Функция Лежандра

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В физике и математике функции Лежандра P _λ , Q _λ и связанные с ними функции Лежандра P^μ
_λ, Q^μ
_λИ Лежандр функция второго рода , Q _п , все решения дифференциального уравнения Лежандра. Эти многочлены Лежандра и ассоциированные полиномы Лежандра также являются решениями дифференциального уравнения в частных случаях, которые, в силу того , многочленов, имеют большое количество дополнительных свойств, математической структуры и приложений. Об этих полиномиальных решениях см. Отдельные статьи в Википедии.

Соответствующие полиномиальные кривые Лежандра для λ = l = 5 .

Дифференциальное уравнение Лежандра [ править ]

Общее уравнение Лежандра читает

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,}$

где числа λ и μ могут быть комплексными и называются степенью и порядком соответствующей функции соответственно. Полиномиальные решения, когда λ является целым числом (обозначается n ), а μ = 0, являются многочленами Лежандра P _n ; и когда λ является целым числом (обозначается n ), а μ = m также является целым числом с | м | < n - ассоциированные многочлены Лежандра. Все остальные случаи λ и μ можно рассматривать как один, и решения записываются P^μ
_λ, Q^μ
_λ. Если μ = 0 , верхний индекс опускается и пишется просто P _λ , Q _λ . Однако решение Q _λ, когда λ является целым числом, часто обсуждается отдельно как функция Лежандра второго рода и обозначается Q _n .

Это линейное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками ( 1, −1 и ∞ ). Как и все такие уравнения, оно может быть преобразовано в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменной, а его решения могут быть выражены с помощью гипергеометрических функций .

Решения дифференциального уравнения [ править ]

Так как дифференциальное уравнение является линейным и второго порядка, он имеет два линейно независимых решения, которые оба могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции , . Поскольку это гамма-функция , первое решение:${\displaystyle _{2}F_{1}}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2}$

а второй -

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$

Они обычно известны как функции Лежандра первого и второго типа нецелой степени с дополнительным квалификатором «связанный», если μ не равно нулю. Полезной связью между решениями P и Q является формула Уиппла .

Функции Лежандра второго рода ( Q _n ) [ править ]

График первых пяти функций Лежандра второго рода.

Неполиномиальное решение для частного случая целочисленной степени и часто обсуждается отдельно. Это дается${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$

Это решение обязательно будет особенным, когда .${\displaystyle x=\pm 1}$

Функции Лежандра второго рода также могут быть определены рекурсивно с помощью формулы рекурсии Бонне

${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$

Ассоциированные функции Лежандра второго рода [ править ]

Неполиномиальное решение для частного случая целочисленной степени и дается выражением${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$

Интегральные представления [ править ]

Функции Лежандра можно записать в виде контурных интегралов. Например,

${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$

где контур огибает точки 1 и z в положительном направлении и не наматывается вокруг -1 . Для действительного x мы имеем

${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$

Функции Лежандра как персонажей [ править ]

Реальное интегральное представление очень полезны при изучении гармонического анализа на котором этом пространство двойного смежных классов из (см зональных сферических функций ). Фактически преобразование Фурье задается формулой${\displaystyle P_{s}}$${\displaystyle L^{1}(G//K)}$${\displaystyle G//K}$${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}(G//K)}$

${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$

где

${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$

См. Также [ править ]

• Функция Феррерса

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 8» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 332. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Том 1 , Нью-Йорк: Interscience Publisher, Inc..
• Данстер, TM (2010), «Лежандр и родственные функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Функция Лежандра" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Сноу, Честер (1952) [1942], гипергеометрические функции и функции Лежандра с приложениями к интегральным уравнениям теории потенциала , Национальное бюро стандартов серии прикладной математики, № 19, Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США, hdl : 2027 / mdp. 39015011416826 , МР  0048145
• Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1963), курс современного анализа , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2

Внешние ссылки [ править ]

• Функция Лежандра P на сайте функций Wolfram.
• Функция Лежандра Q на сайте функций Wolfram.
• Связанная функция Лежандра P на сайте функций Вольфрама.
• Связанная функция Лежандра Q на сайте функций Wolfram.