Параболические координаты

Параболические координаты - это двумерная ортогональная система координат, в которой координатные линии являются конфокальными параболами . Трехмерная версия параболических координат получается вращением двумерной системы вокруг оси симметрии парабол.

Параболические координаты нашли множество приложений, например, при рассмотрении эффекта Штарка и потенциальной теории ребер.

Двумерные параболические координаты [ править ]

Двумерные параболические координаты определяются уравнениями в декартовых координатах:${\ Displaystyle (\ сигма, \ тау)}$

${\ Displaystyle х = \ сигма \ тау}$

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} \ left (\ tau ^ {2} - \ sigma ^ {2} \ right)}$

Кривые конфокальной параболы постоянной формы${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle 2y = {\ frac {x ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} - \ sigma ^ {2}}$

которые открываются вверх (т. е. навстречу ), тогда как кривые постоянной формы софокусные параболы${\ displaystyle + y}$${\ Displaystyle \ тау}$

${\ displaystyle 2y = - {\ frac {x ^ {2}} {\ tau ^ {2}}} + \ tau ^ {2}}$

которые открываются вниз (т. е. навстречу ). Фокусы всех этих парабол находятся в начале координат.${\ displaystyle -y}$

Двумерные масштабные коэффициенты [ править ]

Масштабные коэффициенты для параболических координат равны${\ Displaystyle (\ сигма, \ тау)}$

${\ displaystyle h _ {\ sigma} = h _ {\ tau} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

${\ displaystyle dA = \ left (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ right) d \ sigma d \ tau}$

а лапласиан равен

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ sigma ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ tau ^ {2}}} \ right)}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {F}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Трехмерные параболические координаты [ править ]

Координатные поверхности трехмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует τ = 2, синий параболоид соответствует σ = 1, а желтая полуплоскость соответствует φ = -60 °. Три поверхности пересекаются в точке P (показанной черной сферой) с декартовыми координатами примерно (1.0, -1.732, 1.5).

Двумерные параболические координаты образуют основу для двух наборов трехмерных ортогональных координат . В параболических цилиндрических координатах производятся путем проецирования в -направлении. Вращение вокруг оси симметрии парабол создает набор конфокальных параболоидов, систему координат трехмерных параболических координат. Выражается в декартовых координатах:${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

где параболы теперь выровнены с осью, вокруг которой производилось вращение. Следовательно, азимутальный угол определяется${\displaystyle z}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}$

Поверхности конфокальных параболоидов постоянной формы${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

которые открываются вверх (т. е. навстречу ), тогда как поверхности конфокальных параболоидов постоянной формы ${\displaystyle +z}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

которые открываются вниз (т. е. навстречу ). Фокусы всех этих параболоидов расположены в начале координат.${\displaystyle -z}$

Риманова метрический тензор , связанный с этой системой координат является

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

Трехмерные масштабные коэффициенты [ править ]

Коэффициенты трехмерного масштабирования:

${\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\varphi }=\sigma \tau }$

Видно, что масштабные коэффициенты и такие же, как и в двумерном случае. Бесконечно малый элемент объема тогда${\displaystyle h_{\sigma }}$${\displaystyle h_{\tau }}$

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

См. Также [ править ]

• Параболические цилиндрические координаты
• Ортогональная система координат
• Криволинейные координаты

Библиография [ править ]

• Морс PM , Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 660. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515 .
• Маргенау H , Мерфи GM (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. С.  185–186 . LCCN  55010911 .
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 180. LCCN  59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 96. LCCN  67025285 .
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя u _k на ξ _k .
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Параболические координаты (μ, ν, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 34–36 (Таблица 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки [ править ]

• "Параболические координаты" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld описание параболических координат