Полиномы Лежандра

Шесть первых полиномов Лежандра.

В физической науке и математике , полиномы Лежандра (имя Лежандра , который обнаружил их в 1782 г.) представляют собой система полных и ортогональных многочлены , с огромным количеством математических свойств и многочисленными приложениями. Их можно определить по-разному, и различные определения подчеркивают различные аспекты, а также предлагают обобщения и связи с различными математическими структурами, а также физическими и численными приложениями.

Тесно связана с Лежандра многочленов Лежандра многочлены , функции Лежандра , функции Лежандра второго рода, а также соответствующие функции Лежандра .

Определение по построению как ортогональная система [ править ]

В этом подходе многочлены определяются как ортогональная система относительно весовой функции на интервале . То есть является многочленом степени , такой что${\ Displaystyle ш (х) = 1}$${\ displaystyle [-1,1]}$${\ Displaystyle P_ {п} (х)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$

Это полностью определяет полиномы с точностью до общего масштабного коэффициента, который фиксируется стандартизацией . То, что это конструктивное определение, видно таким образом: единственный правильно стандартизованный многочлен степени 0. должен быть ортогонален , приводить к и определяется требованием ортогональности к и , и так далее. фиксируется требованием ортогональности ко всем с . Это дает условия, которые наряду со стандартизацией фиксируют все коэффициенты в . С помощью работы все коэффициенты каждого полинома могут быть систематически определены, что приводит к явному представлению в степенях, указанных ниже.${\displaystyle P_{n}(1)=1}$${\displaystyle P_{0}(x)=1}$${\displaystyle P_{1}(x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}(x)=x}$${\displaystyle P_{2}(x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P_{m}}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}(1)=1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle x}$

Это самое простое определение. Это не апеллирует к теории дифференциальных уравнений. Во- вторых, полнота многочленов непосредственно вытекает из полноты полномочий 1, . Наконец, определяя их через ортогональность относительно наиболее очевидной весовой функции на конечном интервале, он устанавливает полиномы Лежандра как одну из трех классических ортогональных полиномиальных систем . Два других - это полиномы Лагерра , ортогональные по половине прямой , и полиномы Эрмита , ортогональные по всей прямой , с весовыми функциями, которые являются наиболее естественными аналитическими функциями, обеспечивающими сходимость всех интегралов.${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Определение через производящую функцию [ править ]

Многочлены Лежандра также могут быть определены как коэффициенты в формальном разложении по степеням от производящей функции ^[1]${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}$

( 2 )

Коэффициент при многочлене степени . Расширение до дает${\displaystyle t^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t^{1}}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$

Расширение до более высоких порядков становится все более обременительным, но его можно проводить систематически и снова приводит к одной из явных форм, приведенных ниже.

Однако возможно получить высшие значения , не прибегая к прямому разложению ряда Тейлора. Уравнение 2 дифференцируется по t с обеих сторон и переставляется, чтобы получить${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$

Замена частного квадратного корня его определением в формуле. 2 , и приравнивание коэффициентов при степенях t в полученном разложении дает рекурсивную формулу Бонне

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$

Это соотношение вместе с первыми двумя многочленами P ₀ и P ₁ позволяет рекурсивно генерировать все остальные.

Подход производящей функции напрямую связан с мультипольным разложением в электростатике, как объясняется ниже, и именно так полиномы были впервые определены Лежандром в 1782 году.

Определение через дифференциальное уравнение [ править ]

Третье определение дано в терминах решений дифференциального уравнения Лежандра

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {dP_{n}(x)}{dx}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,.}$

( 1 )

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки при x = ± 1, поэтому, если решение ищется с использованием стандартного метода Фробениуса или метода степенных рядов , ряд о начале координат будет сходиться только при | х | <1 в целом. Когда n является целым числом, решение P _n ( x ), которое является регулярным при x = 1 , также является регулярным при x = −1 , и ряд для этого решения завершается (т. Е. Является полиномом). Ортогональность и полнота этих решений лучше всего видна с точки зренияТеория Штурма – Лиувилля . Перепишем дифференциальное уравнение как задачу на собственные значения:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}$

с собственным значением вместо . Если мы потребуем, чтобы решение было регулярным в точке , дифференциальный оператор слева будет эрмитовым . Собственные значения имеют вид n ( n + 1) , причем , а собственные функции - это . Ортогональность и полнота этого набора решений сразу следует из более широких рамок теории Штурма – Лиувилля.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n(n+1)}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle P_{n}(x)}$

Дифференциальное уравнение допускает другое, неполиномиальное решение, функции Лежандра второго рода . Двухпараметрическое обобщение уравнения (  1 ) называется общим дифференциальным уравнением Лежандра , которое решается соответствующими полиномами Лежандра . Функции Лежандра - это решения дифференциального уравнения Лежандра (обобщенного или нет) с нецелыми параметрами.${\displaystyle Q_{n}}$

В физических условиях дифференциальное уравнение Лежандра возникает естественным образом всякий раз, когда решается уравнение Лапласа (и связанные с ним уравнения в частных производных ) путем разделения переменных в сферических координатах . С этой точки зрения собственные функции угловой части оператора Лапласа являются сферическими гармониками , из которых полиномы Лежандра являются (с точностью до мультипликативной константы) подмножеством, которое остается инвариантным при поворотах вокруг полярной оси. Полиномы выглядят как где${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$${\displaystyle \theta }$- полярный угол. Такой подход к полиномам Лежандра обеспечивает глубокую связь с вращательной симметрией. Многие из их свойств, которые кропотливо обнаруживаются с помощью методов анализа, например теорема сложения, легче обнаруживаются методами симметрии и теории групп и приобретают глубокий физический и геометрический смысл.

Ортогональность и полнота [ править ]

Стандартизация фиксирует нормировку полиномов Лежандра (по отношению к L 2 нормы на отрезке -1 ≤ х ≤ 1 ). Поскольку они также ортогональны по отношению к одной и той же норме, эти два утверждения можно объединить в одно уравнение:${\displaystyle P_{n}(1)=1}$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$

(где δ _mn обозначает символ Кронекера , равный 1, если m = n, и 0 в противном случае). Эту нормализацию легче всего найти, используя формулу Родригеса , приведенную ниже.

То, что многочлены полные, означает следующее. Для любой кусочно-непрерывной функции с конечным числом разрывов в интервале [−1,1] последовательность сумм${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$

сходится в среднем к as , если взять${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$

Это свойство полноты лежит в основе всех расширений, обсуждаемых в этой статье, и часто выражается в форме

${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$

с −1 ≤ x ≤ 1 и −1 ≤ y ≤ 1 .

Формула Родригеса и другие явные формулы [ править ]

Особенно компактное выражение для полиномов Лежандра дает формула Родрига :

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$

Эта формула позволяет получить большое количество свойств . Среди них явные представления, такие как${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\end{aligned}}}$

где последний, который также непосредственно из формулы рекурсии, выражает многочлены Лежандра простыми одночленами и включает обобщенную форму биномиального коэффициента .

Первые несколько полиномов Лежандра:

${\displaystyle {\begin{array}{r|r}n&P_{n}(x)\\\hline 0&1\\1&x\\2&{\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)\\3&{\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)\\4&{\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\5&{\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\6&{\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)\\7&{\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)\\8&{\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)\\9&{\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)\\10&{\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)\\\hline \end{array}}}$

Графики этих многочленов (до n = 5 ) показаны ниже:

Приложения полиномов Лежандра [ править ]

Расширение потенциала 1 / r [ править ]

Полиномы Лежандра были впервые введены в 1782 году Адрианом-Мари Лежандром ^[2] как коэффициенты разложения ньютоновского потенциала.

${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$

где r и r ′ - длины векторов x и x ′ соответственно, а γ - угол между этими двумя векторами. Ряд сходится при r > r ′ . Выражение дает гравитационный потенциал, связанный с точечной массой, или кулоновский потенциал, связанный с точечным зарядом . Расширение с использованием полиномов Лежандра может быть полезно, например, при интегрировании этого выражения по непрерывному распределению массы или заряда.

Полиномы Лежандра возникают при решении уравнения Лапласа статического потенциала , ∇ ² Φ ( х ) = 0 , в заряде свободной области пространства, с использованием методы разделения переменных , где граничные условия имеют осевую симметрию (не зависимость по азимутальному углу ). Где ẑ - ось симметрии, а θ - угол между положением наблюдателя и осью ẑ (зенитный угол), решение для потенциала будет

${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$

A _l и B _l должны определяться согласно граничным условиям каждой задачи. ^[3]

Они также появляются при решении уравнения Шредингера в трех измерениях для центральной силы.

Многочлены Лежандра в мультипольных разложениях [ править ]

Многочлены Лежандра также полезны при расширении функций формы (это то же самое, что и раньше, но написано немного иначе):

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$

которые естественно возникают в мультипольных разложениях . Левая часть уравнения - это производящая функция для полиномов Лежандра.

В качестве примера, на электрический потенциале Ф ( г , θ ) (в сферических координатах ) в связи с точечным зарядом , расположенным на г оси х при г = (см диаграммы справа) изменяется

${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$

Если радиус r точки наблюдения P больше, чем a , потенциал может быть разложен по полиномам Лежандра

${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$

где мы определили η =а/р<1 и x = cos θ . Это расширение используется для развития обычного мультипольного расширения .

И наоборот, если радиус r точки наблюдения P меньше, чем a , потенциал все еще может быть расширен в полиномы Лежандра, как указано выше, но с заменой a и r . Это расширение является основой внутреннего мультипольного расширения .

Полиномы Лежандра в тригонометрии [ править ]

Тригонометрические функции cos nθ , также обозначаемые как полиномы Чебышева T _n (cos θ ) ≡ cos nθ , также могут быть мультипольными разложенными полиномами Лежандра P _n (cos θ ) . Первые несколько заказов следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{aligned}}}$

Еще одно свойство - это выражение для sin ( n + 1) θ , которое

${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$

Полиномы Лежандра в рекуррентных нейронных сетях [ править ]

Рецидивирующий нейронная сеть , которая содержит d вектора -мерной памяти , может быть оптимизирована таким образом, чтобы его нейронные деятельности подчиняются линейная стационарной система дается следующим в пространстве состояний представления :${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}}\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}{\text{.}}\end{aligned}}}$

В этом случае скользящее окно через прошлые единицы времени лучше всего аппроксимируются линейной комбинацией первого сдвинуты полиномы Лежандра, взвешенной вместе элементы во время :${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {m} }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t){\text{,}}\quad 0\leq \theta '\leq \theta {\text{.}}}$

В сочетании с методами глубокого обучения эти сети могут быть обучены превосходить блоки долгосрочной краткосрочной памяти и связанные с ними архитектуры, используя при этом меньше вычислительных ресурсов. ^[4]

Дополнительные свойства полиномов Лежандра [ править ]

Многочлены Лежандра имеют определенную четность. То есть, они четные или нечетный , ^[5] , согласно

${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}$

Еще одно полезное свойство -

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}$

что следует из рассмотрения соотношения ортогональности с . Это удобно, когда ряд Лежандра используется для аппроксимации функции или экспериментальных данных: среднее значение ряда на интервале [-1, 1] просто задается старшим коэффициентом разложения .${\displaystyle P_{0}(x)=1}$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$${\displaystyle a_{0}}$

Поскольку дифференциальное уравнение и свойство ортогональности не зависят от масштабирования, определения полиномов Лежандра «стандартизированы» (иногда называемые «нормализацией», но фактическая норма не равна 1) путем масштабирования таким образом, чтобы

${\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}$

Производная в конечной точке определяется выражением

${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$

Неравенство Аски-Gasper для полиномов Лежандра читает

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\,\quad {\text{for }}x\geq -1\,.}$

Многочлены Лежандра скалярного произведения из единичных векторов могут быть расширены с помощью сферических гармоник , используя

${\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}$

где единичные векторы r и r ′ имеют сферические координаты ( θ , φ ) и ( θ ′, φ ′) соответственно.

Отношения повторения [ править ]

Как обсуждалось выше, полиномы Лежандра подчиняются трехчленному рекуррентному соотношению, известному как формула рекурсии Бонне

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$

и

${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)\,}$

или, с альтернативным выражением, которое также сохраняется в конечных точках

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$

Для интегрирования полиномов Лежандра полезно

${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$

Из вышесказанного также видно, что

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$

или эквивалентно

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$

где || P _n || - норма на интервале −1 ≤ x ≤ 1

${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$

Асимптотика [ править ]

Асимптотически для ^[6]${\displaystyle \ell \to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \theta }}}\,J_{0}((\ell +1/2)\theta )+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\\&={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$

а для аргументов величиной больше 1

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&=I_{0}(\ell e)+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\,,\end{aligned}}}$

где J ₀ и I ₀ - функции Бесселя .

Нули [ править ]

Все нули действительны, отличны друг от друга и лежат в интервале . Кроме того, если мы будем рассматривать их как деление интервала на подинтервалы, каждый подинтервал будет содержать ровно один ноль из . Это известно как свойство переплетения. Из-за свойства четности очевидно, что если - ноль , то и есть . Эти нули играют важную роль при численном интегрировании на основе квадратур Гаусса . Конкретная квадратура, основанная на 's, известна как квадратура Гаусса-Лежандра.${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P_{n+1}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle -x_{k}}$${\displaystyle P_{n}}$

Из этого свойства и того факта следует, что имеет локальные минимумы и максимумы в . Эквивалентно имеет нули .${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (-1,1)}$

Точечные оценки [ править ]

Четность и нормализация подразумевают, что значения на границах должны быть ${\displaystyle x=\pm 1}$

${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)={\begin{cases}1&{\text{for}}\quad n=2m\\-1&{\text{for}}\quad n=2m+1\,.\end{cases}}}$

В начале координат можно показать, что значения задаются${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle P_{n}(0)={\begin{cases}{\frac {(-1)^{m}}{4^{m}}}{\tbinom {2m}{m}}={\frac {(-1)^{m}}{2^{2m}}}{\frac {(2m)!}{\left(m!\right)^{2}}}&{\text{for}}\quad n=2m\\0&{\text{for}}\quad n=2m+1\,.\end{cases}}}$

Многочлены Лежандра с преобразованным аргументом [ править ]

Сдвинутые полиномы Лежандра [ править ]

В сдвинутые полиномы Лежандра определяются как

${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,}$.

Здесь "сдвигающая" функция x ↦ 2 x - 1 является аффинным преобразованием, которое биективно отображает интервал [0,1] в интервал [−1,1] , из чего следует, что многочлены P̃ _n ( x ) ортогональны на [0 , 1] :

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$

Явное выражение для сдвинутых полиномов Лежандра дается формулой

${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$

Аналог формулы Родрига для сдвинутых многочленов Лежандра имеет вид

${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$

Первые несколько сдвинутых полиномов Лежандра:

${\displaystyle {\begin{array}{r|r}n&{\widetilde {P}}_{n}(x)\\\hline 0&1\\1&2x-1\\2&6x^{2}-6x+1\\3&20x^{3}-30x^{2}+12x-1\\4&70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1\\5&252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1\end{array}}}$

Рациональные функции Лежандра [ править ]

Эти рациональные функции Лежандра являются последовательностью ортогональных функций на [0, ∞). Они получены путем составления преобразования Кэли с полиномами Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени n определяется как:

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$

Они являются собственными функциями сингулярной задачи Штурма – Лиувилля :

${\displaystyle (x+1)\partial _{x}(x\partial _{x}((x+1)v(x)))+\lambda v(x)=0}$

с собственными значениями

${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме полиномов Лежандра .

• Быстрый неформальный вывод полинома Лежандра в контексте квантовой механики водорода
• "Многочлены Лежандра" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Статья Wolfram MathWorld о полиномах Лежандра
• Статья доктора Джеймса Б. Калверта о полиномах Лежандра из его личного собрания математиков
• Полиномы Лежандра Карлайла Э. Мура
• Полиномы Лежандра из гиперфизики