Ассоциированные полиномы Лежандра

В математике , то соответствующие полиномы Лежандра являются каноническими решениями общего уравнения Лежандра

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) -2x {\ frac {d} {dx}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) + \ left [\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} \ справа] P _ {\ ell} ^ {m} (x) = 0}$,

или эквивалентно

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {d} {dx}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) \ right] + \ left [\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} \ right] P _ {\ ell} ^ {m} (x) = 0 }$,

где индексы ℓ и m (которые являются целыми числами) называются степенью и порядком ассоциированного многочлена Лежандра соответственно. Это уравнение имеет ненулевые решения, неособые на [−1, 1], только если ℓ и m - целые числа с 0 ≤ m ≤ ℓ или с тривиально эквивалентными отрицательными значениями. Если вдобавок m четно, функция является полиномом . Когда m равно нулю и ℓ целое число, эти функции идентичны полиномам Лежандра . В общем, когда ℓ и mявляются целыми числами, регулярные решения иногда называют «ассоциированными полиномами Лежандра», даже если они не являются полиномами, когда m нечетно. Полностью общий класс функций с произвольными действительными или комплексными значениями ℓ и m - это функции Лежандра . В этом случае параметры обычно обозначаются греческими буквами.

Обыкновенное дифференциальное уравнение Лежандра часто встречается в физике и других областях техники. В частности, это происходит при решении уравнения Лапласа (и связанных дифференциальных уравнений в частных производных ) в сферических координатах . Связанные полиномы Лежандра играют жизненно важную роль в определении сферических гармоник .

Определение неотрицательных целочисленных параметров ℓ и m [ править ]

Эти функции обозначены , где верхний индекс указывает на порядок, а не мощность P . Их наиболее прямое определение дано в терминах производных обычных многочленов Лежандра ( m ≥ 0)${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)}$,

Фактор (-1) ^m в этой формуле известен как фаза Кондона – Шортли . Некоторые авторы опускают его. Функции, описываемые этим уравнением, удовлетворяют общему дифференциальному уравнению Лежандра с указанными значениями параметров ℓ и m следует путем дифференцирования m раз уравнения Лежандра для P _ℓ : ^[1]

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$

Кроме того, так как по формуле Родриги ,

${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$

P^м
_ℓ можно выразить в виде

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$

Это уравнение позволяет расширить диапазон m до: - ℓ ≤ m ≤ ℓ . Определения P _ℓ ^{± m} , полученные в результате замены ± m в этом выражении , пропорциональны. Действительно, приравняем коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях

${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$

то следует, что коэффициент пропорциональности равен

${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$

так что

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$

Альтернативные обозначения [ править ]

В литературе также используются следующие альтернативные обозначения: ^[2]

${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$

Закрытая форма [ править ]

Связанный многочлен Лежандра также можно записать как:

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^{l}{\frac {k!}{(k-m)!}}\cdot x^{k-m}\cdot {\binom {l}{k}}{\binom {\frac {l+k-1}{2}}{l}}}$

с простыми одночленами и обобщенным видом биномиального коэффициента .

Ортогональность [ править ]

Ассоциированные полиномы Лежандра, вообще говоря, не ортогональны друг другу. Например, не ортогонален . Однако некоторые подмножества ортогональны. Предполагая, что 0 ≤  m  ≤  ℓ , они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном m :${\displaystyle P_{1}^{1}}$${\displaystyle P_{2}^{2}}$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$

Где δ _{k ,  ℓ} - _символ Кронекера .

Также они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном ℓ :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}}$

Отрицательное m и / или отрицательное ℓ [ править ]

Очевидно, дифференциальное уравнение инвариантно при изменении знака m .

Выше было показано, что функции для отрицательного m пропорциональны функциям для положительного m :

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$

(Это следовало из определения формулы Родригеса. Это определение также заставляет различные формулы повторения работать для положительного или отрицательного m .)

${\displaystyle {\textrm {If}}\quad {\mid }m{\mid }>\ell \,\quad \mathrm {then} \quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$

Дифференциальное уравнение также инвариантны относительно изменения от л к - л  - 1, а функции для отрицательного л определяются

${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)}$.

Четность [ править ]

Из их определения можно убедиться, что ассоциированные функции Лежандра являются либо четными, либо нечетными в соответствии с

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell +m}P_{\ell }^{m}(x)}$

Первые несколько связанных функций Лежандра [ править ]

Ассоциированные функции Лежандра при m = 0

Ассоциированные функции Лежандра при m = 1

Ассоциированные функции Лежандра для m = 2

Первые несколько связанных функций Лежандра, в том числе для отрицательных значений m , следующие:

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{1}^{0}(x)=x}$

${\displaystyle P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}$

Формула повторения [ править ]

Эти функции обладают рядом свойств повторения:

${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$

Полезные идентификаторы (начальные значения для первой рекурсии):

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$

${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$

с !! двойной факториал .

Формула Гаунта [ править ]

Интеграл по произведению трех ассоциированных полиномов Лежандра (с порядком согласования, как показано ниже) является необходимым ингредиентом при преобразовании произведений полиномов Лежандра в ряд, линейный по полиномам Лежандра. Например, это оказывается необходимым при атомных вычислениях многообразия Хартри – Фока, где требуются матричные элементы кулоновского оператора. Для этого у нас есть формула Гаунта ^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx=}$	${\displaystyle (-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}}$
	${\displaystyle \times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}}$

Эта формула должна использоваться при следующих предположениях:

1. степени - неотрицательные целые числа ${\displaystyle l,m,n\geq 0}$
2. все три порядка - неотрицательные целые числа ${\displaystyle u,v,w\geq 0}$
3. ${\displaystyle u}$ самый крупный из трех заказов
4. заказы суммируются ${\displaystyle u=v+w}$
5. степени подчиняются ${\displaystyle m\geq n}$

Другие величины, фигурирующие в формуле, определяются как

${\displaystyle \ 2s=l+m+n}$

${\displaystyle \ p=\max(0,\,n-m-u)}$

${\displaystyle \ q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$

Интеграл равен нулю, если только

1. сумма степеней четна, это целое число${\displaystyle s}$
2. треугольное условие выполнено ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$

Донг и Лемус (2002) ^[4] обобщили вывод этой формулы на интегралы по произведению произвольного числа ассоциированных многочленов Лежандра.

Обобщение с помощью гипергеометрических функций [ править ]

Эти функции могут быть фактически определены для общих сложных параметров и аргументов:

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$

где это гамма - функция и является гипергеометрической функцией${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$

При таком более общем определении они называются функциями Лежандра . Они удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что и раньше:

${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$

Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, оно имеет второе решение , определяемое как:${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$и оба подчиняются различным формулам повторения, приведенным ранее.${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

Повторная параметризация с точки зрения углов [ править ]

Эти функции наиболее полезны, когда аргумент повторно параметризован с точки зрения углов, позволяя :${\displaystyle x=\cos \theta }$

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)\,}$

Используя соотношение , приведенный выше список дает первые несколько полиномов, параметризованных таким образом, как:${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$

Ортогональности соотношения , приведенные выше , становятся в этой формулировке: при фиксированном т , ортогональны, параметризовано & thetas над , с весом :${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle \sin \theta }$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$

Также для фиксированного ℓ :

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$

В терминах θ являются решениями${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$

Точнее, если задано целое число m 0, указанное выше уравнение имеет неособые решения только тогда, когда для ℓ целое число ≥  m , и эти решения пропорциональны .${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

Приложения в физике: сферические гармоники [ править ]

Во многих случаях в физике связанные полиномы Лежандра в терминах углов встречаются там, где задействована сферическая симметрия . Угол широты в сферических координатах - это угол, использованный выше. Угол долготы , появляется в множительном множителе. Вместе они составляют набор функций, называемых сферическими гармониками . Эти функции выражают симметрию двумерной сферы под действием группы Ли SO (3).${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

Что делает эти функции полезными, так это то, что они играют центральную роль в решении уравнения на поверхности сферы. В сферических координатах θ (широта) и φ (долгота) лапласиан равен${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$

Когда уравнение в частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$

решается методом разделения переменных , получается часть, зависящая от φ или для целого числа m≥0, и уравнение для части, зависящей от θ${\displaystyle \sin(m\phi )}$${\displaystyle \cos(m\phi )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$

для которых решения есть с и .${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle \ell {\geq }m}$${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

Следовательно, уравнение

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

имеет невырожденные разделенные решения только тогда , когда , и эти решения пропорциональны${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$

и

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$

Для каждого выбора ℓ существует 2ℓ + 1 функция для различных значений m и выбора синуса и косинуса. Все они ортогональны как в л и м при интегрировании по поверхности сферы.

Решения обычно записываются в виде комплексных экспонент :

${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$

Функции представляют собой сферические гармоники , а величина в квадратном корне является нормирующим множителем. Вспоминая связь между ассоциированными функциями Лежандра положительного и отрицательного m , легко показать, что сферические гармоники удовлетворяют тождеству ^[5]${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$

Сферические гармонические функции образуют полный ортонормированный набор функций в смысле ряда Фурье . Специалисты в области геодезии, геомагнетизма и спектрального анализа используют другую фазу и коэффициент нормализации, чем указано здесь (см. Сферические гармоники ).

Когда трехмерное сферически-симметричное уравнение в частных производных решается методом разделения переменных в сферических координатах, часть, которая остается после удаления радиальной части, обычно имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$

следовательно, решения представляют собой сферические гармоники.

Обобщения [ править ]

Многочлены Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами . В виде сферических гармоник они выражают симметрию двусферы под действием группы Ли SO (3). Существует много других групп Ли помимо SO (3), и существует аналогичное обобщение полиномов Лежандра, выражающее симметрии полупростых групп Ли и римановых симметрических пространств . Грубо говоря, можно определить лапласиан на симметрических пространствах; собственные функции лапласиана можно рассматривать как обобщения сферических гармоник на другие параметры.

См. Также [ править ]

• Угловой момент
• Квадратура Гаусса
• Полиномы Лежандра
• Сферические гармоники
• Преобразование Уиппла функций Лежандра
• Многочлены Лагерра
• Полиномы Эрмита

Примечания и ссылки [ править ]

• Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ (2001), Математические методы для физиков , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; Раздел 12.5. (Использует другое соглашение о знаках.)
• Белоусов, SL (1962), Таблицы нормализованных ассоциированных многочленов Лежандра , Математические таблицы, 18 , Pergamon Press.
• Кондон, ЕС; Шортли, Г. Х. (1970), Теория атомных спектров , Кембридж, Англия: Cambridge University Press, OCLC  5388084; Глава 3.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Том 1 , Нью-Йорк: Interscience Publischer, Inc..
• Данстер, TM (2010), «Лежандр и родственные функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Эдмондс, АР (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07912-7; Глава 2.
• Хильдебранд, Ф. Б. (1976), Advanced Calculus for Applications , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-011189-0.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Шах, С.Р. (1973) Новые тождества для связанных с Лежандром функций интегрального порядка и степени , Журнал Общества промышленной и прикладной математики по математическому анализу, 1976, Vol. 7, No. 1: pp. 59–69

Внешние ссылки [ править ]

• Связанные полиномы Лежандра в MathWorld
• Многочлены Лежандра в MathWorld