Полиномы Эрмита

В математике , то полиномы Эрмита являются классическим ортогональным многочленом последовательности .

Многочлены возникают в:

• обработка сигналов в виде эрмитовых вейвлетов для анализа вейвлет-преобразования
• вероятность , такая как ряд Эджворта , а также в связи с броуновским движением ;
• комбинаторика , как пример последовательности Аппеля , подчиняющейся теневому исчислению ;
• численный анализ в виде квадратуры Гаусса ;
• физики , где они приводят к собственным состояниям в квантовом гармоническом осцилляторе ; и они также встречаются в некоторых случаях уравнения теплопроводности (когда присутствует член );${\ Displaystyle {\ begin {выровненный} xu_ {x} \ конец {выровненный}}}$
• теория систем в связи с нелинейными операциями над гауссовским шумом .
• теория случайных матриц в гауссовских ансамблях .

Многочлены Эрмита были определены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году ^{[1] [2],} хотя и в трудно узнаваемой форме, и подробно изучены Пафнутом Чебышевым в 1859 году. ^[3] Работы Чебышева не были замечены , и они были названы позже в честь Чарльза Эрмита. , который писал о многочленах в 1864 году, описывая их как новые. ^[4] Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто определил многомерные полиномы в своих более поздних публикациях 1865 года.

Определение [ править ]

Как и другие классические ортогональные многочлены , многочлены Эрмита могут быть определены из нескольких различных отправных точек. С самого начала отмечая, что широко используются две различные стандартизации, один из удобных методов состоит в следующем:

• В «Эрмита вероятностник в» определяются

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {\ frac {x ^ {2}} {2}} {\ frac {d ^ {n }} {dx ^ {n}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}},}$

• в то время как "полиномы Эрмита физика" даются

${\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}}.}$

Эти уравнения имеют форму формулы Родригеса, а также могут быть записаны как,

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$

Эти два определения не совсем идентичны; каждый является изменением масштаба другого:

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Это полиномиальные последовательности Эрмита различной дисперсии; см. материал о вариациях ниже.

Обозначения He и H используются в стандартных ссылках. ^[5] Многочлены He _n иногда обозначают H _n , особенно в теории вероятностей, потому что

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

- функция плотности вероятности для нормального распределения с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

• Первые одиннадцать вероятностных многочленов Эрмита:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{\mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\\{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$

• Первые одиннадцать полиномов Эрмита физика:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$

Свойства [ править ]

П - го порядка полином Эрмита многочлен степени п . Версия вероятностного He _n имеет старший коэффициент 1, а версия физика H _n имеет старший коэффициент 2 ⁿ .

Ортогональность [ править ]

Н _п ( х ) , и он _п ( х ) являются п - й степени-полиномы для п = 0, 1, 2, 3, ... . Эти многочлены ортогональны относительно весовой функции ( меры )

${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})}$

или же

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$

т.е. у нас есть

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$

Более того,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$

или же

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$

где - дельта Кронекера .${\displaystyle \delta _{nm}}$

Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны по отношению к стандартной нормальной функции плотности вероятности.

Полнота [ править ]

Эрмита многочлены (вероятностник - й или физика) образует ортогональный базис в гильбертовом пространстве функций , удовлетворяющей

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$

в котором внутренний продукт задается интегралом

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$

включая гауссову весовую функцию w ( x ), определенную в предыдущем разделе

Ортогональный базис для L 2 ( R , ш ( х ) ого ) является полной ортогональной системой . Для ортогональной системы полнота эквивалентна тому факту, что функция 0 является единственной функцией f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ), ортогональной всем функциям в системе.

Поскольку линейная оболочка многочленов Эрмита - это пространство всех многочленов, нужно показать (в физическом случае), что если f удовлетворяет

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$

для любого n ≥ 0 , то f = 0 .

Один из возможных способов сделать это - понять, что вся функция

${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$

тождественно пропадает. Тот факт, что F ( it ) = 0 для любого действительного t, означает, что преобразование Фурье функции f ( x ) e ^{- x 2} равно 0, следовательно, f равно 0 почти всюду. Варианты приведенного выше доказательства полноты применимы к другим весам с экспоненциальным убыванием.

В случае Эрмита также возможно доказать явное тождество, которое подразумевает полноту (см. Раздел об отношении полноты ниже).

Эквивалентная формулировка того факта , что Эрмит многочлены ортогональный базис для L ² ( R , ш ( х ) ого ) состоит во введении Эрмита функции (см ниже), и, говоря , что функции Эрмита являются ортонормированным базисом L ² ( R ) .

Дифференциальное уравнение Эрмита [ править ]

Полиномы Эрмита вероятностного являются решениями дифференциального уравнения

${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$

где λ - постоянная. Налагая граничное условие, что u должно быть полиномиально ограничено на бесконечности, уравнение имеет решения только в том случае, если λ - неотрицательное целое число, и решение однозначно задается выражением , где обозначает константу.${\displaystyle u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Переписываем дифференциальное уравнение как задачу на собственные значения

${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$

полиномы Эрмита можно понимать как собственные функции дифференциального оператора . Эта проблема собственных значений называется уравнением Эрмита , хотя этот термин также используется для тесно связанного уравнения${\displaystyle He_{\lambda }(x)}$${\displaystyle L[u]}$

${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$

решение которой однозначно дается в терминах полиномов Эрмита физика в форме , где обозначает константу, после наложения граничного условия, что u должна быть полиномиально ограничена на бесконечности.${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Общие решения вышеупомянутых дифференциальных уравнений второго порядка фактически являются линейными комбинациями как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнения Эрмита физика

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$

общее решение принимает вид

${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$

где и - константы, - полиномы Эрмита физика (первого рода) и - функции Эрмита физика (второго рода). Последние функции компактно представлены в виде где - конфлюэнтные гипергеометрические функции первого рода . Обычные полиномы Эрмита также могут быть выражены в терминах конфлюэнтных гипергеометрических функций, см. Ниже.${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

С более общими граничными условиями полиномы Эрмита могут быть обобщены для получения более общих аналитических функций для комплекснозначных λ . Также возможна явная формула полиномов Эрмита в терминах контурных интегралов ( Курант и Гильберт, 1989 ).

Отношение повторения [ править ]

Последовательность вероятностных многочленов Эрмита также удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).}$

Индивидуальные коэффициенты связаны следующей формулой рекурсии:

${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-na_{n-1,k}&k=0,\\a_{n,k-1}-na_{n-1,k}&k>0,\end{cases}}}$

и _0,0 = 1 , _1,0 = 0 , _1,1 = 1 .

Для полиномов физика в предположении

${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$

у нас есть

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$

Индивидуальные коэффициенты связаны следующей формулой рекурсии:

${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$

и _0,0 = 1 , _1,0 = 0 , _1,1 = 2 .

Полиномы Эрмита составляют последовательность Аппеля , т. Е. Представляют собой полиномиальную последовательность, удовлетворяющую тождеству

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Эквивалентно, расширяя Тейлора ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$

Эти темные тождества очевидны и включены в представление дифференциального оператора, подробно описанное ниже:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$

Следовательно, для m- й производной выполняются следующие соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}{\mathit {He}}_{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что полиномы Эрмита также удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Эти последние соотношения вместе с исходными многочленами H ₀ ( x ) и H ₁ ( x ) могут использоваться на практике для быстрого вычисления многочленов.

Неравенства Турана являются

${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$

Более того, справедлива следующая теорема умножения :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{aligned}}}$

Явное выражение [ править ]

Многочлены Эрмита физика могут быть явно записаны как

${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$

Эти два уравнения можно объединить в одно с помощью функции пола :

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$

У вероятностных многочленов Эрмита He есть аналогичные формулы, которые можно получить из них, заменив степень 2 x соответствующей степенью √ 2  x и умножив всю сумму на 2 ^-п/2:

${\displaystyle He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$

Обратное явное выражение [ править ]

Обратные к вышеприведенным явным выражениям, то есть выражения для мономов в терминах вероятностных многочленов Эрмита He имеют вид

${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).}$

Соответствующие выражения для полиномов Эрмита H физика получаются непосредственно после соответствующего масштабирования: ^[6]

${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$

Функция генерации [ править ]

Многочлены Эрмита задаются экспоненциальной производящей функцией

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$

Это равенство справедливо для всех комплексных значений x и t и может быть получено записью разложения Тейлора в точке x всей функции z → e ^{- z 2} (в случае физика). Можно также вывести производящую функцию (физика), используя интегральную формулу Коши для записи полиномов Эрмита в виде

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$

Используя это в сумме

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$

можно вычислить оставшийся интеграл, используя исчисление вычетов, и прийти к желаемой производящей функции.

Ожидаемые значения [ править ]

Если X - случайная величина с нормальным распределением со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ , то

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$

Моменты стандартной нормали (с нулевым математическим ожиданием) могут быть считаны непосредственно из соотношения для четных индексов:

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,}$

где (2 n - 1) !! - двойной факториал . Обратите внимание, что приведенное выше выражение является частным случаем представления полиномов Эрмита вероятности в виде моментов:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$

Асимптотическое разложение [ править ]

Асимптотически при n → ∞ разложение ^[7]

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$

Справедливо. В некоторых случаях, касающихся более широкого диапазона оценки, необходимо включить коэффициент изменения амплитуды:

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$

которое, используя приближение Стирлинга , в пределе можно упростить до

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Это расширение необходимо для решения волновых из более квантового гармонического осциллятора таким образом, что она согласуется с классическим приближением в пределе принципа соответствия .

Лучшее приближение, учитывающее изменение частоты, дается формулой

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Более тонкое приближение ^[8], которое учитывает неравномерное расположение нулей около краев, использует замену

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$

с которым имеется равномерное приближение

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$

Аналогичные приближения справедливы для монотонной и переходной областей. В частности, если

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$

тогда

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$

в то время как для

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$

с t комплексным и ограниченным приближением

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$

где Ai - функция Эйри первого рода.

Особые значения [ править ]

Полиномы Эрмита физика, вычисленные при нулевом аргументе H _n (0) , называются числами Эрмита .

${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$

которые удовлетворяют рекурсивному соотношению H _n (0) = −2 ( n - 1) H _{n - 2} (0) .

В терминах вероятностных полиномов это означает

${\displaystyle He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$

Связь с другими функциями [ править ]

Многочлены Лагерра [ править ]

Полиномы Эрмита можно выразить как частный случай полиномов Лагерра :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями [ править ]

Полиномы Эрмита физика могут быть выражены как частный случай функций параболического цилиндра :

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$

в правой полуплоскости , где U ( a , b , z ) - вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми . По аналогии,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$

где ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера .

Дифференциально-операторное представление [ править ]

Многочлены Эрмита вероятностного удовлетворяют тождеству

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$

где D представляет собой дифференцирование по x , а экспонента интерпретируется путем расширения ее как степенного ряда . Когда этот ряд работает с многочленами, нет деликатных вопросов о сходимости этого ряда, поскольку все члены, кроме конечного числа, равны нулю.

Поскольку коэффициенты степенного ряда экспоненты хорошо известны, а производные высшего порядка монома x ⁿ могут быть записаны явно, это представление дифференциального оператора приводит к конкретной формуле для коэффициентов при H _n, которую можно использовать чтобы быстро вычислить эти полиномы.

Поскольку формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W есть e ^{D 2} , мы видим, что преобразование Вейерштрасса для ( √ 2 ) ⁿ He _n (Икс/√ 2) есть x ⁿ . Таким образом, по сути преобразование Вейерштрасса превращает серию многочленов Эрмита в соответствующий ряд Маклорена .

Существование некоторого формального степенного ряда g ( D ) с ненулевым постоянным коэффициентом, такого что He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , является еще одним эквивалентом утверждения, что эти многочлены образуют последовательность Аппеля . Поскольку они являются последовательностью Аппеля, они тем более являются последовательностью Шеффера .

Контурно-интегральное представление [ править ]

Из представленного выше представления производящей функции мы видим, что многочлены Эрмита имеют представление в терминах контурного интеграла , как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$

контуром, охватывающим начало координат.

Обобщения [ править ]

Полиномы Эрмита, определенные выше, ортогональны по отношению к стандартному нормальному распределению вероятностей, функция плотности которого равна

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

который имеет ожидаемое значение 0 и дисперсию 1.

О масштабировании аналогично можно говорить об обобщенных полиномах Эрмита ^[9]

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$

дисперсии α , где α - любое положительное число. Тогда они ортогональны относительно нормального распределения вероятностей, функция плотности которого

${\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$

Они даны

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$

Сейчас если

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$

то полиномиальная последовательность, n- й член которой

${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)}$

называется теневой композицией двух полиномиальных последовательностей. Можно показать, что удовлетворяет тождествам

${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$

а также

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[\beta ]}(y).}$

Последняя идентичность выражается в том, что это параметризованное семейство полиномиальных последовательностей известно как перекрестная последовательность. (См. Выше раздел, посвященный последовательностям Аппеля и представлению дифференциального оператора , который приводит к готовому его выводу. Это тождество биномиального типа для α = β =1/2, уже встречался в предыдущем разделе, посвященном отношениям #Recursion .)

«Отрицательная дисперсия» [ править ]

Поскольку полиномиальные последовательности образуют группу при операции умбральной композиции , можно обозначить через

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$

последовательность, которая обратна той, которая обозначена аналогично, но без знака минус, и, таким образом, говорит о полиномах Эрмита с отрицательной дисперсией. При α> 0 коэффициенты являются абсолютными значениями соответствующих коэффициентов при .${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$

Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: n- й момент нормального распределения с ожидаемым значением μ и дисперсией σ ² равен

${\displaystyle E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$

где X - случайная величина с заданным нормальным распределением. Частный случай идентичности кросс-последовательностей говорит, что

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$

Приложения [ править ]

Функции Эрмита [ править ]

Можно определить функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из полиномов физика:

${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$

Поскольку эти функции содержат квадратный корень из весовой функции и были соответствующим образом масштабированы, они ортонормированы :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$

и они образуют ортогональный базис L ² ( R ) . Этот факт эквивалентен соответствующему утверждению для полиномов Эрмита (см. Выше).

Функции Эрмита тесно связаны с функцией Уиттекера ( Whittaker & Watson 1996 ) D _n ( z ) :

${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$

и тем самым к другим функциям параболического цилиндра .

Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$

Это уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора в квантовой механике, поэтому эти функции являются собственными функциями .

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$

Отношение рекурсии [ править ]

Следуя рекурсивным соотношениям многочленов Эрмита, функции Эрмита подчиняются

${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

а также

${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$

Распространение первого отношения на произвольные производные m для любого натурального числа m приводит к

${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit {He}}_{k}(x).}$

Эта формула может использоваться в сочетании с рекуррентными соотношениями для He _n и ψ _n для эффективного вычисления любой производной функций Эрмита.

Неравенство Крамера [ править ]

Для действительного x функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке Харальда Крамера ^{[10] [11]} и Джека Индрица: ^[12]

${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье [ править ]

Функции Эрмита i | _п ( х ) представляет собой набор собственных функций непрерывного преобразования Фурье F . Чтобы убедиться в этом, возьмите физическую версию производящей функции и умножьте на e ^{-1/2х 2} . Это дает

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Преобразование Фурье левой части дается выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$

Преобразование Фурье правой части дается формулой

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Приравнивание одинаковых степеней t в преобразованных версиях левой и правой частей в конечном итоге дает

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$

Функции Эрмита i | _п ( х ) , таким образом , ортонормированный базис L ² ( R ) , который диагонализует оператор преобразования Фурье . ^[13]

Распределения Вигнера функций Эрмита [ править ]

Функция распределения Вигнера в п функции Эрмита го порядка связано с п го порядка лагеровском полинома . Многочлены Лагерра равны

${\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$

приводящие к осциллятору функций Лагерра

${\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).}$

Для всех натуральных чисел n легко увидеть ^[14], что

${\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},}$

где распределение Вигнера функции x ∈ L ² ( R , C ) определяется как

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$