Случайная матрица

В теории вероятностей и математической физики , случайная матрица является матрицей -значная случайная величина , то есть, матрица , в которой некоторые или все элементы являются случайными величинами. Многие важные свойства физических систем могут быть математически представлены в виде матричных задач. Например, теплопроводность из решетки может быть вычислена из динамической матрицы взаимодействий частиц-частиц в кристаллической решетке.

Приложения [ править ]

Физика [ править ]

В ядерной физике случайные матрицы были введены Юджином Вигнером для моделирования ядер тяжелых атомов. ^[1] Он постулировал, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии лежащей в основе эволюции. ^[2] В физике твердого тела случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных гамильтонианов в приближении среднего поля .

В квантовом хаосе гипотеза Бохигаса – Джаннони – Шмита (BGS) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц. ^[3]

В квантовой оптике преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений над классическими (см., Например, модель дискретизации бозонов ). ^[4] Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть непосредственно реализованы в оптической схеме, путем сопоставления их параметров с компонентами оптической схемы (то есть с делителями луча и фазовращателями). ^[5]

Теории случайных матриц также нашли применение на хиральной оператора Дирака в КХД , ^[6] квантовой гравитации в двух измерениях, ^[7] мезоскопический физика , ^[8] спин-передачи крутящего момента , ^[9] дробно квантовый эффект Холла , ^{[10 ]} Локализация Андерсона , ^[11] квантовые точки , ^[12] и сверхпроводники ^[13]

Математическая статистика и численный анализ [ править ]

В многомерной статистике случайные матрицы были введены Джоном Уишартом для статистического анализа больших выборок; ^[14] см. Оценку ковариационных матриц .

Были показаны важные результаты, расширяющие классические скалярные неравенства Чернова , Бернштейна и Хёффдинга на наибольшие собственные значения конечных сумм случайных эрмитовых матриц . ^[15] Выводятся результаты для максимальных сингулярных значений прямоугольных матриц.

В численном анализе случайные матрицы использовались со времен работы Джона фон Неймана и Германа Голдстайна ^[16] для описания ошибок вычислений в таких операциях, как умножение матриц . См. Также ^{[17] [18]} для получения более свежих результатов.

Теория чисел [ править ]

В теории чисел распределение нулей дзета-функции Римана (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. ^[19] Эта связь была впервые обнаружена Хью Монтгомери и Фрименом Дж. Дайсоном . Это связано с гипотезой Гильберта – Полиа .

Теоретическая неврология [ править ]

В области теоретической нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами мозга. Было показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу ^[20], когда дисперсия синаптических весов пересекает критическое значение на пределе бесконечного размера системы. Связь статистических свойств спектра моделей случайных матриц с динамическим поведением случайно связанных нейронных сетей является предметом интенсивных исследований. ^{[21] [22] [23] [24] [25]}

Оптимальный контроль [ править ]

В теории оптимального управления эволюция n переменных состояния во времени зависит в любой момент от их собственных значений и от значений k переменных управления. При линейной эволюции матрицы коэффициентов появляются в уравнении состояния (уравнении эволюции). В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах неизвестны с уверенностью, и в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как проблема стохастического управления . ^{[26] : гл. 13 [27] [28]} Ключевым результатом в случае линейно-квадратичного управления со стохастическими матрицами является то, что принцип достоверности эквивалентностине применяется: хотя при отсутствии неопределенности множителя (то есть только с аддитивной неопределенностью) оптимальная политика с квадратичной функцией потерь совпадает с тем, что было бы принято, если бы неопределенность игнорировалась, это больше не выполняется при наличии случайных коэффициентов в уравнении состояния.

Гауссовские ансамбли [ править ]

Наиболее изученными ансамблями случайных матриц являются ансамбли Гаусса.

Гауссов унитарный ансамбль GUE ( п ) описывается гауссовой мерой с плотностью

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}}$

на пространстве эрмитовых матриц . Вот нормировочная константа, подобранная так, чтобы интеграл плотности был равен единице. Термин унитарное относится к тому факту, что распределение инвариантно относительно унитарного сопряжения. Гауссовский унитарный ансамбль моделирует гамильтонианы, лишенные симметрии относительно обращения времени.${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}$${\displaystyle Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}}$

Гауссовым ортогональным ансамблем GOE ( п ) описывается гауссовой мерой с плотностью

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}}$

на пространстве n × n вещественных симметрических матриц H  = ( H _ij )^п
_{я , j = 1}. Его распределение инвариантно относительно ортогонального сопряжения и моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени.

Гауссова симплектическими ансамбль КИА ( п ) описывается гауссовой мерой с плотностью

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}\,}$

на пространстве эрмитовых кватернионных матриц размера n × n , например симметричных квадратных матриц, составленных из кватернионов , H  = ( H _ij )^п
_{я , j = 1}. Его распределение инвариантно относительно сопряжения симплектической группой и моделирует гамильтонианы с симметрией относительно обращения времени, но без симметрии вращения.

Гауссовы ансамбли GOE, GUE и GSE часто обозначаются их индексом Дайсона , β  = 1 для GOE, β  = 2 для GUE и β  = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество реальных компонентов на элемент матрицы. Ансамбли , как определено здесь , имеют гауссово распределение матричных элементов со средним ⟨ H _IJ ⟩ = 0, и два точечных корреляций , заданных

${\displaystyle \langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}}$,

из которого следуют все высшие соотношения по теореме Иссерлиса .

Совместная плотность вероятности для собственных значений λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n операторов GUE / GOE / GSE определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta n}{4}}\lambda _{k}^{2}}\prod _{i<j}\left|\lambda _{j}-\lambda _{i}\right|^{\beta }~,\quad (1)}$

где Z _{β , n} - нормировочная константа, которую можно явно вычислить, см. интеграл Сельберга . В случае GUE ( β  = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс . Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет нуль ( порядка -го) для совпадающих собственных значений .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$

О распределении наибольшего собственного значения для матриц GOE, GUE и Wishart конечных размеров см. ^[29]

Распределение расстояний между уровнями [ править ]

Из упорядоченной последовательности собственных значений определяют нормированные интервалы , где - средний интервал. Распределение вероятностей расстояний приблизительно определяется выражением${\displaystyle \lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots }$ ${\displaystyle s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle }$${\displaystyle \langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle }$

${\displaystyle p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}}$

для ортогонального ансамбля GOE , ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}}$

для унитарного ансамбля ГУЭ , а ${\displaystyle \beta =2}$

${\displaystyle p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}\mathrm {e} ^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}}$

для симплектического ансамбля GSE .${\displaystyle \beta =4}$

Числовые константы таковы, что нормированы:${\displaystyle p_{\beta }(s)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1}$

и средний интервал,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,}$

для .${\displaystyle \beta =1,2,4}$

Обобщения [ править ]

Матрицы Вигнера - это случайные эрмитовы матрицы, такие что элементы${\displaystyle \textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$

${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}}$

над главной диагональю расположены независимые случайные величины с нулевым средним и идентичными вторыми моментами.

Инвариантные матричные ансамбли представляют собой случайные эрмитовы матрицы с плотностью на пространстве вещественных симметричных / эрмитовых / кватернионных эрмитовых матриц, которое имеет форму, в которой функция V называется потенциалом.${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-n\mathrm {tr} V(H)}~,}$

Гауссовы ансамбли - единственные частные частные случаи этих двух классов случайных матриц.

Спектральная теория случайных матриц [ править ]

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений при стремлении размера матрицы к бесконечности.

Глобальный режим [ править ]

В глобальном режиме нас интересует распределение линейной статистики вида N _{f, H} = n ⁻¹ tr f (H) .

Эмпирическая спектральная мера [ править ]

В эмпирической спектральной мере М _Н из Н определяются

${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$

Обычно предел - это детерминированная мера; это частный случай самоусреднения . Интегральная функция распределения предельной мерой называется интегральной плотности состояний и обозначается Н ( λ ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотностью состояний и обозначается  ρ ( λ ).${\displaystyle \mu _{H}}$

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера был описан Юджином Вигнером ; см Вигнер распределения полукруга и Вигнер догадка . Что касается выборочных ковариационных матриц, теория была развита Марченко и Пастуром. ^{[30] [31]}

Предел эмпирической спектральной меры ансамблей инвариантных матриц описывается некоторым интегральным уравнением, возникающим из теории потенциала . ^[32]

Колебания [ править ]

Для линейных статистик N _{F , Н}  =  п ^-1  Σ  F ( λ _J ), один также заинтересован в колебаниях около ∫  F ( Л )  дН ( Л ). Для многих классов случайных матриц центральная предельная теорема вида

${\displaystyle {\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)}$

известно, см. ^{[33] [34]} и др.

Местный режим [ править ]

В локальном режиме нас интересуют расстояния между собственными значениями и, в более общем смысле, совместное распределение собственных значений в интервале длины порядка 1 / n . Различают совокупную статистику , относящуюся к интервалам внутри опоры ограничивающей спектральной меры, и краевую статистику , относящуюся к интервалам вблизи границы опоры.

Массовая статистика [ править ]

Формально, зафиксировать в интерьере части поддержки в . Затем рассмотрим точечный процесс${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle N(\lambda )}$

${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,}$

где - собственные значения случайной матрицы.${\displaystyle \lambda _{j}}$

Точечный процесс фиксирует статистические свойства собственных значений в окрестности . Для гауссовых ансамблей предел известен; ^[2] таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$

${\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}}$

( синусоидальное ядро ).

Принцип универсальности постулирует, что предел as должен зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (а не от конкретной модели случайных матриц или чего-либо еще ). Это было строго доказано для нескольких моделей случайных матриц: для ансамблей инвариантных матриц, ^{[35] [36]} для матриц Вигнера, ^{[37] [38]} и т. Д.${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \lambda _{0}}$

Статистика Edge [ править ]

См. Распределение Трейси – Уидома .

Корреляционные функции [ править ]

Совместная плотность вероятности собственных значений случайных эрмитовых матриц с статистическими суммами вида${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$

${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$

куда

${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$

и является стандартной мерой Лебега на пространстве эрмитовых матриц, задается формулой${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$

В -точечных корреляционные функции (или предельные распределения ) определяются как${\displaystyle k}$

${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\dots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$

которые являются кососимметричными функциями своих переменных. В частности, одноточечная корреляционная функция или плотность состояний есть

${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\dots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Его интеграл по борелевскому множеству дает ожидаемое количество собственных значений, содержащихся в :${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$

Следующий результат выражает эти корреляционные функции как детерминанты матриц, сформированных путем вычисления соответствующего интегрального ядра в парах точек, появляющихся в корреляторе.${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$

Теорема [Dyson-Мехт] Для любого , точечная корреляционной функция может быть записана в виде определителя${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$

${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$

где - ое ядро ​​Кристоффеля-Дарбу${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y),}$

ассоциированный с , записанный в терминах квазиполиномов ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,{\rm {e}}^{-{1 \over 2}V(z)},}$

где - полная последовательность монических многочленов указанных степеней, удовлетворяющая условиям ортогональности${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$

Другие классы случайных матриц [ править ]

Матрицы Уишарта [ править ]

Матрицы Уишарта - это случайные матрицы размера n × n вида H  =  X  X ^* , где X - случайная матрица размера n × m ( m  ≥  n ) с независимыми элементами, а X ^* - сопряженная транспонированная матрица . В важном частном случае, рассмотренном Уишартом, элементы X являются одинаково распределенными гауссовскими случайными величинами (действительными или комплексными).

Предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта было найдено ^[30] с помощью Владимира Марченко и Л. Пастуром см распределение МАРЧЕНКО-Пастуром .

Случайные унитарные матрицы [ править ]

Смотрите круговые ансамбли .

Неэрмитовы случайные матрицы [ править ]

См. Циркулярный закон .

Справочник по ссылкам [ править ]

• Книги по теории случайных матриц: ^{[2] [39] [40]}
• Обзорные статьи по теории случайных матриц: ^{[17] [31] [41] [42]}
• Исторические произведения: ^{[1] [14] [16]}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Федоров Ю. (2011). «Теория случайных матриц» . Scholarpedia . 6 (3): 9886. Bibcode : 2011SchpJ ... 6.9886F . DOI : 10,4249 / scholarpedia.9886 .
• Вайсштейн, Э.В. «Случайная матрица» . Wolfram MathWorld.