В физике , в функции Грина (или фундаментальное решение ) для уравнения Лапласа в трех переменных используются для описания реакции определенного типа физической системы к точечному источнику . В частности, эта функция Грина возникает в системах, которые могут быть описаны уравнением Пуассона, уравнением в частных производных (PDE) вида
где - оператор Лапласа в, - исходный член системы, и является решением уравнения. Так как- линейный дифференциальный оператор , решение к общей системе этого типа может быть записан как интеграл по распределению источника, заданному формулой :
где функция Грина для уравнения Лапласа от трех переменных описывает реакцию системы в точке к точечному источнику, расположенному в :
а точечный источник задается выражением , дельта-функция Дирака .
Мотивация
Одна из физических систем этого типа - это распределение заряда в электростатике . В такой системе электрическое поле выражается как отрицательный градиент электрического потенциала , и применяется закон Гаусса в дифференциальной форме:
Объединение этих выражений дает
- ( Уравнение Пуассона .)
Мы можем найти решение к этому уравнению для произвольного распределения заряда путем временного рассмотрения распределения, созданного точечным зарядом расположен на :
В таком случае,
что показывает, что для даст ответ системы на точечный заряд . Следовательно, из приведенного выше обсуждения, если мы сможем найти функцию Грина этого оператора, мы сможем найти быть
для общего распределения заряда.
Математическая экспозиция
Функция Грина в свободном пространстве для уравнения Лапласа с тремя переменными задается в терминах обратного расстояния между двумя точками и известна как « ядро Ньютона » или « ньютоновский потенциал ». То есть решение уравнения
является
где - стандартные декартовы координаты в трехмерном пространстве, а - дельта-функция Дирака .
Алгебраическое выражение функции Грина для уравнения Лапласа три переменных, за исключением срока постоянноговыраженные в декартовых координатах , будут называться
При наличии алгебраического выражения функции Грина возможно множество формул разложения. Одно из наиболее известных из них, разложение Лапласа для уравнения Лапласа с тремя переменными, дается в терминах производящей функции для полиномов Лежандра :
который был записан в сферических координатах . Обозначение меньше (больше чем) означает, что берется сферический радиус со штрихом или без него, в зависимости от того, какой из них меньше (больше) другого. В представляет собой угол между двумя произвольными векторами дано
Круговая цилиндрическая функция Грина в свободном пространстве (см. Ниже) дается через обратное расстояние между двумя точками. Выражение получено из классической электродинамики Джексона . [1] Используя функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными, можно проинтегрировать уравнение Пуассона , чтобы определить потенциальную функцию. Функции Грина можно разложить по базисным элементам (гармоническим функциям), которые определяются с помощью разделимых систем координат для линейного уравнения в частных производных . Для функции Грина существует множество разложений по специальным функциям. В случае, когда граница расположена на бесконечности с граничным условием, устанавливающим решение равным нулю на бесконечности, тогда имеется функция Грина бесконечной степени. Для уравнения Лапласа с тремя переменными можно, например, разложить его на инвариантные относительно вращения системы координат, которые допускают разделение переменных . Например:
где
а также - нечетно- полуцелая функция Лежандра второго рода, являющаяся тороидальной гармоникой. Здесь разложение записано в цилиндрических координатах. См., Например, Тороидальные координаты .
Используя одну из формул Уиппла для тороидальных гармоник, можно получить альтернативный вид функции Грина
в терминах тороидальной гармоники первого рода.
Эта формула была использована в 1999 году для астрофизических приложений в статье, опубликованной в The Astrophysical Journal , опубликованной Ховардом Колом и Джоэлом Толайном. [2] Вышеупомянутая формула также известна в инженерном сообществе. Например, статья, опубликованная в журнале Journal of Applied Physics в томе 18, 1947 г., страницы 562-577, показывает, что NG De Bruijn и CJ Boukamp знали об упомянутой выше взаимосвязи. Фактически, практически вся математика, найденная в недавних статьях, уже была сделана Честером Сноу. Это можно найти в его книге « Гипергеометрические и Лежандровские функции в приложениях к интегральным уравнениям теории потенциала» , Национальное бюро стандартов прикладной математики, серия 19, 1952 г. См. Стр. 228–263. Статья Честера Сноу «Магнитные поля цилиндрических катушек и кольцевых катушек» (Национальное бюро стандартов, Applied Mathematical Series 38, 30 декабря 1953 г.) ясно показывает взаимосвязь между функцией Грина в свободном пространстве в цилиндрических координатах и Q -функция выражение. Точно так же посмотрите еще одну работу Сноу, озаглавленную «Формулы для вычисления емкости и индуктивности», Циркуляр 544 Национального бюро стандартов, 10 сентября 1954 г., стр. 13–41. Действительно, в последнее время было опубликовано не так много публикаций по тороидальным функциям и их приложениям в технике или физике. Однако существует ряд инженерных приложений. Опубликована одна заявка; статья была написана JP Selvaggi, S. Salon, O. Kwon и MVK Chari, "Расчет внешнего магнитного поля от постоянных магнитов в двигателях с постоянными магнитами - альтернативный метод", IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 40, No. 5, September 2004. Эти авторы проделали обширную работу с функциями Лежандра второго рода и полуцелыми степенями или тороидальными функциями нулевого порядка. Они решили множество задач, которые демонстрируют круговую цилиндрическую симметрию, используя тороидальные функции.
Вышеупомянутые выражения для функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными являются примерами выражений одиночного суммирования для этой функции Грина. Для этой функции Грина существуют также одноцелочисленные выражения. Можно видеть, что их примеры существуют во вращательных цилиндрических координатах как интегральное преобразование Лапласа в разности вертикальных высот, ядро которого дается в терминах функции Бесселя первого рода нулевого порядка как
где большие (меньшие) переменные а также . Точно так же функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными может быть задана как интегральное косинусное преобразование Фурье разности вертикальных высот, ядро которого дается в терминах модифицированной функции Бесселя второго рода нулевого порядка как
Вращательно-инвариантные функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными
Разложения функций Грина существуют во всех вращательно-инвариантных системах координат, которые, как известно, дают решения уравнения Лапласа с тремя переменными с помощью техники разделения переменных.
- цилиндрические координаты
- сферические координаты
- Вытянутые сфероидальные координаты
- Сплюснутые сфероидальные координаты
- Параболические координаты
- Тороидальные координаты
- Бисферические координаты
- Координаты циклида с плоским кольцом
- Координаты циклида плоского диска
- Бициклидные координаты
- Координаты кап-циклида