярным квадратом, с отрицательным радиальным скалярным квадратом, с нулевым радиальным скалярным квадратом. ^[f]

В пространстве с положительно определенной квадратичной формой (то есть в евклидовом пространстве) квазисфера с отрицательным радиальным скалярным квадратом является пустым множеством, одна с нулевым радиальным скалярным квадратом состоит из одной точки, другая с положительным радиальным скалярным квадратом равна стандартная n- сфера, а одна с нулевой кривизной является гиперплоскостью, разделенной n- сферами.

См. Также [ править ]

• Анти-де Ситтер пространство
• пространство де Ситтера
• Гиперболоид § Отношение к сфере
• Геометрия сферы Ли
• Квадратичный набор

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]