В физике разложение Лапласа потенциалов прямо пропорционально обратной величине расстояния (), такие как гравитационный потенциал Ньютона или электростатический потенциал Кулона , выражает их в терминах сферических полиномов Лежандра. В квантово-механических расчетах атомов разложение используется для оценки интегралов межэлектронного отталкивания.
Фактически расширение Лапласа - это расширение обратного расстояния между двумя точками. Пусть точки имеют векторы положения а также , то разложение Лапласа имеет вид
Здесь имеет сферические полярные координаты а также имеет с однородными многочленами степени . Далее r < - это min ( r , r '), а r > - это max ( r , r '). Функция- нормированная сферическая гармоническая функция . Разложение принимает более простой вид, если записать его в терминах сплошных гармоник :
Вывод этого разложения прост. По закону косинусов ,
Мы находим здесь производящую функцию многочленов Лежандра :
Использование теоремы о сложении сферических гармоник
дает желаемый результат.
Аналогичное уравнение было получено Нейманом [1], которое позволяет выразитьв вытянутых сфероидальных координатах в виде ряда:
где а также - ассоциированные функции Лежандра первого и второго рода соответственно, определенные так, что они действительны для . По аналогии с рассмотренным выше случаем сферических координат важны относительные размеры радиальных координат, так как а также .