Преобразование Рисса

В математической теории гармонического анализа , то Рисса преобразования представляют собой семейство обобщений преобразование Гильберта в евклидовых пространствах размерности d  > 1. Они представляют собой тип сингулярного интегрального оператора , а это означает , что они получают с помощью свертки одной функции с другая функция, имеющая особенность в начале координат. В частности, преобразования Рисса комплекснозначной функции ƒ на R ^d определяются следующим образом:

${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}}\,dt}$

( 1 )

для j  = 1,2, ..., d . Константа c _d является размерной нормализацией, задаваемой формулой

${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.}$

где ω _{d −1} - объем единичного ( d  - 1) -шара . Предел записывается по-разному, часто как главное значение или как свертка с умеренным распределением.

${\displaystyle K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.}$

Преобразования Рисса возникают при изучении свойств дифференцируемости гармонических потенциалов в теории потенциала и гармоническом анализе . В частности, они возникают при доказательстве неравенства Кальдерона-Зигмунда ( Gilbarg & Trudinger 1983 , §9.4).

Свойства множителя [ править ]

Преобразования Рисса задаются множителем Фурье . Действительно, преобразование Фурье от R _J ƒ дается

${\displaystyle {\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).}$

В этой форме преобразования Рисса рассматриваются как обобщения преобразования Гильберта . Ядро представляет собой распределение , которое является однородным нулевой степени. Частным следствием этого последнего наблюдения является то, что преобразование Рисса определяет ограниченный линейный оператор из L ² ( R ^d ) в себя. ^[1]

Это свойство однородности можно также выразить более прямо без помощи преобразования Фурье. Если σ _s - растяжение на R ^d скаляром s , то есть σ _s x  =  sx , то σ _s определяет действие на функции через откат :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.}$

Преобразования Рисса коммутируют с σ _s :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).}$

Точно так же преобразования Рисса коммутируют с переводами. Пусть τ _a - перенос на R ^d вдоль вектора a ; то есть τ _a ( x ) =  x  +  a . потом

${\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).}$

В качестве последнего свойства удобно рассматривать преобразования Рисса как единую векторную сущность R ƒ = ( R ₁ ƒ, ..., R _d ƒ). Рассмотрим поворот ρ в R ^d . Вращение действует на пространственные переменные и, следовательно, на функции через откат. Но он также может воздействовать на пространственный вектор R ƒ. Свойство окончательного преобразования утверждает, что преобразование Рисса эквивариантно по отношению к этим двум действиям; то есть,

${\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.}$

Эти три свойства фактически характеризуют преобразование Рисса в следующем смысле. Пусть T = ( T ₁ , ..., T _d ) - d -набор линейных ограниченных операторов из L ² ( R ^d ) в L ² ( R ^d ) такой, что

• T работает со всеми расширениями и переводами.
• T эквивариантен относительно поворотов.

Тогда для некоторой константы C , T = CR .

Связь с лапласианом [ править ]

Несколько неточно преобразование Рисса дает первые частные производные решения уравнения${\displaystyle f}$

${\displaystyle {(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},}$

где Δ - лапласиан. Таким образом, преобразование Рисса можно записать как:${\displaystyle f}$

${\displaystyle {Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}}$

В частности, нужно также иметь

${\displaystyle R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},}$

так что преобразования Рисса дают возможность восстановить информацию обо всем гессиане функции на основе знания только ее лапласиана.

Теперь это уточнено. Предположим, что это функция Шварца . Тогда действительно, благодаря явному виду множителя Фурье, мы имеем${\displaystyle u}$

${\displaystyle R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

Тождество обычно неверно в смысле распределений . Например, если это закаленное распределение таким образом, что , то можно только заключить , что${\displaystyle u}$${\displaystyle \Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)}$

для некоторого полинома .${\displaystyle P_{ij}}$

См. Также [ править ]

• Преобразование Гильберта
• Ядро Пуассона
• Потенциал Рисса

Ссылки [ править ]

• Gilbarg, D .; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press.
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Аркоцци, Н. (1998), Преобразование Рисса на сферах и компактных группах Ли , Нью-Йорк: Springer, ISSN  0004-2080..