Сингулярный интеграл

В математике , сингулярные интегралы являются центральными для гармонического анализа и тесно связаны с изучением дифференциальных уравнений. Вообще говоря, сингулярный интеграл - это интегральный оператор

{\ Displaystyle Т (е) (х) = \ инт К (х, у) е (у) \, dy,}

Ядро, функция которого К : Р ^п × R ^п → R является сингулярным вдоль диагонали х = у . В частности, особенность такова, что | К ( х , у ) | имеет размер | х - у | ^{- n} асимптотически при | х - у | → 0. Поскольку такие интегралы, вообще говоря, не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | у - х| > ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения таких результатов требуются дополнительные предположения, как их ограниченность на L ^p ( R ⁿ ).

Преобразование Гильберта [ править ]

Архетипический сингулярный интегральный оператор является преобразование Гильберта H . Она задается сверткой с ядром К ( х ) = 1 / (π х ) для й в R . Точнее,

{\ Displaystyle Н (е) (х) = {\ гидроразрыва {1} {\ pi}} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {| ху |> \ varepsilon} {\ frac {1} { xy}} f (y) \, dy.}

Наиболее простыми аналогами этих высших размерностей являются преобразования Рисса , которые заменяют K ( x ) = 1 / x на

{\ displaystyle K_ {i} (x) = {\ frac {x_ {i}} {| x | ^ {n + 1}}}}

где я = 1, ..., п и является я -й компонент х в R ^н . Все эти операторы ограничены на L ^p и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1). ^[1] ${\ displaystyle x_ {i}}$

Сингулярные интегралы типа свертки [ править ]

Особый интеграл типа свертки - это оператор T, определяемый сверткой с ядром K , локально интегрируемым на R ⁿ \ {0} в том смысле, что

{\ Displaystyle T (f) (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {| yx |> \ varepsilon} K (xy) f (y) \, dy.}

( 1 )

Предположим, что ядро удовлетворяет:

Размер условие на преобразование Фурье от K
${\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})$
Гладкость условие: для некоторых C > 0,
$\sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.$

Тогда можно показать, что T ограничено на L ^p ( R ⁿ ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).

Свойство 1. необходимо для обеспечения того, чтобы свертка ( 1 ) с умеренным распределением pv K, заданным интегралом главного значения

\operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx

является хорошо определен мультипликатор Фурье на L ² . Ни одно из свойств 1 или 2 не обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Обычно в приложениях есть условие отмены.

\int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0

что довольно легко проверить. Это происходит автоматически, например, если K - нечетная функция . Если, кроме того, предполагается 2. и следующее условие размера

\sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,

тогда можно показать, что 1. следует.

Условие гладкости 2. также часто бывает трудно проверить в принципе, можно использовать следующее достаточное условие ядра K :

$K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})$
$|\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}$

Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата. ^[2]

Сингулярные интегралы несверточного типа [ править ]

Это даже более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабые, эти операторы не обязательно ограничены на L ^p .

Ядра Кальдерона – Зигмунда [ править ]

Функция K : R ⁿ × R ⁿ → R называется ядром Кальдерона - Зигмунда, если она удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C > 0 и δ > 0. ^[2]

$|K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}$
$|K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr )}$
$|K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr )}$

Сингулярные интегралы несверточного типа [ править ]

T называется сингулярным интегральным оператором несверточного типа, ассоциированным с ядром Кальдерона – Зигмунда K, если

\int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,

всякий раз, когда f и g гладкие и не пересекаются. ^[2] Такие операторы не обязательно должны быть ограничены на L ^p

Операторы Кальдерона – Зигмунда [ править ]

Исключительное интеграл от не-свертки типа T , связанный с Кальдерона-Зигмунда ядра K называется оператором Кальдерона-Зигмунда , когда она ограничена на L ² , то есть, существует С > 0 такое , что

\|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},

для всех гладких с компактным носителем.

Можно доказать, что такие операторы на самом деле также ограничены на всех L ^p с 1 < p <∞.

Теорема T ( b ) [ править ]

Т ( б ) теорема дает достаточные условия для сингулярного интегрального оператора , чтобы быть оператором Кальдерона-Зигмунда, то есть для сингулярного интегрального оператора , ассоциированного с ядром Кальдерона-Зигмунда быть ограничена на L ² . Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.

Нормализуется шишка является гладкой функцией φ на R ^п поддерживается в шаре радиуса 10 с центром в начале координат таким образом, что | ∂ ^α φ ( x ) | ≤ 1, для всех мультииндексов | α | ≤ n + 2. Обозначим через τ ^x ( φ ) ( y ) = φ ( y - x ) и φ _r ( x ) = r ^{- n} φ ( x / r ) для всех x в Rⁿ и r > 0. Оператор называется слабо ограниченным, если существует константа C такая, что

\left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}

для всех нормированных выступов φ и ψ . Функция называется аккретивным , если существует постоянный с > 0, что Ка ( б ) ( х ) ≥ с для всех х в R . Обозначим через M _b оператор умножения на функцию b .

Т ( б ) теорема утверждает , что сингулярный интегральный оператор Т , связанный с ядром Кальдерона-Зигмунда ограничена на L ² , если он удовлетворяет всем из следующих трех условий для некоторых ограниченных функций аккретивных б ₁ и б ₂ : ^[3]

$M_{b_{2}}TM_{b_{1}}$ слабо ограничен;
$T(b_{1})$ находится в BMO ;
$T^{t}(b_{2}),$ в BMO , где Т ^т транспонированный оператор Т .

См. Также [ править ]

Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых

Заметки [ править ]

Перейти ↑ Stein, Elias (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.
^ a b c Графакос, Лукас (2004), «7», Классический и современный анализ Фурье , Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
^ Дэвид; Semmes; Журне (1985). "Opérateurs de Calderón – Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (на французском языке). 1 . Revista Matemática Iberoamericana. С. 1–56.

Ссылки [ править ]

Кальдерон, AP ; Зигмунда, А. (1952), "О существовании некоторых сингулярных интегралов", Acta Mathematica , 88 (1): 85-139, DOI : 10.1007 / BF02392130 , ISSN 0001-5962 , МР 0052553 , Zbl +0047,10201.
Кальдерон, AP ; Зигмунд А. (1956), "О сингулярных интегралов", Американский журнал математики , Университет Джона Хопкинса Press, 78 (2): 289-309, DOI : 10,2307 / 2372517 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372517 , MR 0084633 , Zbl 0072.11501.
Койфман, Рональд ; Мейер, Ив (1997), Вейвлеты: Кальдерон-Зигмунд и полилинейные операторы , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 48 , Cambridge University Press, стр. Xx + 315, ISBN 0-521-42001-6, Руководство по ремонту 1456993 , Zbl 0916.42023.
Михлин, Соломон Г. (1948), «Сингулярные интегральные уравнения» , УМН , 3 (25): 29–112, MR 0027429.(на русском языке ).
Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 83 , Оксфорд - Лондон - Эдинбург - Нью-Йорк - Париж - Франкфурт : Pergamon Press , стр. XII + 255 , Руководство по ремонту 0185399 , Zbl 0129.07701.
Михлин, Соломон Г .; Прёссдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы , Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer Verlag , стр. 528, ISBN 0-387-15967-3, Руководство по ремонту 0867687 , Zbl 0612.47024, (Европейское издание: ISBN 3-540-15967-3 ).
Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Mathematical Series, 30 , Princeton, NJ : Princeton University Press , pp. XIV + 287, ISBN 0-691-08079-8, Руководство по ремонту 0290095 , Zbl 0207.13501

Внешние ссылки [ править ]

Штейн, Элиас М. (октябрь 1998 г.). «Сингулярные интегралы: роль Кальдерона и Зигмунда» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 45 (9): 1130–1140.

[bible-1] Перейти ↑ Stein, Elias (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.

[grafakos-2] Графакос, Лукас (2004), «7», Классический и современный анализ Фурье , Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.

[3] Дэвид; Semmes; Журне (1985). "Opérateurs de Calderón – Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (на французском языке). 1 . Revista Matemática Iberoamericana. С. 1–56.

[1]