Параболические цилиндрические координаты

Координатные поверхности параболических цилиндрических координат. Красный параболический цилиндр соответствует σ = 2, а желтый параболический цилиндр соответствует τ = 1. Синяя плоскость соответствует z = 2. Эти поверхности пересекаются в точке P (показанной черной сферой), которая имеет декартовы координаты примерно (2, -1,5, 2).

В математике , параболические цилиндрические координаты представляют собой трехмерную ортогональные системы координат , что результаты проектирования двумерной параболической системы координат в перпендикулярном направлении оси. Следовательно, координатные поверхности представляют собой конфокальные параболические цилиндры. Параболические цилиндрические координаты нашли множество приложений, например, в потенциальной теории ребер.${\ displaystyle z}$

Основное определение [ править ]

Параболическая система координат, показывающая кривые постоянных σ и τ, горизонтальная и вертикальная оси представляют собой координаты x и y соответственно. Эти координаты проецируются вдоль оси z, поэтому эта диаграмма будет сохраняться для любого значения координаты z.

Параболические цилиндрические координаты ( σ , τ , z ) определяются в декартовых координатах ( x , y , z ) следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ sigma \ tau \\ y & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ tau ^ {2} - \ sigma ^ {2} \ right) \\ z & = z \ end {выровнено}}}$

Поверхности постоянного σ образуют конфокальные параболические цилиндры

${\ displaystyle 2y = {\ frac {x ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} - \ sigma ^ {2}}$

открывающиеся в сторону + y , а поверхности постоянного τ образуют конфокальные параболические цилиндры

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

которые открываются в обратном направлении, т. е. навстречу - y . Фокусы всех этих параболических цилиндров расположены вдоль линии, определяемой x = y = 0 . Радиус r также имеет простую формулу

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

что оказывается полезным при решении уравнения Гамильтона – Якоби в параболических координатах для задачи механики о центральной силе с обратным квадратом ; дополнительные сведения см. в векторной статье Лапласа – Рунге – Ленца .

Коэффициенты масштабирования [ править ]

Масштабные коэффициенты для параболических цилиндрических координат σ и τ равны:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}}$

Дифференциальные элементы [ править ]

Бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz}$

Дифференциальное смещение определяется по формуле:

${\displaystyle d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}} }$

Дифференциальная нормальная площадь определяется как:

${\displaystyle d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}} }$

Дель [ править ]

Пусть f - скалярное поле. Градиент задается

${\displaystyle \nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} }$

Лапласиан задается

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

Пусть A - векторное поле вида:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

Расхождение задается

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}}$

Локон дается

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}\right)\mathbf {\hat {z}} }$

Другие дифференциальные операторы можно выразить в координатах ( σ , τ ) , подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .

Связь с другими системами координат [ править ]

Связь с цилиндрическими координатами ( ρ , φ , z ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Параболические единичные векторы, выраженные через декартовы единичные векторы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}$

Гармоники параболического цилиндра [ править ]

Поскольку все поверхности постоянных σ , τ и z являются коникоидами , уравнение Лапласа разделимо в параболических цилиндрических координатах. Используя технику разделения переменных , можно записать разделенное решение уравнения Лапласа:

${\displaystyle V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)}$

и уравнение Лапласа, разделенное на V , записывается:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$

Поскольку уравнение Z отделено от остальных, мы можем написать

${\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}$

где m - постоянная величина. Z ( z ) имеет решение:

${\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}}$

Подставив - м ² для , уравнение Лапласа теперь может быть записано:${\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}$

${\displaystyle \left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}$

Теперь мы можем разделить функции S и T и ввести другую константу n ^2, чтобы получить:

${\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}$

${\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}$

Решениями этих уравнений являются функции параболического цилиндра

${\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}$

${\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}$

Гармоники параболического цилиндра для ( m , n ) теперь являются продуктом решений. Комбинация уменьшит количество констант, и общее решение уравнения Лапласа может быть записано:

${\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}}$

Приложения [ править ]

Классические применения параболических цилиндрических координат - это решение уравнений в частных производных , например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца , для которых такие координаты допускают разделение переменных . Типичным примером может служить электрическое поле, окружающее плоскую полубесконечную проводящую пластину.

См. Также [ править ]

• Параболические координаты
• Ортогональная система координат
• Криволинейные координаты

Библиография [ править ]

• Морс PM , Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515 .
• Маргенау H , Мерфи GM (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.  186 -187. LCCN  55010911 .
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 181. LCCN  59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 96. LCCN  67025285 .
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя u _k на ξ _k .
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Координаты параболического цилиндра (μ, ν, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 21–24 (Таблица 1.04). ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки [ править ]

• MathWorld описание параболических цилиндрических координат