В математике формула Родригеса (ранее называвшаяся формулой Айвори – Якоби ) - это формула для полиномов Лежандра, независимо введенная Олиндой Родригес ( 1816 г. ), сэром Джеймсом Айвори ( 1824 г. ) и Карлом Густавом Якоби ( 1827 г. ). Название «формула Родригеса» было введено Гейне в 1878 году после того, как Эрмит указал в 1865 году, что Родригес был первым, кто его открыл. Этот термин также используется для описания подобных формул для других ортогональных многочленов . Аски (2005) подробно описывает историю формулы Родригеса.
Заявление
Позволять последовательность ортогональных многочленов, удовлетворяющая условию ортогональности
где, - подходящая весовая функция, константы и - дельта Кронекера. Если весовая функция удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению (называемому дифференциальным уравнением Пирсона),
где является многочленом степени не выше 1 и является многочленом степени не выше 2 и, кроме того, пределы
тогда можно показать, что удовлетворяет рекуррентному соотношению вида
для некоторых констант . Это отношение называется формулой типа Родригеса или просто формулой Родригеса . [1]
Наиболее известные применения формул типа Родрига - формулы для полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита:
Родригес сформулировал свою формулу для полиномов Лежандра :
Полиномы Лагерра обычно обозначают L 0 , L 1 , ..., а формулу Родрига можно записать как
Формула Родригеса для полинома Эрмита может быть записана как
- .
Подобные формулы верны для многих других последовательностей ортогональных функций, возникающих из уравнений Штурма-Лиувилля , и они также называются формулой Родригеса (или формулой типа Родригеса) для этого случая, особенно когда результирующая последовательность является полиномиальной.
Рекомендации
- ^ «Формула Родригеса - Математическая энциклопедия» . www.encyclopediaofmath.org . Проверено 18 апреля 2018 .
- Аски, Ричард (2005), «Статья 1839 года о перестановках: ее связь с формулой Родригеса и дальнейшие разработки» , в Altmann, Simón L .; Ортис, Эдуардо Л. (ред.), Математика и социальные утопии во Франции: Олинда Родригес и его времена , История математики, 28 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 105–118, ISBN 978-0-8218-3860-0
- Цвета слоновой кости, Джеймс (1824), «На рисунке Необходимого для поддержания равновесия однородной жидкости массы , которая вращается , при возникновении оси», Философские труды Королевского общества Лондона , The Royal Society, 114 : 85-150, DOI : 10,1098 /rstl.1824.0008 , JSTOR 107707
- Якоби, CGJ (1827), «Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1-2 xz + z 2 ) 1/2 entstehen». , Journal für умереть Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ), 2 : 223-226, DOI : 10,1515 / crll.1827.2.223 , ISSN 0075-4102 , S2CID 120291793
- О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Олинда Родригес" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- Родригес, Олинд (1816), «Аттракцион сфероидов» , Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique , (Диссертация для факультета естественных наук Парижского университета), 3 (3): 361–385