Сплошные гармоники

В физике и математике , то твердые гармоники являются решения уравнения Лапласа в сферических координатах , предполагаются (гладкая) функция . Есть два вида: регулярные сплошные гармоники , которые исчезают в начале координат, и нерегулярные сплошные гармоники , которые сингулярны в начале координат. Оба набора функций играют важную роль в теории потенциала и получаются соответствующим изменением масштаба сферических гармоник :${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle I _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r}) \ Equiv {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}}} \; r ^ {\ ell} Y_ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$

${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$

Вывод, связь со сферическими гармониками [ править ]

Вводя r , θ и φ для сферических полярных координат 3-вектора r и предполагая, что это (гладкая) функция , мы можем записать уравнение Лапласа в следующей форме${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,}$

где l ² - квадрат безразмерного оператора углового момента ,

${\displaystyle \mathbf {\hat {l}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).}$

Это известно , что сферические гармоники У ^м _л являются собственными л ² :

${\displaystyle {\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{{\hat {l}}_{x}}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}$

Подстановка Φ ( r ) = F ( r ) Y ^m _l в уравнение Лапласа дает после деления функции сферической гармоники следующее радиальное уравнение и его общее решение,

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.}$

Частными решениями полного уравнения Лапласа являются регулярные твердые гармоники :

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$

и нерегулярные сплошные гармоники :

${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.}$

Регулярные твердые гармоники соответствуют гармоническим однородным многочленам , то есть однородным многочленам, которые являются решениями уравнения Лапласа .

Нормализация Раки [ править ]

Нормализация Рака (также известная как полунормализация Шмидта) применяется к обеим функциям.

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }}$

(и аналогично для нерегулярной сплошной гармоники) вместо нормировки на единицу. Это удобно, потому что во многих приложениях коэффициент нормализации Рака остается неизменным во всех выводах.

Теоремы сложения [ править ]

Перевод регулярной твердой гармоники дает конечное разложение:

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,}$

где коэффициент Клебша-Гордана определяется выражением

${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.}$

Аналогичное разложение для нерегулярных твердых гармоник дает бесконечный ряд

${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle }$

с . Величина в скобках снова является коэффициентом Клебша-Гордана ,${\displaystyle |r|\leq |a|\,}$

${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}$

Ссылки [ править ]

Теоремы сложения по-разному доказывались несколькими авторами. Например, см. Два разных доказательства в:

• RJA Tough и AJ Stone, J. Phys. A: Математика. Gen. Vol. 10 , стр. 1261 (1977)
• MJ Caola, J. Phys. A: Математика. Gen. Vol. 11 , стр. L23 (1978)

Настоящая форма [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Октябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Путем простой линейной комбинации твердых гармоник ± m эти функции преобразуются в действительные функции, т . Е. Функции . Реальные регулярные телесные гармоники, выраженные в декартовых координатах, представляют собой однородные вещественные многочлены порядка по x , y , z . Явный вид этих многочленов имеет некоторое значение. Они проявляются, например, в виде сферических атомных орбиталей и реальных мультипольных моментов . Теперь будет выведено явное декартово выражение реальных регулярных гармоник.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \ell }$

Линейная комбинация [ править ]

Мы пишем в соответствии с предыдущим определением

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}$

с

${\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}$

где - полином Лежандра порядка l . М зависит от фазы известна как фаза Кондон-Шортли .${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$

Следующее выражение определяет настоящие регулярные сплошные гармоники:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$

а при m = 0:

${\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}$

Поскольку преобразование выполняется с помощью унитарной матрицы, нормализация действительной и комплексной твердых гармоник одинакова.

z -зависимая часть [ править ]

Записав u = cos θ, m- ю производную полинома Лежандра можно записать в виде следующего разложения по u

${\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}$

с

${\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}$

Поскольку z = r cosθ, эта производная, умноженная на соответствующую степень r , является простым многочленом от z ,

${\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$

( x , y ) -зависимая часть [ править ]

Рассмотрим далее, вспоминая, что x = r sinθcosφ и y = r sin θsin φ,

${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}$

так же

${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}$

Дальше

${\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}$

и

${\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}$

Всего [ править ]

${\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }$

${\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}$

Список низших функций [ править ]

Мы явно перечисляем самые низкие функции до l = 5 включительно . Здесь${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}}$

Самыми низкими функциями и являются:${\displaystyle A_{m}(x,y)\,}$${\displaystyle B_{m}(x,y)\,}$

м	А м	B м
0	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle 0\,}$
1	${\displaystyle x\,}$	${\displaystyle y\,}$
2	${\displaystyle x^{2}-y^{2}\,}$	${\displaystyle 2xy\,}$
3	${\displaystyle x^{3}-3xy^{2}\,}$	${\displaystyle 3x^{2}y-y^{3}\,}$
4	${\displaystyle x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\,}$	${\displaystyle 4x^{3}y-4xy^{3}\,}$
5	${\displaystyle x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\,}$	${\displaystyle 5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\,}$

Ссылки [ править ]

• Steinborn, EO; Рюденберг, К. (1973). «Вращение и перенос регулярных и нерегулярных твердых сферических гармоник». В Лоудине, Пер-Олов (ред.). Успехи квантовой химии . 7 . Академическая пресса. С. 1–82. ISBN 9780080582320.
• Томпсон, Уильям Дж. (2004). Угловой момент: иллюстрированное руководство по симметрии вращения для физических систем . Вайнхайм: Wiley-VCH. С. 143–148. ISBN 9783527617838.