Коэффициенты Клебша – Гордана

В физике , в Клебша- Гордань ( CG ) коэффициенты являются числами , которые возникают в угловом момент соединения в квантовой механике . Они появляются как коэффициенты разложения собственных состояний полного углового момента в несвязанном базисе тензорного произведения . В более математических терминах коэффициенты КГ используются в теории представлений , особенно компактных групп Ли , для выполнения явного разложения в прямую сумму тензорного произведения двух неприводимых представлений(т. е. сводимое представление в неприводимые представления в тех случаях, когда числа и типы неприводимых компонентов уже известны абстрактно). Название происходит от немецких математиков Альфреда Клебша и Пола Гордана , которые столкнулись с эквивалентной проблемой в теории инвариантов .

Из векторного анализа точки зрения, коэффициенты КГ , связанные с (3) , так что группа может быть определена просто в терминах интегралов от произведений сферических гармоник и их сложных конъюгатов. Добавление спинов в квантово-механических терминах может быть прочитано непосредственно из этого подхода, поскольку сферические гармоники являются собственными функциями полного углового момента и его проекции на ось, а интегралы соответствуют внутреннему произведению гильбертова пространства . ^[1] Из формального определения углового момента можно найти рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша – Гордана. Существуют также сложные явные формулы для их прямого вычисления.^[2]

В приведенных ниже формулах используются обозначения Дирака и фазовое соглашение Кондона – Шортли ^[3] .

Операторы углового момента [ править ]

Операторы углового момента - это самосопряженные операторы j _x , j _y и j _z , удовлетворяющие коммутационным соотношениям

${\ displaystyle {\ begin {align} & [\ mathrm {j} _ {k}, \ mathrm {j} _ {l}] \ Equiv \ mathrm {j} _ {k} \ mathrm {j} _ {l } - \ mathrm {j} _ {l} \ mathrm {j} _ {k} = i \ hbar \ varepsilon _ {klm} \ mathrm {j} _ {m} & k, l, m & \ in \ {\ mathrm {x, y, z} \}, \ end {выровнены}}}$

где ε _klm - символ Леви-Чивиты . Вместе эти три оператора определяют векторный оператор , декартов тензорный оператор ранга один ,

${\ displaystyle \ mathbf {j} = (\ mathrm {j_ {x}}, \ mathrm {j_ {y}}, \ mathrm {j_ {z}}).}$

Он также известен как сферический вектор , поскольку он также является сферическим тензорным оператором. Только для ранга один сферические тензорные операторы совпадают с декартовыми тензорными операторами.

Развивая эту концепцию дальше, можно определить еще один оператор J ² в качестве скалярного произведения из J с самим собой:

${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$

Это пример оператора Казимира . Он диагонален, и его собственное значение характеризует конкретное неприводимое представление алгебры углового момента so (3) ≅ su (2) . Это физически интерпретируется как квадрат полного углового момента состояний, на которые действует представление.

Можно также определить повышающие ( j ₊ ) и понижающие ( j _- ) операторы, так называемые лестничные операторы ,

${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$

Сферический базис для собственных состояний углового момента [ править ]

Из приведенных выше определений можно показать, что j ² коммутирует с j _x , j _y и j _z :

${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$

Когда два эрмитовых оператора коммутируют, существует общий набор собственных состояний. Условно выбирают j ² и j _z . Из коммутационных соотношений можно найти возможные собственные значения. Эти собственные состояния обозначаются | J м ⟩ , где J представляет собой угловой момент квантового числа и т является угловой момент проекции на оси.

Они составляют сферический базис , полны и удовлетворяют следующим уравнениям на собственные значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$

Операторы повышения и понижения могут использоваться для изменения значения m ,

${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$

где лестничный коэффициент определяется как:

${\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.}$

( 1 )

В принципе, можно также ввести (возможно, сложный) фазовый фактор в определение . Выбор, сделанный в этой статье, согласуется с фазовым соглашением Кондона – Шортли . Состояния углового момента ортогональны (поскольку их собственные значения относительно эрмитова оператора различны) и считаются нормированными,${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$

${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$

Здесь курсивом j и m обозначены целые или полуцелые квантовые числа углового момента частицы или системы. С другой стороны, латинские буквы j _x , j _y , j _z , j ₊ , j _- и j ² обозначают операторы. Эти символы Кронекера дельт .${\displaystyle \delta }$

Пространство тензорного продукта [ править ]

Теперь рассмотрим системы с двумя физически разными угловыми моментами j ₁ и j ₂ . Примеры включают спин и орбитальный угловой момент одного электрона, или спины двух электронов, или орбитальные угловые моменты двух электронов. Математически это означает, что операторы углового момента действуют в пространстве измерения, а также в пространстве измерения . Затем мы собираемся определить семейство операторов «полного углового момента», действующих в пространстве тензорного произведения , которое имеет размерность${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle 2j_{1}+1}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle 2j_{2}+1}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$. Действие оператора полного углового момента на этом пространстве составляет представление алгебры Ли su (2), но приводимое. Редукция этого приводимого представления на неприводимые части - цель теории Клебша – Гордана.

Пусть V ₁ - (2 j ₁ + 1) -мерное векторное пространство, натянутое на состояния

${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}}}$,

и V ₂ - (2 j ₂ + 1) -мерное векторное пространство, натянутое на состояния

${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}}$.

Тензорное произведение этих пространств, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , имеет (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) -мерный несвязанный базис

${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}}$.

Определены операторы углового момента, которые действуют на состояния в V ₃ следующим образом:

${\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$

а также

${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$

где 1 обозначает тождественный оператор.

Операторы полного ^{[nb 1]} углового момента определяются копроизведением (или тензорным произведением ) двух представлений, действующих на V ₁ ⊗ V ₂ ,

Можно показать, что операторы полного углового момента удовлетворяют одним и тем же коммутационным соотношениям :

${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$

где k , l , m ∈ { x , y , z } . Действительно, предыдущая конструкция является стандартным методом ^[4] для построения действия алгебры Ли на представлении тензорного произведения.

Следовательно, для оператора полного углового момента также существует набор связанных собственных состояний:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$

для M ∈ {- J , - J + 1,…, J }. Обратите внимание, что часть [ j ₁ j ₂ ] часто опускают .

Квантовое число полного углового момента J должно удовлетворять треугольному условию, что

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}}$,

таким образом, чтобы три неотрицательных целых или полуцелых значения могли соответствовать трем сторонам треугольника. ^[5]

Общее количество собственных состояний полного углового момента обязательно равно размерности V ₃ :

${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$

Как подсказывает это вычисление, представление тензорного произведения разлагается как прямая сумма одной копии каждого из неприводимых представлений размерности , где изменяется от до с шагом 1. ^[6] В качестве примера рассмотрим тензорное произведение трех величин. размерное представление, соответствующее двумерному представлению с . Возможные значения : then и . Таким образом, представление шестимерного тензорного произведения распадается как прямая сумма двухмерного представления и четырехмерного представления.${\displaystyle 2J+1}$${\displaystyle J}$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}=1}$${\displaystyle j_{2}=1/2}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=1/2}$${\displaystyle J=3/2}$

Теперь цель состоит в том, чтобы явно описать предыдущее разложение, то есть явно описать базисные элементы в пространстве тензорного произведения для каждого из возникающих представлений компонентов.

Состояния с полным угловым моментом образуют ортонормированный базис V ₃ :

${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$

Эти правила могут быть повторены, например, для объединения n дублетов ( s = 1/2), чтобы получить ряд разложения Клебша-Гордана ( треугольник Каталана ),

${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$

где - целочисленная функция пола ; и число перед пометкой размерности неприводимого представления жирным шрифтом (2 j +1) указывает на кратность этого представления в сокращении представления. ^[7] Например, из этой формулы, добавление трех спиновых 1 / 2s дает спином 3/2 и два спин 1 / 2s,   .${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$

Формальное определение коэффициентов Клебша – Гордана [ править ]

Связанные состояния могут быть расширены через отношение полноты (разрешение тождества) в несвязанном базисе

${\displaystyle |J\,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$

( 2 )

Коэффициенты разложения

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$

- коэффициенты Клебша – Гордана . Следует отметить , что некоторые авторы пишут их в другом порядке , например, ⟨ J ₁ J ₂ ; м ₁ м ₂ | J М ⟩ . Другая общая нотация ⟨ J ₁ м ₁ J ₂ м ₂ | J М ⟩ = С^JM
_{j 1 м 1 j 2 м 2}.

Применение операторов

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$

к обеим сторонам определяющего уравнения показывает, что коэффициенты Клебша – Гордана могут быть отличными от нуля только тогда, когда

${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}\\&M=m_{1}+m_{2}\end{aligned}}}$.

Рекурсионные отношения [ править ]

Рекурсивные соотношения были обнаружены физиком Джулио Раках из Еврейского университета в Иерусалиме в 1941 году.

Применение операторов увеличения и уменьшения полного углового момента

${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$

в левую часть определяющего уравнения дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$

Применение тех же операторов к правой части дает

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {J} _{\pm }\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\&=\hbar \sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\&=\hbar \sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}{\text{.}}\end{aligned}}}$

где C _± определено в 1 . Объединение этих результатов дает рекурсивные соотношения для коэффициентов Клебша – Гордана:

${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle }$.

Принятие верхнего знака с условием, что M = J, дает исходное рекурсивное соотношение:

${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle }$.

В соглашении о фазах Кондона – Шортли добавляется ограничение, которое

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(и поэтому тоже реально).

Коэффициенты Клебша-Гордана ⟨ J ₁ м ₁ J ₂ м ₂ | J M ⟩ , то можно найти из этих рекуррентных соотношений. Нормализации фиксируется требованием, чтобы сумма квадратов, что эквивалентно требованию , что норма состояния | [ J ₁ J ₂ ] J J ⟩ должен быть один.

Нижний знак в рекурсивном соотношении можно использовать для нахождения всех коэффициентов Клебша – Гордана с M = J - 1 . Повторное использование этого уравнения дает все коэффициенты.

Эта процедура нахождения коэффициентов Клебша – Гордана показывает, что все они действительны в соответствии с фазовым соглашением Кондона – Шортли.

Явное выражение [ править ]

Отношения ортогональности [ править ]

Наиболее четко они записываются путем введения альтернативных обозначений

${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$

Первое соотношение ортогональности:

${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$

(вытекает из того факта , что 1 ≡ Е _х | х ⟩ ⟨ х | ) , а второй является

${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}}$.

Особые случаи [ править ]

При J = 0 коэффициенты Клебша – Гордана имеют вид

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}}$.

Для J = j ₁ + j ₂ и M = J имеем

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1}$.

Для j ₁ = j ₂ = J / 2 и m ₁ = - m ₂ имеем

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}}$.

Для j ₁ = j ₂ = m ₁ = - m ₂ имеем

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$

При j ₂ = 1 , m ₂ = 0 имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$

При j ₂ = 1/2 имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$

Свойства симметрии [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$

Удобный способ вывести эти соотношения - преобразовать коэффициенты Клебша – Гордана в 3-j-символы Вигнера с помощью 3 . Свойства симметрии 3-j-символов Вигнера намного проще.

Правила для фазовых факторов [ править ]

При упрощении фазовых множителей необходимо соблюдать осторожность: квантовое число может быть полуцелым, а не целым числом, поэтому (-1) ^{2 k} не обязательно равно 1 для данного квантового числа k, если не может быть доказано, что оно является целым числом. Вместо этого его заменяет следующее более слабое правило:

${\displaystyle (-1)^{4k}=1}$

для любого квантового числа k, подобного угловому моменту .

Тем не менее, комбинация j _i и m _i всегда является целым числом, поэтому для этих комбинаций применяется более строгое правило:

${\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}$

Это тождество справедливо , если знак либо J _I или т _I или как обратная.

Полезно заметить, что любой фазовый множитель для данной пары ( j _i , m _i ) может быть приведен к каноническому виду:

${\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}$

где a ∈ {0, 1, 2, 3} и b ∈ {0, 1} (возможны и другие соглашения). Преобразование фазовых коэффициентов в эту форму позволяет легко определить, эквивалентны ли два фазовых коэффициента. (Обратите внимание, что эта форма является канонической только локально : она не принимает во внимание правила, которые управляют комбинациями пар ( j _i , m _i ), такими как описанная в следующем абзаце.)

Дополнительное правило выполняется для комбинаций j ₁ , j ₂ и j ₃ , которые связаны коэффициентом Клебша-Гордана или символом Вигнера 3-j:

${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}$

Это тождество также сохраняется, если знак любого j _i меняется на противоположный или если вместо этого любой из них заменяется на m _i .

Связь с 3-j символами Вигнера [ править ]

Коэффициенты Клебша – Гордана связаны с 3-j-символами Вигнера, которые имеют более удобные соотношения симметрии.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&J\\m_{1}&m_{2}&-M\end{pmatrix}}\\&=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{J-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&J&j_{2}\\m_{1}&-M&m_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

( 3 )

Фактор (-1) ^{2 J ₂} связано с Кондон-Шортли ограничением , что ⟨ J ₁ J ₁ J ₂ ( J - J ₁ ) | JJ ⟩> 0 , в то время как (-1) ^{J - М} связано с обращенным временем природы | JM ⟩ .

Связь с D-матрицами Вигнера [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\&={\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$

Отношение к сферическим гармоникам [ править ]

В том случае , когда целые числа вовлечены, коэффициенты могут быть связаны с интегралами от сферических гармоник :

${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$

Из этого и ортонормированности сферических гармоник следует, что коэффициенты КГ фактически являются коэффициентами разложения произведения двух сферических гармоник по одной сферической гармонике:

${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$

Другие свойства [ править ]

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$

SU ( n ) коэффициенты Клебша – Гордана [ править ]

Для произвольных групп и их представлений коэффициенты Клебша – Гордана вообще не известны. Однако алгоритмы получения коэффициентов Клебша – Гордана для специальной унитарной группы известны. ^{[8] [9]} В частности, SU (3) коэффициенты Клебша-Гордана были вычислены и сведены в таблице из - за их полезность в характеризующими адронный распадах, где ароматизатор существует -SU (3) симметрия , которая связывает вверх , вниз , и странно кварки. ^{[10] [11] [12]} веб - интерфейс для перфорационных коэффициентов SU (N) Клебша- Гордана легко доступны.

См. Также [ править ]

Замечания [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Alex, A .; Kalus, M .; Huckleberry, A .; фон Делфт, Дж. (2011). «Численный алгоритм для явного вычисления SU (N) и SL (N, C) коэффициентов Клебша – Гордана». J. Math. Phys . 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437 . Bibcode : 2011JMP .... 52b3507A . DOI : 10.1063 / 1.3521562 .
• Кондон, Эдвард У .; Шортли, GH (1970). «Глава 3». Теория атомных спектров . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-09209-8.
• Эдмондс, АР (1957). Момент импульса в квантовой механике . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Грейнер, Уолтер ; Мюллер, Берндт (1994). Квантовая механика: симметрии (2-е изд.). Springer Verlag . ISBN 978-3540580805.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Каплан, Л. М.; Резников, М. (1967). «Матричные произведения и явные 3, 6, 9 и 12j коэффициенты регулярного представления SU (n)». J. Math. Phys . 8 (11): 2194. Bibcode : 1967JMP ..... 8.2194K . DOI : 10.1063 / 1.1705141 .
• Каединг, Томас (1995). «Таблицы изоскалярных факторов SU (3)». Атомные данные и таблицы ядерных данных . 61 (2): 233–288. arXiv : nucl-th / 9502037 . Bibcode : 1995ADNDT..61..233K . DOI : 10.1006 / adnd.1995.1011 .
• Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Вили. стр.  428 -9. ISBN 978-0-471-88702-7.
• Альберт Мессия (1966). Квантовая механика (тома I и II), английский перевод с французского, сделанный Г.М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley & Sons.
• де Сварт, JJ (1963). «Модель Октета и ее коэффициенты Клебша-Гордана» . Ред. Мод. Phys. (Представлена ​​рукопись). 35 (4): 916. Полномочный код : 1963RvMP ... 35..916D . DOI : 10.1103 / RevModPhys.35.916 .

Внешние ссылки [ править ]

• Накамура, Кензо; и другие. (2010). «Обзор физики элементарных частиц: коэффициенты Клебша-Гордана, сферические гармоники и d- функции» (PDF) . Журнал физики G: Ядерная физика и физика элементарных частиц . 37 (75021): 368. Частичное обновление для издания 2012 г.
• Веб-калькулятор коэффициентов Клебша – Гордана, 3-j и 6-j
• Загружаемый калькулятор коэффициентов Клебша – Гордана для Mac и Windows
• Веб-интерфейс для табулирования SU (N) коэффициентов Клебша – Гордана

Дальнейшее чтение [ править ]

• Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Oulines, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 978-007-145533-6 
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Эйсберг, Р. Резник, Джон Вили и сыновья, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Квантовая механика , Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
• Физика атомов и молекул , BH Bransden, CJ Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2 
• Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Энциклопедия физики (2-е издание), RG Lerner , GL Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 
• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Момент импульса в квантовой физике . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-13507-7.
• Бринк, DM; Сатчлер, Г. Р. (1993). «Глава 2». Угловой момент (3-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851759-7.
• Мессия, Альберт (1981). «Глава XIII». Квантовая механика (Том II) . Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии. ISBN 978-0-7204-0045-8.
• Заре, Ричард Н. (1988). «Глава 2». Угловой момент . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-85892-8.